2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（三十九） 抛物线命题3角度求方程研性质用关系 8页

高考达标检测（三十九） 抛物线命题 3 角度 ——求方程、研性质、用关系 一、选择题 1．若点 P 到直线 x＝－3 的距离比它到点(2,0)的距离大 1，则点 P 的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选 D 依题意，点 P 到直线 x＝－2 的距离等于它到点(2,0)的距离， 故点 P 的轨迹是抛物线． 2．过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则 p＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意可得 x1＋x2＝6，x1＋x2＋p＝8，所以 p＝2. 3．设 F 为抛物线 y2＝2x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为△ABC 的重心， 则| FA―→ |＋| FB―→ |＋| FC―→ |的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C 依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 又焦点 F 1 2 ，0 ，x1＋x2＋x3＝3×1 2 ＝3 2 ， 则| FA―→ |＋| FB―→ |＋| FC―→ |＝ x1＋1 2 ＋ x2＋1 2 ＋ x3＋1 2 ＝(x1＋x2＋x3)＋3 2 ＝3 2 ＋3 2 ＝3. 4．已知 F 是抛物线 x2＝8y 的焦点，若抛物线上的点 A 到 x 轴的距离为 5，则|AF|＝ ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选 D ∵F 是抛物线 x2＝8y 的焦点，∴F(0,2), ∵抛物线上的点 A 到 x 轴的距离为 5， ∴|AF|＝5＋p 2 ＝7. 5.已知抛物线 C 的方程为 y2＝2px(p＞0)，一条长度为 4p 的线段 AB 的两个端点 A，B 在抛物线 C 上运动，则线段 AB 的中点 M 到 y 轴距离 的最小值为( ) A．2p B.5 2p C.3 2p D．3p 解析：选 C 由题意可得抛物线的准线 l：x＝－p 2 ，分别过 A，B， M 作 AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为 C，D，H. 在直角梯形 ABDC 中， |MH|＝|AC|＋|BD| 2 . 由抛物线的定义可知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|(F 为抛物线的焦点)， ∴|MH|＝|AF|＋|BF| 2 ≥|AB| 2 ＝2p， 即 AB 的中点 M 到抛物线的准线的最小距离为 2p， ∴线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离为 2p－p 2 ＝3p 2 . 6．已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，直线 l：y＝m(x－1)与抛物线交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|FA|＝3|FB|，则 m 的值为( ) A．3 B. 3 C. 3 3 D.1 3 解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 y＝mx－1， y2＝4x 消去 x，得 my2－4y－4m＝0， 则 y1＋y2＝4 m ，y1y2＝－4. 由|AF|＝3|BF|，可得 y1＝－3y2， 所以－2y2＝4 m ，－3y22＝－4， 解得 m＝ 3(m＝－ 3舍去)． 二、填空题 7．(2017·天津高考)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆 心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________． 解析：由题意知该圆的半径为 1， 设圆心坐标为 C(－1，a)(a＞0)，则 A(0，a)． 又 F(1,0)，所以 AC―→＝(－1,0)， AF―→＝(1，－a)， 由题意得 AC―→与 AF―→的夹角为 120°， 故 cos 120°＝ －1 1× 1＋－a2 ＝－1 2 ，解得 a＝ 3， 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1. 答案：(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1 8．已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，P，Q 是 C 上任意两点，点 M(0，－1)满足 MP―→ ·MQ―→≥0， 则 p 的取值范围是________． 解析：过 M 点作抛物线的两条切线， 设切线方程为 y＝kx－1， 切点坐标为 A(x0，y0)，B(－x0，y0)， 由 y＝x2 2p ，得 y′＝1 px， 则 x20＝2py0， y0＝kx0－1， x0 p ＝k， 解得 k＝± 2 p. ∵ MP―→ ·MQ―→≥0 恒成立，∴∠AMB≤90°，即∠AMO≤45°， ∴|k|≥tan 45°＝1，即 2 p ≥1，解得 p≤2， 由 p＞0，则 0＜p≤2， ∴p 的取值范围为(0,2]． 