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- 2021-06-15 发布
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2020届一轮复习北师大版 计数原理 课时作业
一、选择题
1.(2018·广东理,4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )
A. B.
C. D.1
[答案] B
[解析] 从袋中任取 2个球共有 C215=105种,其中恰好1个白球1个红球共有C110C15=50种,所以恰好1个白球1个红球的概率为=,故选B.
2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务,如果要求至少有1名女生参加,那么不同的选派方案种数为( )
A.14 B.15
C.120 D.119
[答案] A
[解析] 方法一:至少有1名女生,可分为两种情况:1名女生3名男生;2名女生2名男生,所以不同的选派方案种数为CC+CC=14.
方法二:6人中选4人的方案共有C=15种,没有女生的方案只有1种,所以满足要求的选派方案种数为15-1=14.
3.(2018·全国大纲理,5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种
C.75种 D.150种
[答案] C
[解析] 本题考查了分步计数原量和组合的运算,从6名男医生选2人有C=15种选法,从5名女医生选1人有C=5种选法,所以由分步计数原理可知共有15×5=75种不同的选法.解决排列组合问题要首先确定是排列问题还是组合问题,是分步还是分类.然后解决问题.
4.把4个苹果分给两个人,每人至少一个,不同分法种数有( )
A.6 B.12
C.14 D.16
[答案] C
[解析] 有两类分法①一人3个,一个1个有CCA种分法,②每人各2个有CC种分法.所以共有CA+CC=14种不同的分法,选C.
5.某城市街道如图,某人要走最短路程从A地前往B地,则不同走法有( )
A.8种 B.10种
C.12种 D.32种
[答案] B
[解析] 因为从A地到B地路程最短,我们可以在地面画出模型,实地实验探究一下走法可得出:①要走的路程最短必须走5步,且不能重复.②向东的走法定出后,向南的走法随之确定.所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可.故有不同走法有C=C=10种.选B.
二、填空题
6.有3张参观券,要在5人中确定3人去参观,不同方法的种数是________(用数字作答).
[答案] 10
[解析] 由于选出的人无角色差异,所以是组合问题,不同方法种数为C==10.
7.从1、3、5、7中任取2个数字,从0、2、4、6、8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有________个(用数字作答).
[答案] 300
[解析] 能被5整除,个位数字只能是0或5,共分三种情况:
(1)只含有数字5,则5一定位于个位上,从1、3、7中选一个,有C种选法,再从2、4、6、8中选两个,有C种选法,然后将这三个数进行全排列,有A种方法,故共有C·C·A=108个数;
(2)同理只含有数字0,有C·C·A=72个数;
(3)既有5又有0,则有两种情况;0位于个位共有C·C·A个数;5位于个位共有C·C·C·A个数.故共有C·C·A+C·C·C·A=120个数.
所以符合题意的四位数共有108+72+120=300(个).
8.从集合U={a,b,c,d}的子集中选出4个不同的子集,需同时满足以下两个条件:
(1)∅、U都要选出;
(2)对选出的任意两个子集A和B,必有A⊆B或A⊇B.
那么,共有________种不同的选法.
[答案] 36
[解析] 将选法分成两类.第一类:其中一个是单元素集合,则另一集合为两个或三个元素且含有单元素集合中的元素,有C×6=24种.
第二类:其中一个是两个元素集合,则另一个是含有这两个元素的三元素集合,有C×2=12种.
综上共有24+12=36种.
三、解答题
9.7名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法?
(1)7人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减;
(2)任取6名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮.
[解析] (1)第一步,将最高的安排在中间只有1种方法;第二步,从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C种选法,对于每一种选法只有一种安排方法,第三步,将剩下3人安排在另一侧,只有一种安排方法,∴共有不同安排方案C=20种.
(2)第一步从7人中选取6人,有C种选法;第二步从6人中选2人排一列有C种排法,第三步,从剩下的4人中选2人排第二列有C种排法,最后将剩下2人排在第三列,只有一种排法,故共有不同排法C·C·C=630种.
10.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少有1人参加.
[解析] (1)C=792种不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C=36种不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C=126种不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C种选法,再从另外的9人中选4人,有C种选法,故共有C·C=378种不同的选法.
(5)解法一(直接法):分三类:
第一类:甲、乙、丙中有1人参加,有C·C种选法;
第二类:甲、乙、丙中有2人参加,有C·C种选法;
第三类:甲、乙、丙3人均参加,有C·C种选法,
故共有C·C+C·C+C·C=666种不同的选法.
