2019版一轮复习理数通用版第二单元 函数的概念及其性质 42页

第二单元 函数的概念及其性质 教材复习课 “函数”相关基础知识一课过 函数的基本概念 [过双基] 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设 A，B 是非空的数集 设 A，B 是非空的集合 对应关系 f： A→B 如果按照某种确定的对应关系 f，使 对于集合 A 中的任意一个数 x，在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与 之对应 如果按某一个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元 素 y 与之对应 名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 称对应 f：A→B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应 f：A→B 2．函数的定义域、值域 (1)在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3．表示函数的常用方法 列表法、图象法和解析法． 4．分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数 称为分段函数． 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并 集． 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝ f(x)的图象可能是( ) 答案：B 2．下列函数中，与函数 y＝x 相同的函数是( ) A．y＝x2 x B．y＝(3 x2)3 2 C．y＝lg 10x D．y＝2log2x 解析：选 C A．y＝x2 x ＝x(x≠0)与 y＝x 的定义域不同，故不是相同的函数； B．y＝(3 x2)3 2 ＝|x|与 y＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数； C．y＝lg 10x＝x 与 y＝x 的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数； D．y＝2log2x 与 y＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数． 3．已知函数 f(x)＝ log1 2x，x>1， 2＋16x，x≤1， 则 f f 1 4 ＝( ) A．－2 B．4 C．2 D．－1 解析：选 A 因为函数 f(x)＝ log1 2 x，x>1， 2＋16x，x≤1， 所以 f 1 4 ＝2＋161 4 ＝4， 则 f f 1 4 ＝f(4)＝log1 24＝－2. 4．已知 f 1 2 x－1 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a 等于( ) A.7 4 B．－7 4 C.4 3 D．－4 3 解析：选 A 令 t＝1 2x－1，则 x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则 4a－1＝6，解得 a＝7 4. [清易错] 1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则． 2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A，B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 1．(2018·合肥八中模拟)已知函数 f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( ) A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2) B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4) C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2) D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4) 解析：选 B 因为 f(x)＝2x＋1，所以 f(x－1)＝2x－1.因为函数 f(x)的定义域为[1,3]， 所以 1≤x－1≤3，即 2≤x≤4，故 f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)． 2．下列对应关系： ①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x 的平方根； ②A＝R，B＝R，f：x→x 的倒数； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2； ④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A 中的数平方． 其中是 A 到 B 的映射的是( ) A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 解析：选 C 由映射的概念知①中集合 B 中有两个元素对应，②中集合 A 中的 0 元素 在集合 B 中没有对应，③④是映射．故选 C. 函数定义域的求法 [过双基] 函数 y＝f(x)的定义域 1.函数 f(x)＝ 1－|x－1| ax－1 (a＞0 且 a≠1)的定义域为________． 解析：由 1－|x－1|≥0， ax－1≠0 ⇒ 0≤x≤2， x≠0 ⇒0＜x≤2， 故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2] 2．函数 y＝lg(1－2x)＋ x＋3的定义域为________． 解析：由题意可知 1－2x>0， x＋3≥0， 求解可得－3≤x<0， 所以函数 y＝lg(1－2x)＋ x＋3的定义域为[－3,0)． 答案：[－3,0) [清易错] 1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件. 2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围. 1．(2018·辽宁锦州模拟)已知函数 f(x2－3)＝lg x2 x2－4 ，则 f(x)的定义域为________． 解析：设 t＝x2－3(t≥－3)，则 x2＝t＋3，所以 f(t)＝lg t＋3 t＋3－4 ＝lgt＋3 t－1 ，由t＋3 t－1 >0，得 t>1 或 t<－3，因为 t≥－3，所以 t>1，即 f(x)＝lg x＋3 x－1 的定义域为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 2．已知函数 f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝f(2x)＋ 8－2x的定义域为________． 解析：因为函数 f(x)的定义域为[0,2]， 所以对于函数 f(2x)，0≤2x≤2，即 0≤x≤1， 又因为 8－2x≥0，所以 x≤3， 所以函数 g(x)＝f(2x)＋ 8－2x的定义域为[0,1]． 