北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形-阶段性测试题4 13页

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·辽宁五校联考)已知 cos(π 2 ＋α)＝3 5 ，且α∈(π 2 ，3π 2 )，则 tanα＝( ) A．4 3 B．3 4 C．－3 4 D．±3 4 [答案] B [解析] 因为 cos(π 2 ＋α)＝3 5 ，所以 sinα＝－3 5 ，显然α在第三象限，所以 cosα＝－4 5 ，故 tanα＝3 4. 2．(2015·襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角 x 的终边上一点的坐标为(sin5π 6 ， cos5π 6 )，则角 x 的最小正值为( ) A．5π 6 B．5π 3 C．11π 6 D．2π 3 [答案] B [解析] ∵sin5π 6 ＝1 2 ，cos5π 6 ＝－ 3 2 ， ∴角 x 的终边经过点(1 2 ，－ 3 2 )，tanx＝－ 3， ∴x＝2kπ＋5π 3 ，k∈Z. ∴角 x 的最小正值为5π 3 . 3．(文)已知 tanα 2 ＝2，则 6sinα＋cosα 3sinα－2cosα 的值为( ) A．7 6 B．7 C．－6 7 D．－7 [答案] A [解析] 由已知得 tanα＝ 2tanα 2 1－tan2α 2 ＝－4 3 ， 故 6sinα＋cosα 3sinα－2cosα ＝6tanα＋1 3tanα－2 ＝7 6. (理)已知函数 f(x)＝sinx－cosx 且 f′(x)＝2f(x), f′(x)是 f(x)的导函数，则 sin2x＝( ) A．1 3 B．－3 5 C．3 5 D．－1 3 [答案] C [解析] 由 f(x)＝sinx－cosx 且 f′(x)＝2f(x)得 cosx＋sinx＝2sinx－2cosx，所以 tanx＝3， sin2x＝ 2sinxcosx sin2x＋cos2x ＝ 2tanx 1＋tan2x ＝ 6 10 ＝3 5 ，故选 C． 4．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线 x＝π 3 对称的是( ) A．y＝sin(2x－π 3) B．y＝sin(2x－π 6) C．y＝sin(2x＋π 6) D．y＝sin(x 2 ＋π 6) [答案] B [解析] ∵T＝π，∴ω＝2，排除 D，把 x＝π 3 代入 A、B、C 只有 B 中 y 取得最值，故选 B． 5．(文)(2015·黄山模拟)为了得到函数 y＝sin(2x－π 3)的图像，只需把函数 y＝sin(2x＋π 6) 的图像( ) A．向左平移π 4 个长度单位 B．向右平移π 4 个长度单位 C．向左平移π 2 个长度单位 D．向右平移π 2 个长度单位 [答案] B [解析] y＝sin(2x＋π 6)＝sin[2(x＋ π 12)]， y＝sin(2x－π 3)＝sin[2(x－π 6)]， ∴只需将 y＝sin(2x＋π 6)向右平移 π 12 ＋π 6 ＝π 4 个长度单位． (理)(2015·黄山模拟)将函数 y＝sin2x 的图像向右平移π 4 个单位，再向上平移 1 个单位， 所得函数图像对应的解析式为( ) A．y＝sin(2x－π 4)＋1 B．y＝2cos2x C．y＝2sin2x D．y＝－cos2x [答案] C [解析] 函数 y＝sin2x 的图像向右平移π 4 个单位得到 y＝sin2(x－π 4)＝sin(2x－π 2)＝－ cos2x，再向上平移 1 个单位，所得函数图像对应的解析式为 y＝－cos2x＋1＝－(1－2sin2x)＋1＝2sin2x，选 C． 6. 3 cos10° － 1 sin170° ＝( ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 [答案] D [解析] 3 cos10° － 1 sin170° ＝ 3 cos10° － 1 sin10° ＝ 3sin10°－cos10° sin10°cos10° ＝2sin10°－30° sin10°cos10° ＝ 2sin－20° sin10°cos10° ＝ －2sin20° 1 2sin20° ＝－4，选 D． 7．(2014·合肥调研)在△ABC 中，若 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC 的 形状一定是( ) A．等边三角形 B．