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- 2021-06-15 发布
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0).
在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P(B|A)=nAB
nA
.
(2)条件概率具有的性质:
①0≤P(B|A)≤1;
②如果 B 和 C 是两个互斥事件,
则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
5.相互独立事件
(1)对于事件 A,B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A,B 是相互独立事件.
(2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B),
P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
(3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立.
(4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立.
6.二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试
验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都
是一样的.
(2)在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为
p,则 P(X=k)=Ck
npk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量 X 服从二项分布,记为 X~
B(n,p),并称 p 为成功概率.
7.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
3
(1)均值
称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随
机变量取值的平均水平.
(2)方差
称 D(X)=∑
n
i=1
(xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均
偏离程度,其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差.
(3)均值与方差的性质
①E(aX+b)=aE(X)+b.
②D(aX+b)=a2D(X).(a,b 为常数)
(4)两点分布与二项分布的均值、方差
①若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=p(1-p).
②若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p).
8.正态分布
(1)正态曲线:函数φμ,σ(x)= 1
2πσ
2
2
( )
2e
x
,x∈(-∞,+∞),其中μ和σ为参数(σ>0,
μ∈R).我们称函数φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质:
①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称;
③曲线在 x=μ处达到峰值 1
σ 2π
;
④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ;
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移,如图甲所示;
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;
σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.
(3)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数 a,b (ay,
解得
x=1
2
,
y=1
3
.
所以甲地降雨的概率为1
2
,乙地降雨的概率为1
3
.
(2)在甲、乙两地中,仅有一地降雨的概率为 P=P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)
6
=1
2
×2
3
+1
2
×1
3
=1
2
.
X 的可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0)=C0
3
1
2 3=1
8
,
P(X=1)=C1
3
1
2 1 1-1
2 2=3
8
,
P(X=2)=C2
3
1
2 2 1-1
2 =3
8
,
P(X=3)=C3
3
1-1
2 3=1
8
,
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
8
3
8
3
8
1
8
所以 E(X)=0×1
8
+1×3
8
+2×3
8
+3×1
8
=3
2
.
方差 D(X)=1
8
×
0-3
2 2+3
8
×
1-3
2 2+3
8
×
2-3
2 2+1
8
×
3-3
2 2=3
4
.
反思与感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
①“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问
题的唯一工具.
②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.
③公式“P(A∪B)=1-P( A B )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率.
(2)二项分布的判定
与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定,可从以下几个方面判定:
①每次试验中,事件发生的概率是相同的.
②各次试验中的事件是相互独立的.
③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生.
④随机变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数.
跟踪训练 2 在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,
已知只有 5 发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独
7
立的,且命中的概率都是2
3
.
(1)求油灌被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ不小于 4 的概率.
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是:射击 5 次只击中一次
或一次也没有击中,故该事件的概率为
P=C1
5×2
3
×
1
3 4+
1
3 5,
所以所求的概率为
1-P=1- C1
5×2
3
×
1
3 4+
1
3 5
=232
243
.
(2)当ξ=4 时,记事件为 A,
则 P(A)=C1
3×2
3
×
1
3 2×2
3
= 4
27
,
当ξ=5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B.
则 P(B)=C1
4×2
3
×
1
3 3+
1
3 4=1
9
,
所以所求概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)= 4
27
+1
9
= 7
27
.
类型三 离散型随机变量的均值与方差
例 3 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定:每位顾
客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾
客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求:
①顾客所获的奖励额为 60 元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及均值;
(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元
的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能
符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适
的设计,并说明理由.
考点 均值与方差的应用
8
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)设顾客所获的奖励额为 X,
①依题意,得 P(X=60)=C1
1·C1
3
C2
4
=1
2
,
即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1
2
.
②依题意得 X 的所有可能取值为 20,60,
P(X=20)=C2
3
C2
4
=1
2
,P(X=60)=1
2
,
即 X 的分布列为
X 20 60
P 1
2
1
2
所以这位顾客所获奖励额的均值为 E(X)=20×1
2
+60×1
2
=40.
(2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为 60 元,所以先寻找均值为 60 元的可能方案.
对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之
和的最大值,所以均值不可能为 60 元.
如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为 60
元,因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1,对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同
理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),
记为方案 2,
以下是对这两个方案的分析:
对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为
X1 20 60 100
P 1
6
2
3
1
6
X1 的均值 E(X1)=20×1
6
+60×2
3
+100×1
6
=60.
X1 的方差 D(X1)=(20-60)2×1
6
+(60-60)2×2
3
+(100-60)2×1
6
=1 600
3
,
对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为
X2 40 60 80
9
P 1
6
2
3
1
6
X2 的均值 E(X2)=40×1
6
+60×2
3
+80×1
6
=60,
X2 的方差 D(X2)=(40-60)2×1
6
+(60-60)2×2
3
+(80-60)2×1
6
=400
3
.
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小,所以应该选
择方案 2.
反思与感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤
(1)理解 X 的意义,写出 X 可能的全部取值;
(2)求 X 取每个值的概率或求出函数 P(X=k);
(3)写出 X 的分布列;
(4)由分布列和均值的定义求出 E(X);
(5)由方差的定义,求 D(X),若 X~B(n,p),则可直接利用公式求,E(X)=np,D(X)=np(1
-p).
跟踪训练 3 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,…,8,其中 X≥5
为标准 A,X≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂
执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行
标准.
(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的分布列如下表:
X1 5 6 7 8
P 0.4 a b 0.1
且 X1 的均值 E(X1)=6,求 a,b 的值;
(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组
成一个样本,数据如下:
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的均值;
(3)在(1)(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具有可购买性?说
明理由.
注:①产品的“性价比”=产品的等级系数的均值
产品的零售价
;
10
②“性价比”高的产品更具有可购买性.
考点 均值与方差的应用
题点 均值与方差的综合应用
解 (1)∵E(X1)=6,
∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,
即 6a+7b=3.2,
又由 X1 的分布列得 0.4+a+b+0.1=1,
即 a+b=0.5.
由
6a+7b=3.2,
a+b=0.5,
解得
a=0.3,
b=0.2.
(2)由已知得,样本的频率分布表如下:
X2 3 4 5 6 7 8
f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
用该样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的分布列如下:
X2 3 4 5 6 7 8
P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
∴E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙厂产品的等级系
数的均值为 4.8.
(3)乙厂的产品更具有可购买性,理由如下:
甲厂产品的等级系数的均值为 6,价格为 6 元/件,
其性价比为6
6
=1,
乙厂产品的等级系数的均值等于 4.8,价格为 4 元/件,
其性价比为4.8
4
=1.2.
∴乙厂的产品更具有可购买性.
类型四 正态分布的应用
例 4 为了评估某大米包装生产设备的性能,从该设备包装的大米中随机抽取 100 袋作为样
本,称其重量为
重
量
kg
9.
5
9.
6
9.
7
9.
8
9.
9
10.
0
10.
1
10.
2
10.
3
10.
4
10.
5
10.
6
10.
7
10.
8
合
计
11
包
数
1 1 3 5 6 19 34 18 3 4 2 1 2 1 100
经计算:样本的平均值μ=10.10,标准差σ=0.21.
(1)为评判该生产线的性能,从该生产线中任抽取一袋,设其重量为 X(kg),并根据以下不等
式进行评判.
①P(μ-σ
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