2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 12页

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的力学问题和其 他实际问题.3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力. 知识点一 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 思考 物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？ 答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向， 因而它们都是向量.②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量 加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解， 运动的叠加也用到了向量的加法.③动量 mv 是数乘向量.④力所做的功就是作用力 F 与物体在 力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积. 1.若△ABC 为直角三角形，则有AB→·BC→＝0.( × ) 2.若向量AB→∥CD→ ，则 AB∥CD.( × ) 3.功是力 F 与位移 s 的数量积.( √ ) 4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( √ ) 一、利用向量证明平面几何问题 例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE. 证明 方法一 设AD→ ＝a，AB→＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又DE→ ＝DA→ ＋AE→＝－a＋b 2 ， AF→＝AB→＋BF→＝b＋a 2 ， 所以AF→·DE→ ＝ b＋a 2 · －a＋b 2 ＝－a2 2 －3 4a·b＋b2 2 ＝－1 2|a|2＋1 2|b|2＝0. 故AF→⊥DE→ ，即 AF⊥DE. 方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)， F(2,1)，则AF→＝(2,1)，DE→ ＝(1，－2). 因为AF→·DE→ ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF→⊥DE→ ，即 AF⊥DE. 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤 ①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何 问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把 几何问题向量化. 跟踪训练 1 已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满足 2AC→＋CB→＝ 0， (1)用OA→ ，OB→ 表示OC→ ； (2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形 OCAD 是梯形. (1)解 因为 2AC→＋CB→＝0， 所以 2(OC→ －OA→ )＋(OB→ －OC→ )＝0， 2OC→ －2OA→ ＋OB→ －OC→ ＝0， 所以OC→ ＝2OA→ －OB→ . (2)证明 如图，DA→ ＝DO→ ＋OA→ ＝－1 2OB→ ＋OA→ ＝1 2(2OA→ －OB→ ). 故DA→ ＝1 2OC→ .即 DA∥OC，且 DA≠OC，故四边形 OCAD 为梯形. 二、利用向量解决平面几何求值问题 例 2 如图，已知|p|＝2 2，|q|＝3，p，q 的夹角为π 4 ，若AB→＝5p＋2q，AC→＝p－3q，D 为 BC 的中点，则|AD→ |＝________. 答案 15 2 解析 由题意知 2AD→ ＝AB→＋AC→， 因为AB→＝5p＋2q，AC→＝p－3q， 所以 2AD→ ＝AB→＋AC→＝6p－q， 所以 2|AD→ |＝|6p－q| ＝ 36×2 22－12×2 2×3cos π 4 ＋32＝15，所以|AD→ |＝15 2 . 反思感悟 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2 求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表 示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等 问题转化为代数运算. 跟踪训练 2 在△ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则 BC 边上的中线 AD 的长是( ) A.2 5 B.5 5 2 C.3 5 D.7 5 2 答案 B 解析 ∵BC 的中点为 D 3 2 ，6 ，AD→ ＝ －5 2 ，5 ， ∴|AD→ |＝5 5 2 . 三、向量在物理中的应用 例3 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30° 角，则水流速度为________ km/h. 答案 5 3 解析 如图所示，船速|v1|＝5 km/h，水流速度为 v2， 实际航行方向 v 与水流方向 v2 成 30°角， ∴|v2|＝ |v1| tan 30° ＝5 3(km/h). 反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 跟踪训练 3 一物体在力 F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移 动到点 B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________. 答案 －40 解析 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力 F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). 又∵AB→＝(－1,4)， ∴F·AB→＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40. 1.