2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：9 17页

www.ks5u.com 第九章 　解三角形 ‎9．1　正弦定理与余弦定理 ‎9．1.1　正弦定理 ‎[课程目标] 1.掌握正弦定理及正弦定理的推导；2.了解正弦定理的几种常用的变形公式；3.会利用正弦定理解决三角形问题．‎ 知识点一　　面积公式 ‎[填一填]‎ S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝aha＝bhb＝chc，其中ha，hb，hc分别是边a，b，c上的高．‎ 知识点二　　正弦定理 ‎[填一填]‎ ‎(1)在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.‎ ‎(2)常见变形 ‎①＝，＝，＝；‎ ‎②asinB＝bsinA，csinB＝bsinC，csinA＝asinC；‎ ‎③abc＝sinAsinBsinC；‎ ‎④sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R为三角形的外接圆半径)；‎ ‎⑤a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.‎ ‎[答一答]‎ ‎1．如何利用三角形面积公式证明正弦定理？‎ 提示：对于任意△ABC，其面积S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.‎ 由absinC＝acsinB，得＝.‎ 同理可得＝，即＝＝.‎ ‎2．如何理解和应用正弦定理？‎ 提示：(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．‎ ‎(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．‎ ‎(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．‎ ‎(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．‎ 知识点三　　利用正弦定理解三角形 ‎[填一填]‎ ‎(1)把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．‎ ‎(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．‎ ‎[答一答]‎ ‎3．在解三角形时，常用到哪些结论？‎ 提示：(1)在△ABC中，∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB(即大边对大角)．‎ ‎(2)a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)．‎ ‎(3)内角和定理：∠A＋∠B＋∠C＝π，‎ ‎∠A＋∠B＝π－∠C，＝－，‎ sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，‎ sin＝cos，cos＝sin.‎ ‎(4)在锐角△ABC中，∠A＋∠B>⇔∠A>－∠B⇔sinA>cosB⇔cosA＝90°－∠A，＝90°－∠C.‎ 又由图知，＋＝.‎ 在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到：j·(＋)＝j·，∴j·＋j·＝j·，‎ 即：|j|||cos90°＋|j|||cos(90°－∠C)‎ ‎＝|j|||·cos(90°－∠A)．‎ ‎∴asinC＝csinA，∴＝.‎ 同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得：‎ ＝，∴＝＝.‎ ‎③当△ABC为钝角三角形时，不妨设∠A＞90°，如图，过点A作与垂直的单位向量j，则＝∠A－90°，＝90°－∠C.‎ 同样可证得＝＝.‎ 因此，对于任意的三角形均有：＝＝.‎ ‎(2)证法二：(几何法)‎ 设△ABC的外接圆的半径为R，圆心为O，‎ ‎①若∠A＝90°，则a＝2R.‎ ‎∴＝2R，∴＝＝＝2R.‎ ‎②若0°<∠A＜90°，如图，作圆O的直径BD，并连接CD，则∠A＝∠D，‎ ‎∴k＝＝＝＝BD＝2R，‎ 同理可证得＝2R，＝2R.‎ ‎∴＝＝＝2R.‎ ‎③若90°＜∠A＜180°，‎ 如图，作圆O的直径BD，并连接CD，则 ‎∠A＝180°－∠D.‎ k＝＝＝＝BD＝2R，‎ 同理可证得＝2R，＝2R.‎ ‎∴＝＝＝2R.‎ 因此，对于任意的三角形均有＝＝＝2R.‎ ‎2．利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况．‎ ‎(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．‎ ‎(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和∠A，解的情况如下：‎ ‎3.常用的三角形面积公式，三角形正弦面积公式的推导．‎ ‎(1)常用的三角形的面积公式 设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，R为其外接圆的半径，r为其内切圆的半径，则有：①S△ABC＝aha(ha表示a边上的高)；②S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA；③S△ABC＝；④S△ABC＝r(a＋b＋c)．‎ ‎(2)三角形正弦面积公式的推导 当△ABC为锐角三角形时，如图所示，设△ABC的面积为S，作AD ‎⊥BC于D.‎ 则AD＝bsinC，‎ 所以S＝BC·AD＝absinC，‎ 同理，S＝bcsinA＝acsinB.‎ 所以S＝absinC＝bcsinA＝acsinB.‎ 当△ABC为钝角三角形或直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论．‎ 类型一　　已知两角及一边解三角形 ‎[例1]　已知在△ABC中，c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a、b和∠B.‎ ‎[分析]　运用正弦定理的关键是分清已知和所求，选择一个与正弦定理相关的等式．‎ 因为c＝10，∠C＝30°，∠A＝45°，‎ 所以选择等式＝可求出a，进而由三角形内角和定理及正弦定理可求出b、∠B.‎ ‎[解]　∵c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，‎ ‎∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°.‎ 由＝，得a＝＝＝10.‎ 由＝，得b＝＝＝20sin75°＝20× ‎＝5＋5.