答案：(0,2] 9．已知点 P 在抛物线 y＝x2 上，点 Q 在圆 C：(x－4)2＋ y＋1 2 2＝1 上，则|PQ|的最小 值为__________． 解析：∵点 P 在抛物线 y＝x2 上，∴设 P(t，t2)， ∵圆(x－4)2＋ y＋1 2 2＝1 的圆心 C 4，－1 2 ，半径 r＝1， ∴|PC|2＝(4－t)2＋ －1 2 －t2 2＝t4＋2t2－8t＋65 4 ， 令 y＝|PC|2＝t4＋2t2－8t＋65 4 ，则 y′＝4t3＋4t－8， 由 y′＝0，可得 t3＋t－2＝0，解得 t＝1. 当 t＜1 时，y′＜0，当 t＞1，y′＞0，可知函数在 t＝1 时取得最小值，|PC|2min＝45 4 ， ∴|PQ|的最小值为3 5 2 －1. 答案：3 5 2 －1 三、解答题 10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4 的圆心恰是抛物 线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)一直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于 A，B，C，D 四点，求|AB|＋|CD|的值． 解：(1)设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)， ∵圆(x－2)2＋y2＝4 的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4. ∴抛物线的方程为 y2＝8x. (2)依题意，直线 AB 的方程为 y＝2x－4. 设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，联立 y＝2x－4， y2＝8x， 得 x2－6x＋4＝0， ∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10. ∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝10－4＝6. 11．已知动点 P 到点 1 2 ，0 的距离比它到直线 x＝－5 2 的距离小 2. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)记 P 点的轨迹为 E，过点 S(2,0)，斜率为 k1 的直线交 E 于 A，B 两点，Q(1,0)，延长 AQ，BQ 与 E 交于 C，D 两点，设 CD 的斜率为 k2，证明：k2 k1 为定值． 解：(1)∵动点 P 到点 1 2 ，0 的距离比它到直线 x＝－5 2 的距离小 2， ∴动点 P 到点 1 2 ，0 的距离与它到直线 x＝－1 2 的距离相等， ∴动点 P 的轨迹是以点 1 2 ，0 为焦点的抛物线， ∴动点 P 的轨迹方程为 y2＝2x. (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 则直线 AB 的方程为 y＝k1(x－2)，代入抛物线方程消去 x，得 y2－ 2 k1 y－4＝0, ∴y1＋y2＝ 2 k1 ，y1y2＝－4. 直线 AC，BD 过点 Q(1,0)，同理可得 y1y3＝y2y4＝－2, ∴y3＝－2 y1 ，y4＝－2 y2 ， ∴k2＝y4－y3 x4－x3 ＝ 2 y4＋y3 ＝－ y1y2 y1＋y2 ＝2k1， ∴k2 k1 ＝2. 12．已知 F1，F2 分别是双曲线 C：x2 a2 －y2 9 ＝1(a>0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上任一 点，且||PF1|－|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为 E. (1)求双曲线 C 的渐近线方程和抛物线 E 的方程； (2)过抛物线 E 的准线与 x 轴的交点作直线，交抛物线于 M，N 两点，当直线的斜率等 于多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线 E 的焦点？ 解：(1)由双曲线的定义可知，2a＝2，即 a＝1. ∴双曲线的方程为 x2－y2 9 ＝1， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3x. 又双曲线的右顶点坐标为(1,0)，即抛物线 E 的焦点坐标为(1,0)， ∴抛物线 E 的方程为 y2＝4x. (2)抛物线 y2＝4x 的准线与 x 轴的交点为(－1,0)． 设直线 MN 的斜率为 k，则其方程为 y＝k(x＋1)． 由 y＝kx＋1， y2＝4x， 得 k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0. ∵直线 MN 与抛物线交于 M，N 两点， ∴k≠0，且Δ＝4(k2－2)2－4k4＞0， 解得－1＜k＜1，且 k≠0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线焦点为 F(1,0), ∵以线段 MN 为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF. ∴ y1 x1－1· y2 x2－1 ＝－1，即 y1y2＋x1x2－(x1＋x2)＋1＝0. 