在△ABC 中，若(CA→＋CB→)·(CA→－CB→)＝0，则△ABC( ) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 答案 C 解析 (CA→＋CB→ )·(CA→ －CB→ )＝CA→ 2－CB→ 2＝0，即|CA→ |＝|CB→ |，∴CA＝CB，则△ABC 是等腰三 角形. 2.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析 ∵AB→＝(3,3)，CD→ ＝(－2，－2)， ∴AB→＝－3 2CD→ ，∴AB→与CD→ 共线. 又|AB→|≠|CD→ |，∴该四边形为梯形. 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|， 则θ的值为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 D 解析 作OA→ ＝F1，OB→ ＝F2，OC→ ＝－G(图略)， 则OC→ ＝OA→ ＋OB→ ， 当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC 为正三角形， 所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°. 4.在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→ ＝1 3AB→＋1 2AC→，则S△ABD S△ABC 等于( ) A.2 3 B.1 3 C.1 6 D.1 2 答案 D 解析 因为AD→ ＝1 3AB→＋1 2AC→，所以点 D 在 AB 边的中位线上，从而有 S△ABD＝1 2S△ABC. 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0)，B(1,1)， 则AB→·AC→＝________. 答案 1 解析 由已知得 A(1,0)，C(0,1)， 所以AB→＝(0,1)，AC→＝(－1,1). 所以AB→·AC→＝1. 1.知识清单： (1)平面几何中的向量方法. (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：要注意选择恰当的基底. 1.已知力 F 的大小|F|＝10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|＝14，F 与 s 的夹角为 60°， 则 F 做的功为( ) A.7 B.10 C.14 D.70 答案 D 解析 F 做的功为 F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×1 2 ＝70. 2.已知点 A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 AB→＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)， AC→＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， AB→·AC→＝21－21＝0，∴AB→⊥AC→. 则∠A＝90°， 又|AB→|≠|AC→|， ∴△ABC 为直角三角形. 3.点 O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA→ ·OB→ ＝OB→ ·OC→ ＝OC→ ·OA→ ，则点 O 是△ABC 的( ) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 答案 D 解析 ∵OA→ ·OB→ ＝OB→ ·OC→ ，∴(OA→ －OC→ )·OB→ ＝0， ∴OB→ ·CA→＝0，∴OB⊥AC. 同理 OA⊥BC，OC⊥AB，∴O 为三条高所在直线的交点. 4.在 Rt△ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足OP→ ＝OA→ ＋1 2(AB→＋AC→)， 则|AP→|等于( ) A.2 B.1 C.1 2 D.4 答案 B 解析 ∵OP→ ＝OA→ ＋1 2(AB→＋AC→)， ∴OP→ －OA→ ＝1 2(AB→＋AC→)，AP→＝1 2(AB→＋AC→)， ∴AP 为 Rt△ABC 斜边 BC 的中线.∴|AP→|＝1. 5.在四边形 ABCD 中，若AC→＝(1,2)，BD→ ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B.2 5 C.5 D.10 答案 C 解析 ∵AC→·BD→ ＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形 ABCD 的面积 S＝1 2|AC→||BD→ |＝1 2 × 5×2 5＝5. 6.已知点 A(1,1)，M(x，y)，且 A 与 M 不重合，若向量AM→ 与向量 a＝(1,2)垂直，则点 M 的坐 标 x，y 之间的关系为________________. 答案 x＋2y－3＝0(x≠1) 解析 AM→ ·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0. 又 A 与 M 不重合，所以 x≠1. 7.一条河宽为 8 000 m，一船从 A 出发垂直航行到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速 为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________ h. 答案 0.5 解析 v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2， |v1|＝20，|v2|＝12， ∴|v|＝ |v1|2－|v2|2 ＝ 202－122＝16(km/h). ∴所需时间 t＝ 8 16 ＝0.5(h). ∴该船到达 B 处所需的时间为 0.5 h. 8.已知在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则(AE→＋AF→)·BD→ ＝ ________. 答案 －9 2 解析 如图，以 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面 直角坐标系， 则 A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， ∴C(2,1). ∵E，F 分别为 BC，CD 的中点，∴E 2，1 2 ，F(1,1)， ∴AE→＋AF→＝ 3，3 2 ，BD→ ＝(－2,1)， ∴(AE→＋AF→)·BD→ ＝3×(－2)＋3 2 ×1＝－9 2. 9.已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，求使等式 x2OA→ ＋xOB→ ＋BC→＝ 0 成立的实数 x 的取值. 