高考数学专题复习练习第4讲 基本不等式 7页

第 4 讲 基本不等式 一、选择题 1．若 x＞0，则 x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析 ∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1 a ＋4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C.9 2 D．5 解析 依题意得1 a ＋4 b ＝1 2 1 a ＋4 b (a＋b)＝1 2 5＋ b a ＋4a b ≥1 2 5＋2 b a ×4a b ＝ 9 2 ，当且仅当 a＋b＝2 b a ＝4a b a＞0，b＞0 ，即 a＝2 3 ， b＝4 3 时取等号，即1 a ＋4 b 的最小值是9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(aa2－a2 a＋b ＝0，∴v>a. 答案 A 4．若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( )． A.1 a ＋1 b 有最大值 4 B．ab 有最小值1 4 C. a＋ b有最大值 2 D．a2＋b2 有最小值 2 2 解析 由基本不等式，得 ab≤a2＋b2 2 ＝ a＋b 2－2ab 2 ，所以 ab≤1 4，故 B 错； 1 a ＋1 b ＝a＋b ab ＝ 1 ab ≥4，故 A 错；由基本不等式得 a＋ b 2 ≤ a＋b 2 ＝ 1 2 ， 即 a＋ b≤ 2，故 C 正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×1 4 ＝1 2 ， 故 D 错． 答案 C 5．已知 x>0，y>0，且2 x ＋1 y ＝1，若 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范 围是 ( )． A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 解析 ∵x>0，y>0 且2 x ＋1 y ＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y) 2 x ＋1 y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即 x＝4，y＝2 时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使 x＋2y>m2＋2m 恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m 恒成立， 即 8>m2＋2m，解得－40)，l1 与函数 y＝|log2x|的图象从 左至右相交于点 A，B，l2 与函数 y＝|log2x|的图象从左至右相交于点 C，D. 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a，b.当 m 变化时，b a 的最小值 为 ( )． A．16 2 B．8 2 C．83 4 D．43 4 解析 如图，作出 y＝|log2x|的图象，由图 可知 A，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B， D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且 xC－xA 与 xB－xD 同号，所以b a ＝xB－xD xC－xA ， 根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以 xA＝2－m.同理可得 xC＝2－ 8 2m＋1 ， xB＝2m，xD＝2 8 2m＋1 ，所以b a ＝ 2m－2 8 2m＋1 2－ 8 2m＋1 －2－m ＝ 2m－2 8 2m＋1 1 2 8 2m＋1 － 1 2m ＝ 2m－2 8 2m＋1 2m－2 8 2m＋1 2m·2 8 2m＋1 ＝ 2 8 2m＋1 ＋m，由于 8 2m＋1 ＋m＝ 8 2m＋1 ＋2m＋1 2 －1 2 ≥4－1 2 ＝7 2 ，当且仅当 8 2m＋1 ＝2m＋1 2 ，即 2m＋1＝4，即 m＝3 2 时等号成立，故b a 的最小值为 27 2 ＝8 2. 答案 B 二、填空题 7．设 x，y 为实数．若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋3 2 ×2x×y≤1＋3 2· 2x＋y 2 2，得5 8(2x＋ y)2≤1，即|2x＋y|≤2 10 5 .当且仅当 2x＝y＝ 10 5 时，2x＋y 取最大值2 10 5 . 答案 2 10 5 8．在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)＝2 x 的图象交 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________． 解析 假设直线与函数 f(x)＝2 x 的图象在第一象限内的交点为 P，在第三象限 内的交点为 Q，由题意知线段 PQ 的长为 OP 长的 2 倍． 假设 P 点的坐标为 x0，2 x0 ，则|PQ|＝2|OP|＝2 x2 0＋4 x2 0 ≥4.当且仅当 x2 0＝4 x2 0 ， 即 x0＝ 2时，取“＝”号． 答案 4 9．若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________． 解析 由 a，b∈R＋，由基本不等式得 a＋b≥2 ab， 则 ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， 即 ab－2 ab－3≥0⇔( ab－3)( ab＋1)≥0⇒ ab ≥3， ∴ab≥9. 答案 [9，＋∞) 10．已知两正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 z＝ x＋1 x y＋1 y 的最小值为________。 解析 z＝ x＋1 x y＋1 y ＝xy＋ 1 xy ＋y x ＋x y ＝xy＋ 1 xy ＋x＋y2－2xy xy ＝ 2 xy ＋xy－2，令 t＝xy，则 00，y>0，且 2x＋5y＝20. (1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值； (2)求1 x ＋1 y 的最小值． 解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得 2x＋5y≥2 10xy. ∵2x＋5y＝20，∴2 10xy≤20，xy≤10，当且仅当 2x＝5y 时，等号成立． 因此有 2x＋5y＝20， 2x＝5y， 解得 x＝5， y＝2， 此时 xy 有最大值 10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当 x＝5，y＝2 时，u＝lg x＋lg y 有最大值 1. (2)∵x>0，y>0，∴1 x ＋1 y ＝ 1 x ＋1 y ·2x＋5y 20 ＝ 1 20 7＋5y x ＋2x y ≥ 1 20 7＋2 5y x ·2x y ＝7＋2 10 20 ，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由 2x＋5y＝20， 5y x ＝2x y ， 解得 x＝10 10－20 3 ， y＝20－4 10 3 . ∴1 x ＋1 y 的最小值为7＋2 10 20 . 13．设 f(x)＝ 16x x2＋8(x>0)． (1)求 f(x)的最大值； (2)证明：对任意实数 a，b，恒有 f(a)