2021届高考数学一轮复习第五章数列第1讲数列的概念与简单表示法课件 40页

第五章　数列 第 1 讲　数列的概念与简单表示法 课标要求 考情风向标 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ) ，了解数列是一种特殊函数 1. 高考试题主要以数列的概念、通项公式的解法为主，因此要把握好由关系式求通项公式的方法 . 2. 能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质，如单调性、周期性等，并能利用性质解题 . 3. 从近几年的高考试题来看， S n 与 a n 的关系一直是高考的热点，复习时应特别关注 1. 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个 数叫做这个数列的项 . 数列可以看作是定义域为 N * 的非空子集 的函数，其图象是一群孤立的点 . 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数 ______ 按项与项之 间的大小关 系分类 递增数列 a n ＋ 1 > a n 其中 n ∈ N * 递减数列 a n ＋ 1 ______ a n 常数列 a n ＋ 1 ＝ a n 按其他 标准分类 有界数列 存在正数 M ，使 | a n | ≤ M 摆动数列 a n 的符号正负相间，如 1 ，－ 1,1 ，－ 1 ， … 2. 数列的分类 无限 < 3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法 . 4. 数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项 a n 与序号 n 之间的关系可以用一个 公式 a n ＝ f ( n ) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 . a n ＋ 1 a n － 1 B B 1. 数列 1,2,4,8,16,32 ， … 的一个通项公式是 ( 　　 ) 　　 A. a n ＝ 2 n － 1 B. a n ＝ 2 n － 1 C. a n ＝ 2 n D. a n ＝ 2 n ＋ 1 2. 数列 1 ，－ 3,5 ，－ 7,9 ， … 的一个通项公式为 ( 　　 ) 　　 A. a n ＝ 2 n － 1 B. a n ＝ ( － 1) n ＋ 1 (2 n － 1) C. a n ＝ ( － 1) n (2 n － 1) D. a n ＝ ( － 1) n (2 n ＋ 1) 3. 图 5-1-1 是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若 干图案，若按此规律铺设，则第 n 个图案中需用黑色瓷砖的块 数为 ( 用含 n 的代数式表示 )( ) D 图 5-1-1 A.4 n C.4 n － 3 B.4 n ＋ 1 D.4 n ＋ 8 考点 1 由数列的前几项写数列的通项公式 例 1 ： 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项 公式 . 思维点拨： 观察项与项数之间的关系，项与前后项之间的 关系，分子与分母的关系以及符号规律 . 综上，数列的通项公式为 【 规律方法 】 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具 体策略： (1) 常用方法：观察 ( 观察规律 ) 、比较 ( 比较已知数列 ) 、归纳、 转化 ( 转化为特殊数列 ) 、联想 ( 联想常见的数列 ) 等 . (2) 具体策略： ① 分式中分子、分母的特征； ② 相邻项的变化特征； ③ 拆项后的特征； ④ 各项的符号特征和绝对值特征； ⑥ 对于符号交替出现的情况，可用 ( － 1) k 或 ( － 1) k ＋ 1 ， k ∈ N * ⑤ 化异为同 . 对于分式还 可以考虑对分子、分母各个击破， 或寻找分子、分母之间的关系； 处理； ⑦ 并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其 通项公式也不一定唯一 . 考点 2 由数列的前 n 项和求数列的通项公式 考向 1 　 S n 与 n 的关系问题 例 2 ： 已知下面数列 { a n } 的前 n 项和 S n ，求 { a n } 的通项公式： (1) S n ＝ 2 n 2 － 3 n ； (2) S n ＝ 3 n ＋ 1. 【 规律方法 】 由 S n 求 a n 的步骤： ① 先利用 a 1 ＝ S 1 求出 a 1 . ② 用 n － 1 替换 S n 中的 n 得到一个新的关系，利用 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) 便可求出当 n ≥ 2 时 a n 的表达式 . ③ 对 n ＝ 1 时的结果进行检验，看是否符合 n ≥ 2 时 a n 的表达式，若符合，则可以把数列的通项公式合写；若不符合，则应写成分段函数的形式 . 考向 2 　 S n 与 a n 的关系问题 例 3 ： (1) 设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 ＝－ 1 ， a n ＋ 1 ＝ S n S n ＋ 1 ，则 S n ＝ ________. 答案： ( － 2) n － 1 (3) (2017 年安徽黄山二模 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1( n ∈ N * ) ，则 S 5 ＝ ( 　　 ) A.31 B.42 C.37 D.47 解析： 方法一，∵ a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 ， ∴ a 2 ＝ S 1 ＋ 1 ＝ a 1 ＋ 1 ＝ 3 ， a 3 ＝ S 2 ＋ 1 ＝ 6 ， a 4 ＝ S 3 ＋ 1 ＝ 12 ， a 5 ＝ S 4 ＋ 1 ＝ 24 ， ∴ S 5 ＝ 47. 方法二， ∵ a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1( n ∈ N * ) ， 即 S n ＋ 1 － S n ＝ S n ＋ 1( n ∈ N * ) ， ∴ S n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 2( S n ＋ 1)( n ∈ N * ) ， 答案： D ∴ 数列 { S n ＋ 1} 为等比数列，其首项为 3 ，公比为 2. 则 S 5 ＋ 1 ＝ 3 × 2 4 ，解得 S 5 ＝ 47. 故选 D. 