不含 60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 [答案] D [解析] sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB， sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB， 所以 sinAcosB＋cosAsinB＝1，即 sin(A＋B)＝1， 所以 A＋B＝π 2 ，故三角形为直角三角形． 8．(2015·河南八校联考)将函数 y＝ 3cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移 m(m＞0)个长度 单位后，所得到的图像关于原点对称，则 m 的最小值是( ) A． π 12 B．π 6 C．π 3 D．2π 3 [答案] D [解析] y＝ 3cosx＋sinx＝2sin(x＋π 3)，向左平移 m 个单位得到 y＝2sin(x＋m＋π 3)，此函 数为奇函数，∴m＋π 3 ＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m 的最小值为2π 3 . 9．(2015·济南一模)△ABC 中，∠A＝30°，AB＝ 3，BC＝1，则△ABC 的面积等于( ) A． 3 2 B． 3 4 C． 3 2 或 3 D． 3 2 或 3 4 [答案] D [解析] 由余弦定理 cosA＝AB2＋AC2－BC2 2AB·AC ，代入各值整理可得 AC2－3AC＋2＝0，解 得 AC＝1 或 AC＝2 三角形面积 S＝1 2AB·AC·sinA 所以面积为 3 2 或 3 4 . 10．(2015·洛阳统考)设函数 f(x)＝|cosx|＋|sinx|，下列四个结论正确的是( ) ①f(x)是奇函数； ②f(x)的图像关于直线 x＝3π 4 对称； ③当 x∈[0,2π]时，f(x)∈[1， 2]； ④当 x∈[0，π 2]时，f(x)单调递增． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ [答案] D [解析] 对于①，注意到 f(－x)＝f(x)，因此函数 f(x)是偶函数，①不正确；对于②，注 意到 f(3π 2 －x)＝|cos(3π 2 －x)|＋|sin(3π 2 －x)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数 f(x)的图像关于直线 x＝3π 4 对称，②正确；对于③④，注意到 f(x＋π 2)＝|cos(x＋π 2)|＋|sin(x＋π 2)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)， 因此函数 f(x)是以π 2 为周期的函数，当 x∈[0，π 2]时，f(x)＝|sinx|＋|cosx|＝sinx＋cosx＝ 2sin(x ＋π 4)的值域是[1， 2]，故当 x∈[0,2π]时，f(x)∈[1， 2]，又 f(π 4)＝ 2>1＝f(π 2)，因此 f(x)在[0， π 2]上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③，选 D． 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知α为第二象限角，则 cosα 1＋tan2α＋sinα 1＋ 1 tan2α ＝________. [答案] 0 [解析] 原式＝cosα sin2α＋cos2α cos2α ＋sinα sin2α＋cos2α sin2α ＝cosα 1 |cosα| ＋sinα 1 |sinα| ， 因为α是第二象限，所以 sinα>0，cosα<0， 所以 cosx 1 |cosα| ＋sinα 1 |sinα| ＝－1＋1＝0， 即原式等于 0. 12．(2014·新课标Ⅱ)函数 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________． [答案] 1 [解析] 本题考查两角和正弦公式、二倍角公式，三角函数的最值的求法． ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ ＝sinx≤1. ∴最大值为 1. 13．(2015·九江模拟) 已知函数 f(x)＝sin(2x＋π 6)，其中 x∈[－π 6 ，α]．当α＝π 3 时，f(x)的 值域是________；若 f(x)的值域是[－1 2 ，1]，则α的取值范围是________． [答案] [－1 2 ，1] [π 6 ，π 2] [解析] 若－π 6 ≤x≤π 3 ，则－π 3 ≤2x≤2π 3 ，－π 6 ≤2x＋π 6 ≤5π 6 ，此时－1 2 ≤sin(2x＋π 6)≤1， 即 f(x)的值域是[－1 2 ，1]． 若－π 6 ≤x≤α，则－π 3 ≤2x≤2α， －π 6 ≤2x＋π 6 ≤2α＋π 6. 