答案：[0,1] 函数的单调性与最值 [过双基] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1f(x2)，那 么就说函数 f(x)在区间 D 上是减 函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M (3)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M； (4)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( ) A．y＝2－x B．y＝x C．y＝log2x D．y＝－1 x 解析：选 B 由题知，只有 y＝2－x 与 y＝x 的定义域为 R，且只有 y＝x 在 R 上是增函数． 2．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是( ) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 解析：选 A 由于 f(x)＝|x－2|x＝ x2－2x，x≥2， －x2＋2x，x<2. 作出函数 f(x)的图象如图， 则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]． 3．(2018·长春质量检测)已知函数 f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则 a 的取值 范围是( ) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选 A 因为函数 f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得 a≤1. 4．已知定义在 R 上的函数 f(x)为增函数，当 x1＋x2＝1 时，不等式 f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1) 恒成立，则实数 x1 的取值范围是( ) A．(－∞，0) B. 0，1 2 C. 1 2 ，1 D．(1，＋∞) 解析：选 D 若 f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)， 则 f(x1)－f(x2)>f(1)－f(0)． 又由 x1＋x2＝1， 则有 f(x1)－f(1－x1)>f(1)－f(0)． 又由函数 f(x)为增函数， 则不等式 f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)恒成立可以转化为 x1>1， 1－x1<0， 解得 x1>1. 5．函数 f(x)＝ 1 x ，x≥1， －x2＋2，x<1 的最大值为________． 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1 x 为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1； 当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值 为 2. 答案：2 [清易错] 1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具 备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例 如，函数 f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定 是减函数，如函数 f(x)＝1 x. 1．函数 f(x)＝ x 1－x 在( ) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 解析：选 C 函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝ x 1－x ＝ 1 1－x －1，根据函数 y＝－1 x 的 单调性及有关性质，可知 f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数． 2．设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的增区间为 ________． 答案：[－1,1]，[5,7] 函数的奇偶性 [过双基] 1．定义及图象特征 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)是 偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x) 是奇函数 关于原点对称 2．函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D 是关 于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性． 1．下列函数中的偶函数是( ) A．y＝2x－ 1 2x B．y＝xsin x C．y＝excos x D．y＝x2＋sin x 解析：选 B 因为 f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，即函数 f(x)是偶函数，故选 B. 2．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－2)＝f(x＋2)，且当 x∈[－2,0]时，f(x)＝3x－1， 则 f(9)＝( ) A．－2 B．2 C．－2 3 D.2 3 解析：选 D 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以当 x∈[0,2]时，f(x)＝－f(－x)＝ －3－x＋1；设 x－2＝t，则 x＝t＋2，则 f(x－2)＝f(x＋2)可化为 f(t)＝f(t＋4)，即函数 f(x)是 周期为 4 的周期函数，则 f(9)＝f(1)＝2 3. 3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)f(1) C．f(m)＝f(1) D．f(m)与 f(1)大小不能确定 解析：选 A 由题意可知－3－m＋m2－m＝0， 所以 m＝3 或 m＝－1， 又因为函数 f(x)＝x2－m 是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数， 所以 2－m 是奇数，且 2－m>0， 所以 m＝－1，则 f(x)＝x3，定义域为[－2,2]且在[－2,2]上是增函数， 所以 f(m)0， log2－x，x<0 的奇偶性为________． 解析：∵x≠0，故 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0， ∴f(－x)＝log2x＝f(x)． 当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝log2(－x)＝f(x)． 故 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 答案：偶函数 函数的周期性 [过双基] 1．周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x) 的最小正周期． 3．重要结论 周期函数的定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的，若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则 函数 f(x)的周期为 T＝|a－b|. 