方法三， ∵ a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 2 ＝ S n ＋ 1 ＋ 1 ， 两式作差得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n ＝ a n ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 ( n ∈ N * ). 又 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ S 1 ＋ 1 ＝ 3 ， ∴ 数列 { a n } 从第二项起构成首项是 3 ，公比为 2 的等比数列 . 【 规律方法 】 S n 与 a n 关系问题的求解思路：根据 所求结果 的不同要求，将问题向不同的两个方向转化 . (1) 利用 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) 转化为只含 S n ， S n － 1 的关系式 ( 如第 (1) 题 ). (2) 利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为只含 a n ， a n － 1 的关系式，再求解 ( 如第 (2) 题 ). 考点 3 数列的函数性质 考向 1 数列的单调性 例 4: (1) 已知递增数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n 2 ＋ kn ＋ 2 ，则 实数 k 的取值范围为 ________. 解析： (1) 若数列 { a n } 为递增数列， 则有 a n ＋ 1 － a n ＝ ( n ＋ 1) 2 ＋ k ( n ＋ 1) ＋ 2 － n 2 － kn － 2 ＝ 2 n ＋ 1 ＋ k >0 恒成立， 即 k > － (2 n ＋ 1) 恒成立，即 k > － (2 n ＋ 1) max ＝－ 3. 答案： ( － 3 ， ＋∞ ) 又 n ∈ N * ，∴ n ＝ 9 或 n ＝ 10 ， ∴ 该数列中有最大项，为第 9 、 10 项， 答案： 9 、 10 考向 2 数列的周期性 答案： D 【 规律方法 】 (1) 解决数列周期 性问题的方法：先根据已知 条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 . (2) 判断数列单调性的方法：①作差 ( 或商 ) 法；②目标函数 法：写出数列对应的函数，利用导 数或利用基本初等函数的单 调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去 . (3) 求数列中最大 ( 小 ) 项的方法：①根据数列的单调性判断 ； 而求得 a n 的最值 . 难点突破 ⊙ 由数列的递推关系求数列的通项公式 考向 1 　 形如 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ f ( n ) ， 求 a n 考向 2 　形如 a n ＋ 1 ＝ a n f ( n ) ，求 a n 例 2 ： 若 a 1 ＝ 1 ， na n － 1 ＝ ( n ＋ 1) a n ( n ≥ 2) ，则 a n ＝ ________. 考向 3 　形如 a n ＋ 1 ＝ Aa n ＋ B ( A ≠ 0 且 A ≠ 1) ，求 a n 例 3 ： (20 18 年西北师大附中调研 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ － 2 ，且 a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 6 ，则 a n ＝ ________. ∴ a n ＋ 1 ＋ 3 ＝ 3( a n ＋ 3). 又 a 1 ＝－ 2 ， ∴ a 1 ＋ 3 ＝ 1. ∴ { a n ＋ 3} 是首项为 1 ，公比为 3 的等比数列 . ∴ a n ＋ 3 ＝ 3 n － 1 . ∴ a n ＝ 3 n － 1 － 3. 解析： ∵ a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 6 ， 答案： 3 n － 1 － 3 ＝ f ( n ) 型，则采用累乘法 . 【 规律方法 】 (1) 形如 “ a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ” 这种形式通常转化为 a n ＋ 1 ＋ λ ＝ p ( a n ＋ λ ) ，由待定系数法求出 λ ，再化为等比数列 . (2) 递推公式化简整理后，若为 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) 型，则采用累 加法；若为 【 跟踪训练 】 2 n ( n ＋ 1)( n ∈ N * ) 1. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 4 ， na n ＋ 1 ＝ ( n ＋ 2) a n ，则数列 a n ＝ _________________. A 解析： 方法一， ∵ a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1) ，又 2. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ，则其通项公式 a n ＝ ( 　　 ) 　 　 A.2 n － 1 B.2 n － 1 ＋ 1 C.2 n － 1 D.2( n － 1) a 1 ＝ 1 ， ∴ a 1 ＋ 1 ＝ 2 ， ∴ { a n ＋ 1} 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n － 1 ，故选 A. 方法二， ∵ a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ， ∴ a 2 ＝ 3 ， a 3 ＝ 7 ，由 a 1 ＝ 1 ，排除 D ，由 a 3 ＝ 7 ，排除 B ， C. 故选 A. 3. (2015 年江苏 ) 设数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ，且 a n ＋ 1 － a n ＝ n ＋ 1 1. 根据数列的前几项，用归纳法写出一个通项公式，体现 了由特殊到一般的思想方法，考查了基本的数学分析能力和观 察能力 . 熟知一些常见数列的通项公式可起到事半功倍的效果 . 求数列的通项公式要对数列的特征进行归纳、化归、展开联想， 而我们应关注的特征主要有以下四个： (1) 分数中的分子与分母 的特点； (2) 相邻项的变化规律； (3) 各项的符号特征： (4) 拆项后 的变化规律 .