解法二(间接法):从12人任意选5人共有C种选法,甲、乙、丙三人不能参加的有C种,所以共有C-C=666种不同的选法.
一、选择题
1.(2018·合肥八中联考)将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种
C.36种 D.52种
[答案] A
[解析] 根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有C种放法,第二类,2号盒子里放3个球,有C种放法,剩下的小球放入1号盒中,共有不同放球方法C+C=10种.
2.如图,用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )
A.288种 B.264种
C.240种 D.168种
[答案] B
[解析] 当涂四色时,先涂A、E、D为A,再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色,如B,再F,若F与D同色,则涂C有2种方法,若F与D异色则只有一种方法,故AA(2+1)=216种.
当涂三色时,先涂A、E、D为CA,再涂B有2种,F、C各为一种,故CA×2=48,
故共有216+48=264种,故选B.
3.两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A.10种 B.15种
C.20种 D.30种
[答案] C
[解析] 本题考查了排列组合知识与分类讨论的思想.
由题意知,打三局,有两种情形;打四局2C种情形,打五局有2C种情形,故共有2+6+12=20种不同情形,本题隐含两人最少打三局,最多打五局比赛终止,因此要进行合理分类.
4.2015年第十届全国少数民族传统运动会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.48种 B.12种
C.18种 D.36种
[答案] D
[解析] 若小张和小赵恰有1人入选,则共有CCA=24种方案,若小张和小赵两人都入选,则共有AA=12种方案,故总共有24+12=36种方案.故选D.
二、填空题
5.某仪表显示屏上一排有7个小孔,每个小孔可显示出0或1,若每次显示其中三个孔,但相邻的两孔不能同时显示,则这种显示屏可以显示的不同信号的种数是________种.
[答案] 80
[解析] 显示的孔不相邻,用插空法,4个不显示孔形成5个空当.
∴有C种选法.每个孔有2种显示方法.
∴共有23C=80种.
6.把3名辅导老师与6名学生分成3个小组(每组1名教师,2名学生)开展实验活动,但学生甲必须与教师A在一起,这样的分组方法有________种.(用数字作答)
[答案] 30
[解析] 分别给A、B、C三位老师各安排2名学生(学生甲必须与教师A在一组),一共有CCCC=30(种)不同的分组方法.
三、解答题
7.(1)解方程C=C;
(2)已知-=,求C;
(3)计算C+C+C+C.
[解析] (1)由C=C及组合数的性质得,
3x+6=4x-2或3x+6=18-(4x-2),
解得x=8或x=2,
经检验x=8不符合题意,舍去.故x=2.
(2)原方程变形为-=
即60-10(6-m)=(7-m)(6-m),
即m2-23m+42=0,
解得m=21或m=2,
又∵0≤m≤5且m∈N+,
∴m=2,∴C=C=28.
(3)原式=C+C+C=C+C=C=C=210.
[反思总结] 解有关组合数的不等式或方程,应注意合组数本身有意义时的未知数的取值范围.
8.6个人进2间屋子:
(1)每屋内至少进1人;
(2)每屋都进3人,问各有多少种分配方法?
[解析] (1)方法一:按第1间屋子内进人的数目可分为5类:进1人,2人,3人,4人,5人.因此,要把这5类分配进屋的方法数加起来,对于每一类而言,如“第1间屋内进4人,第2间进2人”这类分配方式,又可看成先派4人进入第1间屋,再派余下的2人进入第2间屋.这样得到C·C种进屋方
法,于是总共方法为:
CC+CC+CC+CC+CC=62(种).
方法二:从6人进2间屋子的各种分配方法数中减去不合题意的分配方法数来计算.不合题意的分配方法只有2种,即6人全进第1间或全进第2间.即间接法解得:26-2=62(种).
(2)方法一:先派3人进第1间屋,再让其余3人进第2间屋,得分配方法为:C·C=20(种).
方法二:先把6人平均分成两组,方法有:(种),
然后再分配到房间,共有·A=20(种).
[反思总结] (1)平均分组问题:一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有:
(种).
(2)不平均分组问题:一般来说,把n个不同元素分成k组,每组分别有m1,m2,…,mk个,m1,m2,…,mk互不相等,且m1+m2+…+mk=n,则有不同的分法为:
Cm1n·Cm2n-m1·Cm3n-(m1+m2)·…·Cmkmk种.如果m1,m2,…,mk中有且仅有i个相等,则不同的分法为:
(种).
上面的组合问题给出两个解法模型,处理此类问题的关键是充分考虑到是否与顺序有关,避免产生重复计数.
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