若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝ 1 fx ，f(x＋a)＝－ 1 fx(a>0)．则 f(x)为周期 函数，且 T＝2a 为它的一个周期． 4．对称性与周期的关系 (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a －b|是它的一个周期． (2)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它 的一个周期． (3)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|a－b| 是它的一个周期． 1．已知函数 f(x)＝ sin x 4π，x>0， fx＋2，x≤0， 则 f(－5)的值为( ) A．0 B. 2 2 C．1 D. 2 解析：选 B 由 f(x)＝ sin x 4π，x>0， fx＋2，x≤0， 可得 f(－5)＝f(1)＝sin π 4 ＝ 2 2 . 2．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当 x∈[0,1] 时，f(x)＝log2(x＋1)，则 f(31)＝( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：选 C 由 f(－x)＝－f(x)可得函数 f(x)是奇函数，所以 f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－ 1)． 令 x－1＝t，则 x＝t＋1，所以 f(t＋2)＝－f(t)， 则 f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)， 即函数 f(x)的最小正周期为 4. 又因为当 x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)， 所以 f(31)＝f(31－4×8)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1. 3．(2018·晋中模拟)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝2，且对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x) ＋f(3)成立，则 f(2 017)＝________. 解析：∵f(x)是 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，又对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)， ∴当 x＝－3 时， 有 f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0， ∴f(－3)＝0，f(3)＝0， ∴f(x＋6)＝f(x)，周期为 6. 故 f(2 017)＝f(1)＝2. 答案：2 [清易错] 在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式 fx＋T＝fxT≠0的使用而致误. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x＋2)＝－ 1 fx ，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________. 解析：由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－ 1 fx＋2 ＝－ 1 － 1 fx ＝f(x)． 故函数 f(x)的周期为 4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3， ∴f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 答案：2.5 一、选择题 1．函数 f(x)＝lg(x－1)－ 4－x的定义域为( ) A．(－∞，4] B．(1,2)∪(2,4] C．(1,4] D．(2,4] 解析：选 C 由题意可得 x－1>0， 4－x≥0， 解得 1f(x2)”，则 f(x)的解析式可以是( ) A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex C．f(x)＝1 x D．f(x)＝ln(x＋1) 解析：选 C 根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 对于 A，f(x)＝(x－1)2 在(1，＋∞)上单调递增，排除 A； 对于 B，f(x)＝ex 在(0，＋∞)上单调递增，排除 B； 对于 C，f(x)＝1 x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确； 对于 D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除 D. 7．已知函数 f(x)＝log1 3(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C. －1 2 ，2 D. －1 2 ，2 解析：选 D 令 t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知 y＝log1 3t 在其定义域上单调递减，要使 f(x) ＝log1 3(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则 t＝g(x)＝x2－ax＋3a 在[1，＋∞)上单调递增， 且 t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即 －－a 2 ≤1， g1>0， 所以 a≤2， a>－1 2 ， 即－1 20，则－x<0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－ 9－x＋ a2 －x ＋7 ＝9x＋a2 x －7.由基 本不等式得 9x＋a2 x －7≥2 9x·a2 x －7＝－6a－7，由 f(x)≥a＋1 对一切 x≥0 成立，只需－ 6a－7≥a＋1，即 a≤－8 7 ，结合 a≤－1，所求 a 的取值范围是 －∞，－8 7 . 答案： －∞，－8 7 11．设 f(x)＝x3＋log2(x＋ x2＋1)，则对任意实数 a，b，a＋b≥0 是 f(a)＋f(b)≥0 的 ________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)． 解析：因为 f(－x)＝－x3＋log2(－x＋ x2＋1)＝－x3＋log2 1 x＋ x2＋1 ＝－x3－log2(x＋ x2＋1)＝－f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数，易知函数 f(x)在 R 上是增函数， 因为 a＋b≥0，所以 a≥－b， 所以 f(a)≥f(－b)＝－f(b)，即 f(a)＋f(b)≥0，反之亦成立， 因此，对任意实数 a，b，a＋b≥0 是 f(a)＋f(b)≥0 的充要条件． 答案：充要 12．