又 x1＋x2＝－2k2－2 k2 ，x1x2＝1，y21y22＝4x1·4x2＝16 且 y1，y2 同号，∴y1y2＝4， ∴2k2－2 k2 ＝－6，解得 k＝± 2 2 . 即直线的斜率等于± 2 2 时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点． 1．过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 作斜率为4 3 的直线 l，与抛物线 C 及其准线分别 相交于 A，B，D 三点，则|AD| |BD| 的值为( ) A．2 或1 2 B．3 或1 3 C．1 D．4 或1 4 解析：选 D 抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F p 2 ，0 ，过 A 和 B 分别做准线的垂线， 垂足分别为 A′，B′， 则直线 AB 的方程为 y＝4 3 x－p 2 . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 y＝4 3 x－p 2 ， y2＝2px 消去 x，整理得 y2－3 2py－p2＝0， 则 y1＋y2＝3 2p，y1y2＝－p2， 设 AF―→＝λ FB―→，则 p 2 －x1，－y1 ＝λ x2－p 2 ，y2 ， 即－y1＝λy2，由y1＋y22 y1y2 ＝y1 y2 ＋y2 y1 ＋2＝－9 4 ， ∴－λ－1 λ ＋2＝－9 4 ，整理得 4λ2－17λ＋4＝0， 解得λ＝4 或λ＝1 4. 当λ＝4 时，如图所示，|AF|＝4|BF|，则|AB|＝5|BF|. 由抛物线的定义可知：|BF|＝|BB′|， 由直线 AB 的斜率为4 3 ， 得 sin∠BDB′＝3 5 ， 即 sin∠BDB′＝|BB′| |BD| ＝3 5 ， ∴|BD|＝5 3|BB′|＝5 3|BF|，|AD|＝|AB|＋|BD|＝20 3 |BF|，∴|AD| |BD| ＝4. 当λ＝1 4 时，如图所示，4|AF|＝|BF|，则|AB|＝5|AF|， 由抛物线的定义可知：|AF|＝|AA′|， 由直线 AB 的斜率为4 3 ， 得 sin∠ADA′＝3 5 ，即 sin∠ADA′＝|AA′| |AD| ＝3 5 ， ∴|AD|＝5 3|AA′|＝5 3|AF|， |BD|＝|AB|＋|AD|＝20 3 |AF|，∴|AD| |BD| ＝1 4. 2．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|＝2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)过定点 M(m,0)(m＞0)的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 N，且满足： NA―→＝λ AM―→， NB―→＝μ BM―→ . ①当 m＝p 2 时，求证：λ＋μ为定值； ②若点 R 是直线 l：x＝－m 上任意一点，三条直线 AR，BR，MR 的斜率分别为 kAR， kBR，kMR，是否存在常数 s，使得 kAR＋kBR＝s·kMR 恒成立？若存在求出 s 的值；若不存在， 请说明理由． 解：(1)∵点 D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|＝2， ∴1＋p 2 ＝2，解得 p＝2. ∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)①证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当 m＝p 2 ＝1 时，M(1,0)，直线 AB 的斜率存在且不为 0， 可设直线 AB 的方程为 x＝ty＋1(t≠0)， 可得 N 0，－1 t . 联立 x＝ty＋1， y2＝4x 消去 x，可得 y2－4ty－4＝0， 则 y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. ∵ NA―→＝λ AM―→， NB―→＝μ BM―→， ∴y1＋1 t ＝λ(－y1)，y2＋1 t ＝μ(－y2)， ∴λ＋μ＝－1－ 1 ty1 －1－ 1 ty2 ＝－2－y1＋y2 ty1y2 ＝－2－ 4t －4t ＝－1.即λ＋μ为定值． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(－m，y3)， 直线 AB 的斜率不等于 0，可设直线 AB 的方程为 x＝ty＋m. 联立 x＝ty＋m， y2＝4x 消去 x，可得 y2－4ty－4m＝0， ∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m. 则 kAR＝y1－y3 x1＋m ，kMR＝ y3 －2m ，kBR＝y2－y3 x2＋m ， 则 kAR＋kBR＝y1－y3 x1＋m ＋y2－y3 x2＋m ＝y1x2＋y1m－y3x2－y3m＋y2x1＋y2m－y3x1－y3m x1x2＋mx1＋x2＋m2 ， 又 y21＝4x1，y22＝4x2，代入可得 kAR＋kBR＝ y1y2 4 y1＋y2＋my1＋y2－y3 4 y21＋y22－2my3 y1y22 16 ＋m·y21＋y22 4 ＋m2 ， 把 y1＋y2＝4t， y1y2＝－4m， 代入化简可得 kAR＋kBR＝－y3 m ＝2·kMR. 综上可得，存在常数 s＝2，使三条直线 AR，BR，MR 的斜率满足 kAR＋kBR＝2·kMR.