2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6节解三角形第2课时解三角形的综合应用教学案含解析新人教A版 15页

第二课时　解三角形的综合应用 考点一　解三角形的实际应用　多维探究 角度1　测量距离问题 ‎【例1－1】 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.‎ 解析　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，‎ 又∠PBA＝∠PBQ＝60°，‎ ‎∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.‎ 又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，‎ ‎∴PQ＝PA.‎ 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，‎ ‎∴P，Q两点间的距离为900 m.‎ 答案　900‎ 规律方法　距离问题的类型及解法：‎ ‎(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.‎ ‎(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.‎ 角度2　测量高度问题 ‎【例1－2】 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A.5 B.15 C.5 D.15 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.‎ 答案　D 规律方法　1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.‎ ‎2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.‎ ‎3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.‎ 角度3　测量角度问题 ‎【例1－3】 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？‎ 解　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，‎ ‎∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，‎ 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，‎ 所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.‎ 又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，‎ 又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，‎ 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.‎ 规律方法　1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.‎ ‎2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.‎ ‎【训练1】 (1)(角度1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ ‎(2)(角度2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ ‎ (3)(角度3)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.75°‎ 解析　(1)如图，设炮台的顶部为A，底部为O，两只小船分别为M，N，则由题意得，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ‎＝＝10(m).‎ ‎(2)由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.‎ 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，‎ 解得BC＝300(m).‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).‎ ‎(3)依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，‎ 又CD＝50 m，‎ 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝ ‎＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案　(1)10　(2)100　(3)B 考点二　解三角形与三角函数的综合应用 ‎【例2】 (2019·石家庄二模)已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1，x∈R.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)的对称中心；‎ ‎(2)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且f＝2，a＝3，若b＋c≤ka恒成立，求正整数k的最小值.‎ 解　(1)由题意得，f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1‎ ‎＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z).‎ ‎∴曲线y＝f(x)的对称中心为，其中k∈Z.‎ ‎(2)∵f＝2，∴2sin＝2，∴sin＝1，‎ 又0).‎ 因为S△ABC＝10，‎ 所以S△ABC＝absin C＝×8t×5t×＝10，‎ 解得t＝1，即a＝8，b＝5，c＝7.‎ 因为BD＝3DC，所以BD＝6，DC＝2.‎ 在△ADC中，由余弦定理，得 AD2＝CD2＋CA2－2CD·CA·cos C＝19，‎ 所以AD＝.‎ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)‎ A. km B. km C. km D.2 km 解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，‎ ‎∴AC＝2×＝(km).‎ 答案　A ‎2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝ ‎，则这个三角形必含有(　　)‎ A.90°的内角 B.60°的内角 C.45°的内角 D.30°的内角 解析　由＝得＝⇒＝⇒cos A＝⇒A＝60°.‎ 答案　B ‎3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析　如图所示，易知，‎ 在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 在△ABC中，‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里).‎ 答案　A ‎4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)‎ A.8 B.4 C.2 D. 解析　由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.‎ 答案　B ‎5.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A.240(－1)m B.180(－1)m C.120(－1)m D.30(＋1)m 解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，‎ 在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝＝ ‎＝60(2－)(m)，‎ ‎∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).‎ 答案　C 二、填空题 ‎6.(多填题)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则sin C＝________，AB＝________.‎ 解析　在△ACD中，由余弦定理可得 cos C＝＝，‎ 则sin C＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理可得＝，‎ 则AB＝＝＝.‎ 答案　　 ‎7.已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________.‎ 解析　在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos ∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2，舍去)，则cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos ∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.‎ 答案　6‎ ‎8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.‎ 解析　∵tan B＝－，∴sin B＝，cos B＝－，‎ 又S△ABC＝acsin B＝2c＝8，‎ ‎∴c＝4，∴b＝＝，‎ ‎∴＝＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.(2020·武汉检测)已知向量m＝(cos x，1)，n＝.‎ ‎(1)当m∥n时，求的值；‎ ‎(2)已知钝角三角形ABC中，A为钝角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2asin(A＋B).若函数f(x)＝m2－n2，求f(A)的值.‎ 解　(1)当m∥n时，有cos x－sin x＝0，即tan x＝.‎ 所以＝＝＝3.‎ ‎(2)因为在△ABC中，c＝2asin(A＋B)，‎ 所以由正弦定理及诱导公式，得sin C＝2sin Asin C.‎ 又C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A＝.‎ 又A为钝角，所以A＝.‎ 因为函数f(x)＝m2－n2＝cos2x＋1－sin2x－＝cos 2x＋，‎ 所以f(A)＝cos ＋＝＋＝.‎ ‎10.如图，在锐角△ABC中，sin ∠BAC＝，sin ∠ABC＝，BC＝6，点D在边BC上，且BD＝2DC，点E在边AC上，且BE⊥AC，BE交AD于点F.‎ ‎(1)求AC的长；‎ ‎(2)求cos ∠DAC及AF的长.‎ 解　(1)在锐角△ABC中，sin ∠BAC＝，‎ sin ∠ABC＝，BC＝6，‎ 由正弦定理可得＝，‎ 所以AC＝＝＝5.‎ ‎(2)由sin ∠BAC＝，sin ∠ABC＝，‎ 可得cos ∠BAC＝，cos ∠ABC＝，‎ 所以cos C＝－cos(∠BAC＋∠ABC)‎ ‎＝－cos ∠BAC·cos ∠ABC＋sin ∠BAC·sin ∠ABC ‎＝－×＋×＝.‎ 因为BE⊥AC，AC＝5，‎ 所以CE＝BCcos C＝6×＝，AE＝AC－CE＝.‎ 在△ACD中，AC＝5，CD＝BC＝2，cos C＝，‎ 由余弦定理可得 AD＝＝ ‎＝，‎ 所以cos∠DAC＝＝ ‎＝.‎ 由BE⊥AC，得AFcos ∠DAC＝AE，‎ 所以AF＝＝.‎ B级　能力提升 ‎11.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　)‎ A.不等腰的直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 解析　易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形.‎ 答案　D ‎12.(2020·安徽A10联盟联考)如图，在△ABC中，BD·sin B＝CD·sin C，BD＝2DC＝2，AD＝2，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C.3 D.3 解析　过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E，F.‎ 由BD·sin B＝CD·sin C得DE＝DF，‎ 则AD为∠BAC的平分线，∴＝＝2，‎ 又cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，‎ 即＝－，解得AC＝2，则AB＝4.‎ 在△ABC中，cos ∠BAC＝＝，‎ ‎∴sin ∠BAC＝，‎ ‎∴S△ABC＝AB·AC·sin ∠BAC＝.‎ 答案　B ‎13.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.‎ 解析　如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝＝，‎ 故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，‎ 由＝，‎ 得AD＝＝，‎ 故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2).‎ 答案　 ‎14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.‎ ‎(1)求sin∠ABD的值；‎ ‎(2)若∠BCD＝，求CD的长.‎ 解　(1)∵AD∶AB＝2∶3，‎ ‎∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).‎ 又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理，‎ 得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，‎ 解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，‎ sin∠ABD＝＝＝.‎ ‎(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，‎ ‎∴sin∠DBC＝，‎ 在△DCB中，由正弦定理，得 CD＝＝＝.‎ C级　创新猜想 ‎15.(新背景题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米.‎ 解析　设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，所以cos C＝＝＝＝，所以sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米).‎ 答案　21‎