设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)； ③当 0≤x<1 时，f(x)＝2x－1，则 f 1 2 ＋f(1)＋f 3 2 ＋f(2)＋f 5 2 ＝________. 解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2， 则 f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即 f(1)＝0. ∴f 1 2 ＋f(1)＋f 3 2 ＋f(2)＋f 5 2 ＝f 1 2 ＋0＋f －1 2 ＋f(0)＋f 1 2 ＝f 1 2 －f 1 2 ＋f(0)＋f 1 2 ＝f 1 2 ＋f(0) ＝21 2 －1＋20－1 ＝ 2－1. 答案： 2－1 三、解答题 13．设函数 f(x)＝ ax＋b，x<0， 2x，x≥0， 且 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求 f(x)的解析式； (2)画出 f(x)的图象． 解：(1)由 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得 －2a＋b＝3， －a＋b＝2， 解得 a＝－1，b＝1， 所以 f(x)＝ －x＋1，x<0， 2x，x≥0. (2)f(x)的图象如图所示： 14．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x. (1)求 f(π)的值； (2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数． ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)， 得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即 f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称． 又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示． 设当－4≤x≤4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S＝4S△OAB＝4× 1 2 ×2×1 ＝4. 高考研究课一函数的定义域、解析式及分段函数 [全国卷 5 年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 函数的概念 5 年 1 考 函数定义问题 分段函数 5 年 3 考 分段函数求值及不等式恒成立问题 函数的定义域问题 [典例] (1)(2018·长沙模拟)函数 y＝lgx＋1 x－2 的定义域是( ) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－1,2)∪(2，＋∞) D．[－1,2)∪(2，＋∞) (2)若函数 f(x)＝ 2 2 +2 -x ax a －1的定义域为 R，则 a 的取值范围为________． [解析] (1)由题意知，要使函数有意义，需 x－2≠0， x＋1>0， 即－12，所以函数 的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选 C. (2)因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2＋2ax－a－1≥0 对 x∈R 恒成立，即 2x2＋2ax －a≥1，x2＋2ax－a≥0 恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案] (1)C (2)[－1,0] [方法技巧] 函数定义域问题的 3 种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出． ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． [即时演练] 1．函数 f(x)＝ 4－|x|＋lg x2－5x＋6 x－3 的定义域为( ) A．(2,3) B．(2,4] C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6] 解析：选 C 由题意得 4－|x|≥0， x2－5x＋6 x－3 >0， 解得 21， 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________． 解析：因为 f(x)＝ 21－x，x≤1， log2 2 x ，x>1， 所以 f(x)≤2 等价于 x≤1， 21－x≤2 或 x>1， log2 2 x ≤2， 即 x≤1， 1－x≤1 或 x>1， 2 x ≤4， 即 0≤x≤1 或 x>1，则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 3．已知函数 f(x)＝ 1－|x|，x≤1， x2－4x＋3，x>1， 若 f(f(m))≥0，则实数 m 的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[－2,2]∪[4，＋∞) C．[－2,2＋ 2] D．[－2,2＋ 2]∪[4，＋∞) 解析：选 D 令 f(m)＝n，则 f(f(m))≥0 就是 f(n)≥0.画出函数 f(x)的图象可知，－1≤n≤1 或 n≥3，即－1≤f(m)≤1 或 f(m)≥3.由 1－|x|＝－1 得，x＝2 或 x＝ －2.由 x2－4x＋3＝1 得，x＝2± 2，由 x2－4x＋3＝3 得，x＝0 或 x＝ 4.再根据图象得到，m∈[－2，2＋ 2]∪[4，＋∞)． 角度三：研究分段函数的性质 4．已知函数 f(x)＝ x2＋1，x>0， cos x，x≤0， 则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 解析：选 D 因为 f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以 f(－π)≠f(π)，所以函数 f(x)不是偶 函数，排除 A；因为函数 f(x) 在(－2π，－π)上单调递减，排除 B；函数 f(x)在(0，＋∞)上 单调递增，所以函数 f(x)不是周期函数，排除 C；因为 x＞0 时，f(x)＞1，x≤0 时，－1≤f(x)≤1， 所以函数 f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选 D. 5．已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＝ 2－x－1，x≤0， fx－1，x>0， 若方程 f(x)＝x＋a 有两个 不同实根，则 a 的取值范围为( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞) 解析：选 A 当 x≤0 时，f(x)＝2－x－1， 当 00 时，f(x)是周期函数， 如图所示． 若方程 f(x)＝x＋a 有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同 交点， 故 a<1，即 a 的取值范围是(－∞，1)． [方法技巧] 分段函数问题的 3 种类型及求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应 段的自变量的取值范围． (3)研究分段函数的性质 可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断． 