【数学】2020届一轮复习北师大版古典概型课时作业 10页

古 典 概 型 ‎ (30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.一布袋中放有红,黄球各一个,它们除颜色外其他都一样.小明从布袋中摸出一个球后放回去摇匀,再摸出一个球.小明两次都摸出红球的概率为 (　　)‎ A.0.5 ‎B.0.25‎ C.0.125 D.0.75‎ ‎【解析】选B.由树状图可知共有4种可能,两次都摸出红球的有1种,‎ 所以小明两次都摸出红球的概率为=0.25.‎ ‎【误区警示】注意区别两类问题 ‎(1)有序、无序的问题 在进行某些试验(如摸球)中,在摸取过程中要考虑球的先后顺序(有序),有时就不需要考虑先后顺序(无序),前后要保持一致.‎ ‎(2)放回抽取与不放回抽取的问题 摸球等问题有“取后放回”和“取后不放回”两种情况,取后放回的可以继续选取已取到过的球.‎ ‎2.从集合A={-2,-1,2}中随机选取一个数记为a,从集合B={-1,1,3}中随机选取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选A.从集合A,B中随机选取后,组合成的数对(a,b)有(-2,-1),(-2,1),‎ ‎(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种,要使直线ax-y+b=0不经过第四象限,则需a>0,b>0,共有2种满足,所以所求概率P=.‎ ‎3.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 ‎ (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.由题意得,(a,b)有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),‎ ‎(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8),共12种取法.若满足logab为整数,则仅有a=2,b=8和a=3,b=9两种情况,所以logab为整数的概率为=.‎ ‎4.(2018·南昌模拟)甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”,为庆祝兄弟相聚甲发了一个6元的红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人均抢到整数元,且每人至少抢到2元,则丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选C.设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元,记为(x,y,z),则基本事件有:‎ ‎(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),‎ ‎(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合丙获得“手气王”的有4个,所以丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率:P==.‎ ‎【变式备选】‎ 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 (　　)‎ A.　　 B.　　 C.　　 D.‎ ‎【解析】选D.由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),‎ ‎(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种,所求概率P=.‎ ‎5.(2019·合肥模拟)某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图所示.某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H,则他经过市中心O的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选B.由题意知,此人从小区A前往小区H的所有最短路径为:A→B→C→E→H,‎ A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,‎ A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,‎ A→D→F→G→H,共6条.记“此人经过市 中心O”为事件M,则M包含的基本事件为:‎ A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,‎ A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,共4‎ 个,所以P(M)==,即他经过市中心O的 概率为.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2018·温州模拟)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________. ‎ ‎【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和 为奇数且不超过5的两位数有:‎ ‎10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是 ‎1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.‎ 答案:‎ ‎7.已知A,B∈{-3,-1,1,2}且A≠B,则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为________. ‎ ‎【解析】所有的基本事件(A,B)为(-3,-1),(-3,1),(-3,2),(-1,-3),(-1,1),(-1,2),(1,-3),(1,-1),(1,2),‎ ‎(2,-3),(2,-1),(2,1),共12种,其中(-3,-1),(-1,-3),(1,2),(2,1)这4种能使直线Ax+By+1=0的斜率小于0,所以所求的概率P==.‎ 答案:‎ ‎8.(2018·张家口模拟) 在高三某班的元旦文艺晚会中,有这么一个游戏:一盒子内装有6张大小完全相同的卡片,每张卡片上写有一个成语,它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河,从盒内随机抽取2张卡片,若这2张卡片上的2个成语有相同的字,就中奖,则该游戏的中奖率为________. 导学号 ‎ ‎【解析】2张卡片上的2个成语有相同的字的抽取方法有6种:(意气风发,风平浪静),(意气风发,心猿意马),(意气风发,气壮山河),(心猿意马,信马由缰),‎ ‎(信马由缰,信口开河),(气壮山河,信口开河).6张卡片中随机抽取2张,共有15种情况,故所求概率为=.‎ 答案:‎ ‎【变式备选】‎ ‎ (2018·抚州模拟)如图所示是某市2018年4月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某同志随机选择‎4月1日至4月12日中的某一天到达该市,并停留3天.‎ 该同志到达当日空气质量重度污染的概率为________.‎ ‎【解析】某同志随机选择‎4月1日至4月12日中的某一天到达该市,并停留3天,基本事件总数n=12,‎4月1日至‎4月12日空气质量重度污染的天数有5天,即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数m=5,所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率P==.‎ 答案:‎ 三、解答题(每小题10分,共20分) ‎ ‎9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3). 导学号 ‎(1)求事件“a⊥b”发生的概率.‎ ‎(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.‎ ‎【解析】(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共36种.因为a⊥b,所以m-3n=0,即m=3n,有(3,1),(6,2),共2种,‎ 所以事件a⊥b发生的概率为=.‎ ‎(2)由|a|≤|b|,得m2+n2≤10,‎ 有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为=.‎ ‎10.有7名歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 导学号 组别 ‎ A B C D E 人数 ‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ ‎(1)为了调查评委对7名歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表;‎ 组别 ‎ A B C D E 人数 ‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎ ‎6‎ ‎(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.‎ ‎【解析】(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如表.‎ 组别 ‎ A B C D E 人数 ‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎(2)记从A组抽到的3个评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从B组抽到的6个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手,从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,‎ b4,b5,b6}中各抽取1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,‎ a2b2,共4种,故所求概率P==.‎ ‎ (20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)若x∈A的同时,还有∈A,则称A是“好搭档集合”,在集合B=‎ 的所有非空子集中任选一集合,则该集合是“好搭档集合”的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选A.由题意可得,集合B的非空子集有25-1=31个,其中是“好搭档集合”的有:{1},,,,,,,共7个,所以该集合是“好搭档集合”的概率为P=.‎ ‎2.(5分)(2018·茂名模拟)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数,则这个数能被4整除的概率是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.所有的两位数为12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45,共12个,能被4整除的数为12,32,52,共3个.故所求概率P==.‎ ‎3.(5分)(2018·成都模拟)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________. ‎ ‎【解析】 依题意记题中的被污损数字为x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,x≥7,即此时x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P==0.3.‎ 答案:0.3‎ ‎4.(12分)(2019·合肥模拟)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球. 导学号 ‎(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率.‎ ‎(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6,则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?‎ ‎【解析】用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),‎ ‎(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),‎ ‎(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.‎ ‎(1)设甲获胜的事件为A,则事件A包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),‎ ‎(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个.故所求概率P(A)==.‎ ‎(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有:‎ ‎(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个.‎ 则P(B)==,所以P(C)=1-P(B)=.‎ 因为P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.‎ ‎【变式备选】‎ ‎ 2018·潍坊模拟)甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.‎ ‎(1)若以A表示和为6的事件,求P(A).‎ ‎(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么?‎ ‎(3)这种游戏规则公平吗?说明理由.‎ ‎【解析】(1)甲、乙各出1到5根手指头,‎ 共有5×5=25种可能结果,和为6有5种可能结果,所以P(A)==.‎ ‎(2)B与C不是互斥事件,理由如下:B与C都包含“甲赢一次,乙赢二次”,事件B与事件C可能同时发生,故不是互斥事件.‎ ‎(3)和为偶数有13种可能结果,其概率为P=>,故这种游戏规则不公平.‎ ‎5.(13分)(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. 导学号 ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.‎ ‎【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)① 从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},‎ ‎{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},‎ ‎{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.‎ ‎② 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,‎ E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.‎ 所以,事件M发生的概率为P(M)=.‎