因为当 2x＋π 6 ＝－π 6 或 2x＋π 6 ＝7π 6 时，sin(2x＋π 6)＝－1 2 ，所以要使 f(x)的值域是[－1 2 ，1]， 则有π 2 ≤2α＋π 6 ≤7π 6 ，即π 3 ≤2α≤π， 所以π 6 ≤α≤π 2 ，即α的取值范围是[π 6 ，π 2]． 14．△ABC 中，A 满足条件 3sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝2 3cm，则 A＝________， △ABC 的面积等于________cm2. [答案] 2π 3 3 [解析] 由 3sinA＋cosA＝1 得 2sin(A＋π 6)＝1，∴A＋π 6 ＝5π 6 ， 即 A＝2 3π，由 BC sinA ＝ AB sinC 得 sinC＝ABsinA BC ＝ 2× 3 2 2 3 ＝1 2 ， 所以 C＝π 6 ，则 B＝π 6. S△ABC＝1 2AB×BCsinB＝ 3(cm2)． 15．把函数 y＝sin2x 的图像沿 x 轴向左平移π 6 个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 不变)后得到函数 y＝f(x)图像，对于函数 y＝f(x)有以下四个判断： ①该函数的解析式为 y＝2sin(2x＋π 6)； ②该函数图像关于点(π 3 ，0)对称； ③该函数在[0，π 6]上是增函数； ④函数 y＝f(x)＋a 在[0，π 2]上的最小值为 3，则 a＝2 3. 其中，正确判断的序号是________． [答案] ②④ [解析] 将函数向左平移π 6 得到 y＝sin2(x＋π 6) ＝sin(2x＋π 3)，然后纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 y＝2sin(2x＋π 3)，即 y＝f(x)＝2sin(2x ＋π 3)，所以①不正确．y＝f(π 3)＝2sin(2×π 3 ＋π 3)＝2sinπ＝0，所以函数图像关于点(π 3 ，0)对称， 所以②正确．由－π 2 ＋2kπ≤2x＋π 3 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z，得－5π 12 ＋kπ≤x≤ π 12 ＋kπ，k∈Z, 即函数 的单调增区间为[－5π 12 ＋kπ， π 12 ＋kπ]，k∈Z，当 k＝0 时，增区间为[－5π 12 ， π 12]，所以③不正 确. y＝f(x)＋a＝2sin(2x＋π 3)＋a，当 0≤x≤π 2 时，π 3 ≤2x＋π 3 ≤4π 3 ，所以当 2x＋π 6 ＝4π 3 时，函数 值最小为 y＝2sin4π 3 ＋a＝－ 3＋a＝ 3，所以 a＝2 3，所以④正确．所以正确的命题为②④. 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(文)已知关于x的方程2x2－( 3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ， 且θ∈(0,2π)，求： (1) sin2θ sinθ－cosθ ＋ cosθ 1－tanθ 的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时θ的值． [解析] (1)原式＝ sin2θ sinθ－cosθ ＋ cosθ 1－sinθ cosθ ＝ sin2θ sinθ－cosθ ＋ cos2θ cosθ－sinθ ＝sin2θ－cos2θ sinθ－cosθ ＝sinθ＋cosθ. 由条件知 sinθ＋cosθ＝ 3＋1 2 ， 故 sin2θ sinθ－cosθ ＋ cosθ 1－tan θ ＝ 3＋1 2 . (2)由 sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ ＝(sinθ＋cosθ)2，得 1＋m＝( 3＋1 2 )2，即 m＝ 3 2 . (3)由 sinθ＋cosθ＝ 3＋1 2 ， sinθ·cosθ＝ 3 4 得 sinθ＝ 3 2 ， cosθ＝1 2 或 sinθ＝1 2 ， cosθ＝ 3 2 . 又θ∈(0,2π)，故θ＝π 6 或θ＝π 3. (理)已知函数 f(x)＝－cos2x－sinx＋1. (1)求函数 f(x)的最小值； (2)若 f(α)＝ 5 16 ，求 cos2α的值． [解析] (1)因为 f(x)＝－cos2x－sinx＋1 ＝sin2x－sinx＝(sinx－1 2)2－1 4 ， 又 sinx∈[－1,1]，所以当 sinx＝1 2 时， 函数 f(x)的最小值为－1 4. (2)由(1)得(sinα－1 2)2－1 4 ＝ 5 16 ， 所以(sinα－1 2)2＝ 9 16. 于是 sinθ＝5 4(舍)或 sinα＝－1 4. 