1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝10lg x 的定义域和值域 相同的是( ) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 1 x 解析：选 D 函数 y＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数 y＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)． 函数 y＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数 y＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数 y＝ 1 x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选 D. 2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝ 1＋log22－x，x<1， 2x－1，x≥1， 则 f(－2)＋f(log212)＝( ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选 C ∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝12 2 ＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. 3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ 2x－1－2，x≤1， －log2x＋1，x>1， 且 f(a)＝－3，则 f(6－a)＝ ( ) A．－7 4 B．－5 4 C．－3 4 D．－1 4 解析：选 A 由于 f(a)＝－3， ①若 a≤1，则 2a－1－2＝－3，整理得 2a－1＝－1. 由于 2x>0，所以 2a－1＝－1 无解； ②若 a>1，则－log2(a＋1)＝－3， 解得 a＋1＝8，a＝7， 所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－7 4. 综上所述，f(6－a)＝－7 4. 4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ －x2＋2x，x≤0， lnx＋1，x＞0. 若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围 是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 解析：选 D 当 x≤0 时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax 化简为 x2 －2x≥ax，即 x2≥(a＋2)x，因为 x≤0，所以 a＋2≥x 恒成立，所以 a≥－2；当 x＞0 时， f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax 化简为 ln(x＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上， 当－2≤a≤0 时，不等式|f(x)|≥ax 恒成立，故选 D. 一、选择题 1．(2018·广东模拟)设函数 f(x)满足 f 1－x 1＋x ＝1＋x，则 f(x)的表达式为( ) A. 2 1＋x B. 2 1＋x2 C.1－x2 1＋x2 D.1－x 1＋x 解析：选 A 令1－x 1＋x ＝t，则 x＝1－t 1＋t ，代入 f 1－x 1＋x ＝1＋x，得 f(t)＝1＋1－t 1＋t ＝ 2 1＋t ，即 f(x)＝ 2 1＋x ，故选 A. 2．函数 f(x)＝ 1 ln2x＋1 的定义域是( ) A. －1 2 ，＋∞ B. －1 2 ，0 ∪(0，＋∞) C. －1 2 ，＋∞ D．[0，＋∞) 解析：选 B 由题意，得 2x＋1>0， 2x＋1≠1， 解得－1 20. 3．(2018·福建调研)设函数 f：R→R 满足 f(0)＝1，且对任意 x，y∈R 都有 f(xy＋1)＝f(x)f(y) －f(y)－x＋2，则 f(2 017)＝( ) A．0 B．1 C．2 017 D．2 018 解析：选 D 令 x＝y＝0，则 f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令 y＝0， 则 f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将 f(0)＝1，f(1)＝2 代入，可得 f(x)＝1＋x，所以 f(2 017)＝2 018. 4．若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则 f(1)＝( ) A．2 B．0 C．1 D．－1 解析：选 A 令 x＝1，得 2f(1)－f(－1)＝4，① 令 x＝－1，得 2f(－1)－f(1)＝－2， ② 联立①②得 f(1)＝2. 5．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为( ) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 解析：选 B 设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， ∴ a＋b＋c＝1， a－b＋c＝5， c＝0， 解得 a＝3， b＝－2， c＝0， ∴g(x)＝3x2－2x. 6．(2018·青岛模拟)已知函数 f(x)＝ 2x，x≤0， |log2x|，x>0， 则使 f(x)＝2 的 x 的集合是( ) A. 1 4 ，4 B.{1，4} C. 1，1 4 D. 1，1 4 ，4 解析：选 A 由题意可知，f(x)＝2，即 2x＝2， x≤0 或 |log2x|＝2， x>0， 解得 x＝1 4 或 4，故 选 A. 7．(2018·莱芜模拟)已知函数 f(x)的定义域为[3,6]，则函数 y＝ f2x log1 2 2－x 的定义域 为( ) A. 3 2 ，＋∞ B. 3 2 ，2 C. 3 2 ，＋∞ D. 1 2 ，2 解析 ：选 B 要使 函数 y＝ f2x log1 2 2－x 有意 义，需 满足 3≤2x≤6， log1 2 2－x>0， 2－x>0 ⇒ 3 2 ≤x≤3， 2－x<1， 2－x>0 ⇒3 2 ≤x<2.故选 B. 8．(2018·武汉调研)函数 f(x)＝ sinπx2，－10 对任意实数 x 恒成立， 若 k＝0，不等式化为 4x＋3>0，即 x>－3 4 ，不合题意； 若 k≠0，则 k>0， 16－4kk＋3<0， 解得 k>1. ∴实数 k 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 11．具有性质：f 1 x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数： ①f(x)＝x－1 x ；②f(x)＝x＋1 x ；③f(x)＝ x，01. 