‎ 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.‎ ‎[变式训练1]　在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝45°，c＝2，求∠C，a，b.‎ 解：在△ABC中，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.‎ sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝.‎ 根据正弦定理，得 a＝＝＝＝3－，‎ b＝＝＝＝2－2.‎ 类型二　　已知两边及一边的对角解三角形 ‎[例2]　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．‎ ‎(1)a＝7，b＝8，A＝105°；‎ ‎(2)a＝10，b＝20，A＝80°；‎ ‎(3)b＝10，c＝5，C＝60°；‎ ‎(4)a＝2，b＝6，A＝30°.‎ ‎[分析]　本题所提供的条件是两边和其中一边的对角，由于互补角的正弦值是相等的，所以有时会产生解的多样性．解题时要有分类讨论的意识，如本题的第(4)小题的三角形有两解，需分类讨论．‎ ‎[解]　(1)∵a＝7，b＝8，∴a90°，‎ ‎∴此三角形无解．‎ ‎(2)∵b＝20，A＝80°，∴bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10，又a＝10，∴aAB，所以A>C，则01，∴此三角形无解．‎ 方法二：∵a＝6，bsinA＝6，∴a0，∴B为锐角，∴B＝.‎ ‎(2)△ABC中，cosA＝，则sinA＝，‎ sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，‎ 根据正弦定理＝⇒c＝5.‎ ‎∴S△ABC＝acsinB＝×5×8×＝10.‎ 类型五　　正弦定理的综合应用 ‎[例5]　△ABC三边各不相等，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且acosA＝bcosB，求的取值范围．‎ ‎[分析]　(1)怎样利用正弦定理转化条件acosA＝bcosB？(由正弦定理，∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB)‎ ‎(2)如何求的范围？(将其转化为角的表达式，再利用角的范围确定其范围，也可将题中条件转化为边的关系式，再求其范围)‎ ‎[解]　∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，‎ ‎∴sin‎2A＝sin2B.‎ ‎∵2∠A,2∠B∈(0,2π)，‎ ‎∴2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝π，‎ ‎∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.‎ 如果∠A＝∠B，则a＝b不符合题意，‎ ‎∴∠A＋∠B＝.‎ ‎∴＝＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)．‎ ‎∵a≠b，∠C＝，∴∠A∈(0，)且∠A≠，‎ ‎∴∈(1，)．‎ 正弦定理是研究三角形中边角比例关系的工具，因此正弦定理工具背景下的三角恒等变形问题，一定是基于三角形内角和为180°展开的，通常有两种类型：一是利用半角的互余关系、角的互补关系在三角恒等变形中进行减元，这样就可以盯着目标进行恒等变形；二是利用正弦定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用恒等变形转化为一个角的三角函数问题.‎ ‎[变式训练5]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin＝asinB.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若b＝2，c＝3，∠BAC平分线AD交BC于点D，求AD的长．‎ 解：(1)∵bsin＝asinB，‎ ‎∴由正弦定理可得sinBsin＝sinAsinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sin＝sinA，‎ ‎∵A＋B＋C＝180°，∴sin＝cos，‎ ‎∴cos＝2sincos，‎ ‎∵cos≠0，∴sin＝，∴A＝60°.‎ ‎(2)∵b＝2，c＝3，A＝60°，‎ ‎∴S△ABC＝b·c·sinA＝，‎ S△ABD＝c·AD·sin30°＝AD，‎ S△ACD＝b·AD·sin30°＝AD，‎ ‎∴由AD＋AD＝，可得AD＝.‎ ‎1．在△ABC中，下列等式总能成立的是(　D　)‎ A．acosC＝ccosA　　　　　 B．bsinC＝csinA C．absinC＝bcsinB D．asinC＝csinA 解析：由正弦定理易知，D正确．‎ ‎2．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝，bcosA＝sinB，则A＝(　D　)‎ A. B. C. D. 解析：由bcosA＝sinB有＝，‎ 由正弦定理有＝，又a＝，即＝，‎ 所以tanA＝.‎ 因为A为△ABC的内角，则A＝.故选D.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝‎ eq f(c,cosC)，则△ABC的形状是(　C　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：方法一：根据正弦定理的推广＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入＝＝，可得＝＝，所以tanA＝tanB＝tanC，又A，B，C是△ABC的内角，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．‎ 方法二：因为＝，所以acosB＝bcosA，根据正弦定理的推广，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sinAcosB＝sinBcosA，则sinAcosB－sinBcosA＝0，所以sin(A－B)＝0，则A－B＝0，所以A＝B.同理可得B＝C，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．‎ ‎4．已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若acosB＝4，bsinA＝3，则a＝5.‎ 解析：由正弦定理得＝＝tanB＝.‎ 又acosB＝4，所以cosB>0，从而cosB＝，a＝5.‎