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- 2021-06-15 发布
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第6节 解三角形
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
===2R
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
常见
变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)sin A=,sin B=,sin C=;
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
cos A=;
cos B=;
cos C=
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin A
b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
4.测量中的几个术语
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
(3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30°,北偏西45°等.
(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.
解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系,从而应用正、余弦定理求解.
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin=cos;(4)cos=sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos Asin B,则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时,不可求三边.
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中,a=2,b=3,c=4,则cos B=( )
A. B. C. D.
解析 由余弦定理知cos B==.
答案 A
3.(老教材必修5P11例1改编)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
解析 在△ABC中,由正弦定理得=,
又∠CBA=180°-45°-105°=30°,
∴AB===50(m).
答案 A
4.(2019·安庆二模)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin
B,且c=2b,则等于( )
A. B. C. D.
解析 由bsin 2A=asin B,及正弦定理得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,得cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.故选D.
答案 D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4 B. C. D.2
解析 由题意得cos C=2cos2 -1=2×-1=-.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=52+12-2×5×1×=32,所以AB=4.
答案 A
6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=________.
解析 作出单位圆的内接正六边形,如图,则OA=OB=AB=1,S6=6××12×sin 60°=.
答案
第一课时 正弦定理和余弦定理
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2019·郑州二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2
-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为( )
A. B. C. D.6
(2)(2020·衡水模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且有a=1,sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,则A=________.
解析 (1)由2cos2-cos 2C=1,
可得2cos2-1-cos 2C=0,
则有cos 2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,
解得cos C=或cos C=-1(舍),
由4sin B=3sin A,得4b=3a,①
又a-b=1,②
联立①,②得a=4,b=3,
所以c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13,则c=.
(2)由sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,
得sin Acos C+sin Ccos A=-bcos A,
所以sin(A+C)=-bcos A,即sin B=-bcos A,
又=,所以==-,
从而=-⇒tan A=-,
又因为00,∴sin A=1,即A=,
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)C (2)B
规律方法 1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若0,
所以sin C0,所以cos B<0,
即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
(2)∵=,∴=,∴b=c.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
∴b2+c2-a2=bc,
∴cos A===.
∵A∈(0,π),∴A=,
∴△ABC是等边三角形.
答案 (1)A (2)C
考点三 和三角形面积有关的问题
【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin =bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
故cos=2sincos.
因为cos≠0,所以sin=,所以B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
由(1)知A+C=120°,
由正弦定理得a===+.
由于△ABC为锐角三角形,故0°c2,故2b=a,故选A.
[应用示范]由正弦定理及sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C得b+2bcos C=2acos C+ccos A=acos C+(acos C+ccos A)=acos C+b,即2bcos C=acos C,又因为△ABC为锐角三角形,所以cos C≠0,则2b=a.
答案 A
【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=________.
[通性通法]依题意得2b×=a×+c×,即a2+c2-b2=ac,所以2accos B=ac>0,cos B=.又0a,B>A,0°
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