其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) 解析：对于①，f(x)＝x－1 x ，f 1 x ＝1 x －x＝－f(x)，满足题意； 对于②，f 1 x ＝1 x ＋x＝f(x)≠－f(x)，不满足题意； 对于③，f 1 x ＝ 1 x ，0<1 x<1， 0，1 x ＝1， －x，1 x>1， 即 f 1 x ＝ 1 x ，x>1， 0，x＝1， －x，0a. ①若 a＝0，则 f(x)的最大值为________； ②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是________． 解析：当 x≤a 时，由 f′(x)＝3x2－3＝0，得 x＝±1. 如图是函数 y＝x3－3x 与 y＝－2x 在没有限制条件时的图象． ①若 a＝0，则 f(x)max＝f(－1)＝2. ②当 a≥－1 时，f(x)有最大值； 当 a<－1 时，y＝－2x 在 x>a 时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所 以 a<－1. 答案：①2 ②(－∞，－1) 三、解答题 13．已知 f(x)＝x2－1，g(x)＝ x－1，x>0， 2－x，x<0. (1)求 f(g(2))与 g(f(2))； (2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式． 解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， 因此 f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当 x>0 时，g(x)＝x－1， 故 f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当 x<0 时，g(x)＝2－x， 故 f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 所以 f(g(x))＝ x2－2x，x>0， x2－4x＋3，x<0. 当 x>1 或 x<－1 时，f(x)>0， 故 g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2； 当－11 或 x<－1， 3－x2，－10. 解得 t>15＋ 21 2 或 t<15－ 21 2 ， 从而 00，v(t)单调递增； 当 t∈(9,10)时，v′(t)<0，v(t)单调递减． 所以当 t＝9 时，v(t)的最大值 v(9)＝ 1 240 ×3×e9＋50＝150(亿立方米)， 故一年内该水库的最大蓄水量是 150 亿立方米． 1．已知函数 f(x)＝ 2x－1，0≤x≤1， fx－1＋m，x>1 在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意 a≥0，方程 f(x)＝a 有且只有一个实数解，则函数 g(x)＝f(x)－x 在区间[0,2n](n∈N*) 上的所有零点的和为( ) A.nn＋1 2 B．22n－1＋2n－1 C.1＋2n2 2 D．2n－1 解析：选 B 因为函数 f(x)＝ 2x－1，0≤x≤1， fx－1＋m，x>1 在定义域[0，＋∞)上单调递增，所 以 m≥1. 又因为对于任意 a≥0，方程 f(x)＝a 有且只有一个实数解，且函数 f(x) ＝ 2x－1，0≤x≤1， fx－1＋m，x>1 在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，所 以 m＝1. 如图所示，函数 g(x)＝f(x)－x 在区间 [0,2n](n∈N*)上的所有零点分别为 0,1,2,3，…，2n， 所以所有的零点的和等于2n1＋2n 2 ＝22n－1＋2n－1. 2．设函数 f(x)＝ x－[x]，x≥0， fx＋1，x<0， 其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[－1.5]＝－ 2，[2.5]＝2，若直线 y＝k(x－1)(k<0)与函数 y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，则 k 的取 值范围为( ) A. －1 2 ，－1 3 B. －1 2 ，－1 3 C. －1，－1 2 D. －1，－1 2 解析：选 C 作出函数 f(x)＝ x－[x]，x≥0， fx＋1，x<0 的图象如图所示． 因为直线 y＝k(x－1)(k<0)与函数 y＝f(x)的图象只有三个不同的交点， 所以 k0－1<1， k－1－1≥1， 解得－10 在(0，＋∞)内恒成立，故 y＝ex－x 在(0，＋∞)上单调递增，故选 A. 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ x 2 B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5x 解析：选 A y＝ x 2 在区间(0，＋∞)上为增函数，A 项符合题意；y＝(x－1)2 在(0,1)上 为减函数，y＝2－x，y＝log0.5x 在(0，＋∞)上都是减函数，故 B、C、D 选项都不符合题意． 3．(2018·广东佛山联考)讨论函数 f(x)＝ ax x2－1 (a>0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：(定义法) 设－10，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0. 又 a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， 故函数 f(x)在(－1,1)上为减函数． 法二：(导数法) f′(x)＝ax′x2－1－axx2－1′ x2－12 ＝ax2－1－2ax2 x2－12 ＝a－x2－1 x2－12 ＝－ax2＋1 x2－12. ∵a>0，x∈(－1,1)， ∴f′(x)<0. ∴f(x)在(－1,1)上是减函数． [方法技巧] 确定函数单调性的常用方法 定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 图象法 若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、 降写出它的单调性 导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性 [提醒] 复合函数 y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外 函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数． 角度二：求函数的值域或最值 4．函数 y＝2x2＋2x 的值域为( ) A. 1 2 ，＋∞ B．[2，＋∞) C. 0，1 2 D．(0,2] 解析：选 A 因为 x2＋2x≥－1，且 y＝2t 是增函数， 所以 y＝2x2＋2x≥1 2 ， 因此函数 y＝2x2＋2x 的值域是 1 2 ，＋∞ . 5．(2016·北京高考)函数 f(x)＝ x x－1 (x≥2)的最大值为________． 解析：f′(x)＝x－1－x x－12 ＝－ 1 x－12 ， 当 x≥2 时，f′(x)＜0，所以 f(x)在[2，＋∞)上是减函数，故 f(x)max＝f(2)＝ 2 2－1 ＝2. 答案：2 [方法技巧] 利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数 法． 