故 cos2α＝1－2sin2α＝1－2(－1 4)2＝7 8. 17．(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋cos2x－2. (1)求 f(π 4)的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解析] (1)依题意 f(x)＝2sin2x＋sin2x－1 ＝sin2x－cos2x＝ 2sin(2x－π 4)． 则 f(π 4)＝ 2sin(2×π 4 －π 4)＝1. (2)f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. 当 2kπ－π 2 ≤2x－π 4 ≤2kπ＋π 2 时， 即 kπ－π 8 ≤x≤kπ＋3π 8 时，f(x)为增函数． 则函数 f(x)的单调增区间为[kπ－π 3 ，kπ＋3π 8 ]，k∈Z. (理)已知向量 a＝(2sinx， 3cosx)，b＝(sinx,2sinx)，函数 f(x)＝a·B． (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若不等式 f(x)≥m 对 x∈[0，π 2]都成立，求实数 m 的最大值． [解析] (1)f(x)＝2sin2x＋2 3sinxcosx ＝1－cos2x＋2 3sinxcosx ＝ 3sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－π 6)＋1 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 6 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)． 得 kπ－π 6 ≤x≤kπ＋π 3(k∈Z)， ∴f(x)的单调增区间是[kπ－π 6 ，kπ＋π 3](k∈Z) (2)∵0≤x≤π 2 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 . ∴－1 2 ≤sin(2x－π 6)≤1， ∴f(x)＝2sin(2x－π 6)＋1∈[0,3]， ∴m≤0，m 的最大值为 0. 18．(本小题满分 12 分)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA ＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC． (1)求 A 的大小； (2)若 sinB＋sinC＝1，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由已知，根据正弦定理，得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bC． 由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 故 cosA＝－1 2 ，A＝120°. (2)由 a2＝b2＋c2＋bc，得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC． 又 sinB＋sinC＝1，故 sinB＝sinC＝1 2. 因为 0°0，ω>0，|φ|<π 2)的图像与 y 轴的交 点为(0,1)，它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－ 2)． (1)求函数 f(x)的解析式及 x0 的值； (2)若锐角θ满足 cosθ＝1 3 ，求 f(4θ)的值． [解析] (1)∵由题意可得 A＝2，T 2 ＝2π，即 T＝4π， ∴2π ω ＝4π，∴ω＝1 2. ∴f(x)＝2sin(1 2x＋φ)． 由图像经过点(0,1)得， f(0)＝2sinφ＝1，又|φ|<π 2 ，∴φ＝π 6. 故 f(x)＝2sin(1 2x＋π 6)． 又 f(x0)＝2sin(1 2x0＋π 6)＝2， ∴1 2x0＋π 6 ＝2kπ＋π 2(k∈Z)， ∴x0＝4kπ＋2π 3 (k∈Z)， 根据图像可得 x0 是最小的正数， ∴x0＝2π 3 . (2)由(1)知，f(4θ)＝2sin(2θ＋π 6) ＝ 3sin2θ＋cos2θ. ∵θ∈(0，π 2)，cosθ＝1 3 ，∴sinθ＝2 2 3 ， ∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－7 9 ，sin2θ＝2sinθcosθ＝4 2 9 ， ∴f(4θ)＝ 3×4 2 9 －7 9 ＝4 6 9 －7 9 ＝4 6－7 9 . 20．