解 ∵BC→＝OC→ －OB→ ， ∴x2OA→ ＋xOB→ ＋OC→ －OB→ ＝0， 即OC→ ＝－x2OA→ －(x－1)OB→ ， ∵A，B，C 三点共线， ∴－x2－(x－1)＝1，即 x2＋x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1. 当 x＝0 时，x2OA→ ＋xOB→ ＋BC→＝0，BC→＝0， 此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去. 故 x＝－1. 10.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力 方向为北偏东 30°，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑其他因 素，求帆船的速度与方向. 解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东 30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向 为正东，速度为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为 v，则 v＝v1＋v2.由题意，可得向量 v1 ＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10 3)，向量 v2＝(20,0)，则 v＝v1＋v2＝(10,10 3)＋(20,0)＝ (30,10 3)，所以|v|＝ 302＋10 32＝20 3(km/h).因为 tan α＝10 3 30 ＝ 3 3 (α为 v 和 v2 的夹角，α 为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h. 11.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝4，点 E 为 AB 的中点，且DE→ ⊥AC→，则|DE→ |等于( ) A.5 2 B.2 3 C.3 D.2 2 答案 B 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐 标系. 设|AD→ |＝a(a>0)，则 A(0,0)，C(4，a)， D(0，a)，E(2,0)， 所以DE→ ＝(2，－a)，AC→＝(4，a). 因为DE→ ⊥AC→，所以DE→ ·AC→＝0， 所以 2×4＋(－a)·a＝0，即 a2＝8. 所以 a＝2 2，所以DE→ ＝(2，－2 2)， 所以|DE→ |＝ 22＋－2 22＝2 3. 12.若点 M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足 3AM→ －AB→－AC→＝0，则△ABM 与△ABC 的面 积之比为( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 答案 B 解析 如图，D 为 BC 边的中点， 则AD→ ＝1 2(AB→＋AC→). 因为 3AM→ －AB→－AC→＝0， 所以 3AM→ ＝2AD→ ，所以AM→ ＝2 3AD→ ， 所以 S△ABM＝2 3S△ABD＝1 3S△ABC. 13.用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子 的拉力大小为______ N. 答案 10 解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2 与－G 都成 60°角， 且|F1|＝|F2|，F1＋F2＋G＝0. ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N， ∴每根绳子的拉力都为 10 N. 14.如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF→＝2FO→ ，则FD→ ·FE→＝________. 答案 －8 9 解析 FD→ ＝FO→ ＋OD→ ，FE→＝FO→ ＋OE→ ，且OD→ ＝－OE→ ， 所以FD→ ·FE→＝(FO→ ＋OD→ )·(FO→ ＋OE→ ) ＝FO→ 2－OD→ 2＝1 9 －1＝－8 9. 15.在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O 为坐标原点. (1)若△ABC 是直角三角形，求 t 的值； (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求|OD→ |的最小值. 解 (1)由题意得，AB→＝(t－4,2)，AC→＝(2，t)， BC→＝(6－t，t－2)， 若∠A＝90°，则AB→·AC→＝0，即 2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2； 若∠B＝90°，则AB→·BC→＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0， ∴t＝6±2 2； 若∠C＝90°，则AC→·BC→＝0， 即 2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解， ∴t 的值为 2 或 6±2 2. (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则AD→ ＝BC→， 设点 D 的坐标为(x，y)， 即(x－4，y)＝(6－t，t－2)， ∴ x＝10－t， y＝t－2， 即 D(10－t，t－2)， ∴|OD→ |＝ 10－t2＋t－22＝ 2t2－24t＋104， ∴当 t＝6 时，|OD→ |取得最小值 4 2. 16.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风吹 向北偏西 30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于 河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向. 解 如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2，v1＋v2＝a.可求得 a 的方向是北偏东 30°，a 的 大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为 v3，则 a＋v3＝v，即 v3＝v－a，由数形结合知，v3 的方向是北偏西 60°，大小是 3 km/h.