角度三：比较两个函数值 6．(2017·天津高考)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若 a＝g(－log25.1)， b＝g(20.8)，c＝g(3)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．a0 时，f(x)>0， 所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 g(x)>0. 又 a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)， 20．8<2＝log24x1>1 时，[f(x2) －f(x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f －1 2 ，b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 解析：选 D 由 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，可得 f －1 2 ＝f 5 2 .由 x2>x1>1 时，[f(x2) －f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，知 f(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<5 2f 5 2 >f(e)， ∴b>a>c. [方法技巧] 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 角度四：解函数不等式 8．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足 f(2x－1)5，即 x<－2 或 x>3. 9．已知函数 f(x)＝{x2＋x，x≥0， x－x2，x<0， 若 f(a)>f(2－a)，则 a 的取值范围是 ________． 解析：作出函数 f(x)＝{x2＋x，x≥0， x－x2，x<0 的图象，如图所 示，显然函数 f(x)是增函数，所以不等式 f(a)>f(2－a)等价于 a>2－a，则 a>1. 答案：(1，＋∞) [方法技巧] 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转 化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 角度五：利用单调性求参数的取值范围 10．(2018·济宁模拟)函数 f(x)＝ ax，x>1， 4－a 2 x＋2，x≤1， 满足对任意的实数 x1≠x2 都有fx1－fx2 x1－x2 >0 成立，则实数 a 的取值范围为____________． 解析：由题意，函数 f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且 f(x)在(－∞，1]上 的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即 a>1， 4－a 2>0， a≥4－a 2 ＋2， 解得 a ∈[4,8)． 答案：[4,8) [方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单 调区间比较求参数； (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调 的． 函数的奇偶性 [典例] (1)(2018·重庆适应性测试)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x3＋3x2 B．y＝ex＋e－x 2 C．y＝xsin x D．y＝log2 3－x 3＋x (2)(2018·湖北武汉十校联考)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ ex，则 g(x)＝( ) A．ex－e－x B.1 2(ex＋e－x) C.1 2(e－x－ex) D.1 2(ex－e－x) (3)若 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则 a＝________. [解析] (1)依题意，对于选项 A，注意到当 x＝－1 时，y＝2；当 x＝1 时，y＝4，因 此函数 y＝x3＋3x2 不是奇函数．对于选项 B，注意到当 x＝0 时，y＝1≠0，因此函数 y＝ex＋e－x 2 不是奇函数．对于选项 C，注意到当 x＝－π 2 时，y＝π 2 ；当 x＝π 2 时，y＝π 2 ，因此函数 y＝xsin x 不是奇函数．对于选项 D，由3－x 3＋x >0 得－33 成立的 x 的取值范围为( ) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析：选 C ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即2－x＋1 2－x－a ＝－2x＋1 2x－a ，化简可得 a＝1， 则2x＋1 2x－1 >3，即2x＋1－3×2x＋3 2x－1 >0， ∴2x－2 2x－1 <0，∴1<2x<2，解得 0b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 解析：选 C 由 f(x－1)＝f(x＋1)可知，函数的最小正周期为 2，由 f(x＋1)＝f(1－x)可 知，函数的图象关于直线 x＝1 对称，又因为当 x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x，所以 a＝f(－ 2) ＝f(2＋ 2)＝f( 2－2)＝e2－ 2，b＝f(3)＝f(－1)＝e，c＝f(8)＝f(0)＝1，则 b>a>c. 2．(2016·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝ x＋a，－1≤x＜0， |2 5 －x|，0≤x＜1， 其中 a∈R.若 f －5 2 ＝f 9 2 ，则 f(5a)的值是 ________． 解析：因为函数 f(x)的周期为 2，结合在[－1,1)上 f(x)的解析式，得 f －5 2 ＝f －2－1 2 ＝f －1 2 ＝－1 2 ＋a， f 9 2 ＝f 4＋1 2 ＝f 1 2 ＝|2 5 －1 2|＝ 1 10. 由 f －5 2 ＝f 9 2 ，得－1 2 ＋a＝ 1 10 ，解得 a＝3 5. 所以 f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋3 5 ＝－2 5. 答案：－2 5 函数性质的综合应用 高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、 单调性的综合考查. 常见的命题角度有： 1单调性与奇偶性结合； 2周期性与奇偶性结合； 3单调性、奇偶性与周期性结合. 角度一：单调性与奇偶性结合 1．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有( ) A．f 1 4 m2－1， 解得－20，则 x 的取值范围是________． 解析：由题可知，当－20.f(x－1)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1 个单 位长度得到的，若 f(x－1)>0，则－1y>0，则( ) A.1 x －1 y>0 B．