【数学】2021届一轮复习北师大版（理）34等差数列及其前n项和作业 7页

等差数列及其前n项和 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．若{an}为等差数列，且a7－‎2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)‎ A．－2 B．－ C． D．2‎ B　[由于a7－‎2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B.]‎ ‎2．(2019·峨眉山模拟)在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于(　　)‎ A．66 B．132‎ C．－66 D．－132‎ D　[因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24，‎ 又a3＋a9＝－24＝‎2a6，所以a6＝－12，‎ S11＝＝＝－132，故选D.]‎ ‎3．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝(　　)‎ A．9 B．10‎ C．11 D．12‎ D　[由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故选D.]‎ ‎4．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝‎3a4，且S10＝λa4，则λ的值为(　　)‎ A．15 B．21‎ C．23 D．25‎ D　[由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.‎ ‎∴λ＝＝＝＝25，故选D.]‎ ‎5．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ C　[∵|a6|＝|a11|且公差d>0，‎ ‎∴a6＝－a11.‎ ‎∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，‎ 且a8<0，a9>0‎ ‎∴a10知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N＋}．‎ ‎1．(2019·开福区校级模拟)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为(　　)‎ A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 B　[设此等差数列{an}的公差为d，‎ 则a1＋a4＋a7＝‎3a1＋9d＝31.5,‎9a1＋d＝85.5，‎ 解得d＝－1，a1＝13.5.则a12＝13.5－11＝2.5.故选B.]‎ ‎2．(2019·深圳模拟)若{an}是等差数列，首项a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　)‎ A．2 018 B．2 019‎ C．4 036 D．4 037‎ C　[{an}是等差数列，首项a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，所以{an}是递减的等差数列，且a2 018＞0，a2 019＜0，因为a2 018＋a2 019＝a1＋a4 036＞0，‎ ‎2a‎2 019＝a1＋a4 037＞0，‎ ‎∴S4 036＝×4 036＞0，S4 037＝×4 037＜0，‎ 所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 036.故选C.]‎ ‎3．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ ‎－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，‎ 又由a1＝－1，知Sn≠0，‎ ‎∴－＝1，‎ ‎∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，‎ ‎∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，‎ ‎∴Sn＝－.]‎ ‎4．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.‎ ‎(1)设函数y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎(2)设函数y＝f(x)的图像与y轴的交点到x轴的距离构成数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解]　(1)证明：由题意得an＝8－2n，‎ 因为an＋1－an＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，‎ 所以数列{an}是首项为6，公差为－2的等差数列．‎ ‎(2)由题意得bn＝|8－2n|.‎ 由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，‎ 可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．‎ 所以当n≤4时，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，‎ 当n≥5时，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.‎ 故Sn＝ ‎1．在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点在直线y＝2x－1上，则a9等于(　　)‎ A．1 290 B．1 280‎ C．1 281 D．1 821‎ C　[由已知可得－1＝2，‎ 又－1＝a1－1＝1，‎ 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，‎ 故 a9＝10×128＋1＝1 281.]‎ ‎2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公差为d，由题意有 ‎2a‎1＋5d＝4，a1＋5d＝3.‎ 解得a1＝1，d＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝.‎ 当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；‎ 当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；‎ 当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；‎ 当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.‎