(本小题满分 13 分)(文)(2014·重庆高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c，且 a＋b＋c＝8. (1)若 a＝2，b＝5 2 ，求 cosC 的值； (2)若 sinAcos2B 2 ＋sinBcos2A 2 ＝2sinC，且△ABC 的面积 S＝9 2sinC，求 a 和 b 的值． [解析] (1)∵a＋b＋c＝8，a＝2，b＝5 2 ， ∴c＝8－2－5 2 ＝7 2. 由余弦定理，得 cosC＝a2＋b2－c2 2ab ＝ 4＋25 4 －49 4 2×2×5 2 ＝－1 5. (2)由 sinAcos2B 2 ＋sinBcos2A 2 ＝2sinC，可得 sinA·1＋cosB 2 ＋sinB·1＋cosA 2 ＝2sinC， 化简得：sinA＋sinB＋sin(A＋B)＝4sinC， 即 sinA＋sinB＝3sinC，由正弦定理可得 a＋b＝3C． 又 a＋b＋c＝8，∴a＋b＝6 ① 又面积 S＝1 2absinC＝9 2sinC，∴ab＝9 ② 解①②得 a＝3，b＝3. (理)(2014·浙江高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C．已知 a≠b， c＝ 3，cos2A－cos2B＝ 3sinAcosA－ 3sinBcosB． (1)求角 C 的大小； (2)若 sinA＝4 5 ，求△ABC 的面积． [解析] (1)由已知 cos2A－cos2B＝ 3sinAcosA－ 3sinBcosB 得． 1 2(1＋cos2A)－1 2(1＋cos2B)＝ 3 2 sin2A－ 3 2 sin2B， ∴1 2cos2A－ 3 2 sin2A＝1 2cos2B－ 3 2 sin2B， 即 sin(－π 6 ＋2A)＝sin(－π 6 ＋2B)， ∴－π 6 ＋2A＝－π 6 ＋2B 或－π 6 ＋2A－π 6 ＋2B＝π， 即 A＝B 或 A＋B＝2π 3 ， ∵a≠b，∴A＋B＝2π 3 ，∴∠C＝π 3. (2)由(1)知 sinC＝ 3 2 ，cosC＝1 2 ， ∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝3 3＋4 10 由正弦定理得： a sinA ＝ c sinC ， 又∵c＝ 3，sinA＝4 5. ∴a＝8 5. ∴S△ABC＝1 2acsinB＝18＋8 3 25 . 21．(本小题满分 14 分)(文)已知函数 g(x)＝ 3 4 －1 2sinxcosx－ 3 2 sin2x，将其图像向左移π 4 个 单位，并向上移1 2 个单位，得到函数 f(x)＝acos2(x＋φ)＋b(a>0，b∈R，|φ|≤π 2)的图像． (1)求实数 a，b，φ的值； (2)设函数φ(x)＝g(x)－ 3f(x)，x∈[0，π 2]，求函数φ(x)的单调递增区间和最值． [解析] (1)依题意化简得 g(x)＝1 2sin(π 3 －2x)， 平移 g(x)得 f(x)＝1 2sin(π 3 －2(x＋π 4))＋1 2 ＝1 2sin(－2x－π 6)＋1 2 ＝1 2cos(2x＋2π 3 )＋1 2 ＝cos2(x＋π 3) ∴a＝1，b＝0，φ＝π 3. (2)φ(x)＝g(x)－ 3f(x)＝1 2sin(2x＋2π 3 )－ 3 2 cos(2x＋2π 3 )－ 3 2 ＝sin(2x＋π 3)－ 3 2 ， 由－π 2 ＋2kπ≤2x＋π 3 ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)得 － π 12 ＋kπ≤x≤ π 12 ＋kπ，(k∈Z)，因为 x∈[0，π 2]， 所以当 k＝0 时，在[0， π 12]上单调增， ∴ φ(x)的单调增区间为[0， π 12]， 值域为[－ 3，1－ 3 2 ]， 故φ(x)的最小值为－ 3，最大值为 1－ 3 2 . (理)已知函数 f(x)＝2cosxsin(x＋π 3)－ 3 2 . (1)求函数 f(x)的最小正周期 T； (2)若△ABC 的三边 a，b，c 满足 b2＝ac，且边 b 所对角为 B，试求 cosB 的取值范围， 并确定此时 f(B)的最大值． [解析] (1)f(x)＝2cosx·sin(x＋π 3)－ 3 2 ＝2cosx(sinxcosπ 3 ＋cosxsinπ 3)－ 3 2 ＝2cosx(1 2sinx＋ 3 2 cosx)－ 3 2 ＝sinxcosx＋ 3cos2x－ 3 2 ＝1 2sin2x＋ 3·1＋cos2x 2 － 3 2 ＝1 2sin2x＋ 3 2 cos2x＝sin(2x＋π 3)． ∴T＝2π |ω| ＝2π 2 ＝π. (2)由余弦定理 cosB＝a2＋c2－b2 2ac 及 b2＝ac 得， cosB＝a2＋c2－ac 2ac ＝a2＋c2 2ac －1 2 ≥2ac 2ac －1 2 ＝1 2 ， ∴1 2 ≤cosB<1， 而 0