2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式教学案含解析新人教A版 13页

第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin__α cos α cos α 余弦 cos α ‎－cos α ‎ cos α ‎ ‎－cos α ‎ sin α ‎－sin α ‎ 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.同角三角函数关系式的常用变形 ‎(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.‎ ‎2.诱导公式的记忆口诀 ‎“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.‎ ‎3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)‎ ‎(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)‎ ‎(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)‎ 解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.‎ ‎(3)中当α的终边落在y轴上，商数关系不成立.‎ ‎(4)当k为奇数时，sin α＝，‎ 当k为偶数时，sin α＝－.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(新教材必修第一册P186T15改编)已知tan α＝2，则＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　原式＝＝＝.‎ 答案　A ‎3.(老教材必修4P29T2改编)已知α为锐角，且sin α＝，则cos(π＋α)＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　因为α为锐角，所以cos α＝＝，‎ 故cos(π＋α)＝－cos α＝－.‎ 答案　A ‎4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，‎ ‎∴sin 2α＝1－＝－.‎ 答案　A ‎5.(2019·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　∵sin α＝－，α为第四象限角，‎ ‎∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－.‎ 答案　D ‎6.(2020·豫北六校精英对抗赛)若f(x)＝cos＋1，且f(8)＝2，则f(2 018)＝________.‎ 解析　∵f(8)＝cos(4π＋α)＋1＝cos α＋1＝2，‎ ‎∴cos α＝1，∴f(2 018)＝cos ＋1‎ ‎＝cos(1 009π＋α)＋1＝cos(π＋α)＋1＝－cos α＋1‎ ‎＝－1＋1＝0.‎ 答案　0‎ 考点一　同角三角函数基本关系及其应用多维探究 角度1　切弦互化 ‎【例1－1】 (1)已知β为第二象限角，tan β＝－，则cos β＝(　　)‎ A.－ B.－ C.－ D.－ ‎(2)若tan(α－3π)＝－5，则＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　(1)因为β为第二象限角，所以tan β＝＝＝－，解得cos β＝－.‎ ‎(2)由tan(α－3π)＝－5，得tan α＝－5，‎ 所以＝ ‎＝＝＝.‎ 答案　(1)B　(2)A 规律方法　利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ 角度2　“1”的变换 ‎【例1－2】 (1)若tan(α－π)＝，则＝(　　)‎ A.－ B.－2 C. D.2‎ ‎(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝，‎ ＝＝＝＝2.‎ ‎(2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，又tan θ＝2，故原式＝＝.‎ 答案　(1)D　(2)D 规律方法　注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ 角度3　sin α±cos α与sin αcos α的转化 ‎【例1－3】 (2019·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝(　　)‎ A. B. C. D.－ 解析　因为sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ ‎>0，因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝＝＝＝.故选B.‎ 答案　B 规律方法　应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎【训练1】 (1)(角度1)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(2)(角度2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D.－2‎ ‎(3)(角度3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.‎ 解析　(1)因为α是第四象限角，sin α＝－，‎ 所以cos α＝＝，‎ 故tan α＝＝－.‎ ‎(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，‎ ＝＝ ‎＝＝.‎ ‎(3)∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝－.‎ 答案　(1)C　(2)A　(3)－ 考点二　诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)，则sin ‎＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. ‎(2)已知f(α)＝，则f的值为________.‎ 解析　(1)由题意知sin α＝，cos α＝，‎ ‎∴sin＝sin＝－cos α＝－.‎ ‎(2)因为f(α)＝＝＝cos α，‎ 所以f＝cos＝cos ＝.‎ 答案　(1)B　(2) 规律方法　(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【训练2】 已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f＝________.‎ 解析　∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝＝.‎ 答案　 考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 ‎【例3】 (1)(2020·邯郸联考)已知3sin＝－5cos，则tan ‎＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. ‎(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)由3sin＝－5cos，‎ 得sin＝－cos，‎ 所以tan＝＝＝－.‎ ‎(2)由已知得 消去sin β，得tan α＝3，‎ ‎∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，‎ 化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).‎ 答案　(1)A　(2)C 规律方法　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.‎ ‎2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.‎ ‎【训练3】 (1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(2)已知sin α＝，则tan(π＋α)＋＝________.‎ 解析　(1)由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，‎ 即tan2θ－tan θ－＝0，‎ 解得tan θ＝或tan θ＝－.‎ 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，‎ 故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ ‎＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角，‎ tan(α＋π)＋＝tan α＋ ‎＝＋＝.‎ ‎①当α是第一象限角时，cos α＝＝，‎ 原式＝＝；‎ ‎②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，‎ 原式＝＝－.‎ 综合①②知，原式＝或－.‎ 答案　(1)D　(2)或－ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.(2019·闽粤赣三省十校联考)若α∈，sin α＝，则tan α＝(　　)‎ A.－ B.－ C.－ D. 解析　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－.‎ 答案　C ‎2.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ ‎∴－sin θ＝－cos θ，‎ ‎∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.‎ 答案　D ‎3.＝(　　)‎ A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2‎ C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 ‎ 解析　＝ ‎＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.‎ 答案　A ‎4.(2020·成都诊断)已知cos(α＋π)＝，则sin＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　由cos(α＋π)＝－cos α＝，得cos α＝－，‎ sin＝cos 2α＝2cos2α－1＝－.‎ 答案　D ‎5.若＝，则tan θ＝(　　)‎ A.1 B.－1 C.3 D.－3‎ 解析　因为＝＝，‎ 所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，‎ 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.‎ 答案　D ‎6.当θ为第二象限角，且sin＝时，的值是(　　)‎ A.1 B.－1 C.±1 D.0‎ 解析　∵sin＝，∴cos ＝，‎ ‎∴在第一象限，且cos 0，所以A为锐角，‎ 由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，‎ 可求得sin A＝.‎ 答案　 ‎10.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.‎ 解析　由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ 为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.‎ 答案　－ ‎11.化简：＝________.‎ 解析　原式＝ ‎＝＝＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎12.已知tan θ＝3，则cos＝________.‎ 解析　∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.‎ 答案　 B级　能力提升 ‎13.(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　∵方程5x2－7x－6＝0的两根分别为x1＝2和x2＝－，∴sin α＝－.‎ 则＝‎ ＝ ‎＝－＝，故选B.‎ 答案　B ‎14.若tan α＝cos α，则＋cos4α的值为(　　)‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 解析　tan α＝cos α⇒＝cos α⇒sin α＝cos2α，故＋cos4α＝＋sin2α＝sin α＋＋1－cos2α＝sin α＋＋1－sin α＝2.‎ 答案　2‎ ‎15.已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________.‎ 解析　由题意知sin θ·cos θ＝－，‎ 联立得或 又θ为三角形的一个内角，∴sin θ>0，则cos θ＝－，‎ ‎∴θ＝.‎ 答案　 ‎16.(多填题)已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.‎ 解析　sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.‎ ‎∵0<α<，∴0