sin x－sin y>0 C. 1 2 x－ 1 2 y<0 D．ln x＋ln y>0 解析：选 C A 项，考查的是反比例函数 y＝1 x 在(0，＋∞)上单调递减，因为 x>y>0， 所以1 x －1 y<0，所以 A 错误；B 项，考查的是三角函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有 sin x>sin y，所以 B 错误；C 项，考查的是指 数函数 y＝ 1 2 x 在(0，＋∞)上单调递减，因为 x>y>0，所以有 1 2 x< 1 2 y，即 1 2 x－ 1 2 y<0， 所以 C 正确；D 项，考查的是对数函数 y＝ln x 的性质，ln x＋ln y＝ln xy，当 x>y>0 时，xy>0， 不一定有 ln xy>0，所以 D 错误． 4．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x＜0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x＞1 2 时，f x＋1 2 ＝f x－1 2 ，则 f(6)＝( ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选 D 由题意可知，当－1≤x≤1 时，f(x)为奇函数，且当 x>1 2 时，f(x＋1)＝f(x)， 所以 f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而 f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以 f(6)＝2.故选 D. 5．(2018·湖南联考)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若 a＝f sin2π 7 ，b＝f cos5π 7 ，c＝f tan5π 7 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．b0，∴tan5π 7 f(2x－1)成立的 x 的取值范围是( ) A. 1 3 ，1 B. －∞，1 3 ∪(1，＋∞) C. －1 3 ，1 3 D. －∞，1 3 ∪ 1 3 ，＋∞ 解析：选 A 由题意知，f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，当 x≥0 时，易得函数 f(x)＝ln(1＋x)－ 1 1＋x2 是增函数，所以不等式 f(x)>f(2x－1)等价于|2x－1|<|x|，解得1 30.若 f －1 3 ＝1 2 ，2f log1 8x <1，则 x 的取值范围为________． 解析：由 f(－x)＝f(x)可知，函数 f(x)是偶函数， 因为对于任意 x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有fx2－fx1 x1－x2 >0，即fx2－fx1 x2－x1 <0， 所以函数 f(x)在[0，＋∞)上是减函数． 又因为 f －1 3 ＝1 2 ，所以 2f log1 8x <1＝2f －1 3 ， 所以|log1 8x|>1 3 ，即 log1 8x>1 3 或 log1 8x<－1 3 ， 所以 02， 即 x 的取值范围为 0，1 2 ∪(2，＋∞)． 答案： 0，1 2 ∪(2，＋∞) 12．(2017·江苏高考)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－1 ex ，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a －1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由 f(x)＝x3－2x＋ex－1 ex ， 得 f(－x)＝－x3＋2x＋1 ex －ex＝－f(x)， 所以 f(x)是 R 上的奇函数． 又 f′(x)＝3x2－2＋ex＋1 ex ≥3x2－2＋2 ex·1 ex ＝3x2≥0，当且仅当 x＝0 时取等号， 所以 f(x)在其定义域内单调递增． 因为 f(a－1)＋f(2a2)≤0， 所以 f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)， 所以 a－1≤－2a2，解得－1≤a≤1 2 ， 故实数 a 的取值范围是 －1，1 2 . 答案： －1，1 2 三、解答题 13．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝log 1 2 x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x2－1)>－2. 解：(1)当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝log 1 2 (－x)． 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)． 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ log1 2 x，x>0， 0，x＝0， log 1 2 －x，x<0. (2)因为 f(4)＝log 1 2 4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式 f(x2－1)>－2 可化为 f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－ 50,2x1＋x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 故 f(x)在(0,1)上是减函数． 1．已知奇函数 f(x)(x∈D)，当 x>0 时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题： ①D＝[－1,1]；②对∀x∈D，|f(x)|≤2；③∃x0∈D，使得 f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得 f(x1)＝1. 其中所有正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 A 由奇函数 f(x)(x∈D)，当 x>0 时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与 定义域无关，故①错误；对于②，可能 f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当 0 不 在 D 中，且 x 轴为渐近线时，则不满足③；当 y＝1 为渐近线时，不满足④，因此选 A. 2．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝1 2(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)， 若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数 a 的取值范围为( ) A. －1 3 ，1 3 B. － 3 3 ， 3 3 C. －1 6 ，1 6 D. － 6 6 ， 6 6 解 析 ： 选 D 当 x≥0 时 ， f(x) ＝ {－x，0≤x