高中数学必修1教案：第五章（第10课时）平面向量的数量积及运算律（2） 6页

课 题：平面向量的数量积及运算律（2）‎ 教学目的：‎ ‎1掌握平面向量数量积运算规律；‎ ‎2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；‎ ‎3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 ‎ 教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：   启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质  教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 C ‎2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，‎ ‎（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 ‎ ‎3．“投影”的概念：作图 ‎ ‎ 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|‎ ‎4．向量的数量积的几何意义：‎ 数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积 ‎5．两个向量的数量积的性质：‎ 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ‎1°e×a = a×e =|a|cosq；2°a^b Û a×b = 0‎ ‎3°当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|‎ ‎ 特别的a×a = |a|2或 ‎4°cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b|‎ ‎7．判断下列各题正确与否：‎ ‎1°若a = 0，则对任一向量b，有a×b = 0 ( √ )‎ ‎2°若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有a×b ¹ 0 ( × )‎ ‎3°若a ¹ 0，a×b = 0，则b = 0 ( × )‎ ‎4°若a×b = 0，则a 、b至少有一个为零 ( × )‎ ‎5°若a ¹ 0，a×b = a×c，则b = c ( × )‎ ‎6°若a×b = a×c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立 ( × )‎ ‎7°对任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b×c) ( × )‎ ‎8°对任意向量a，有a2 = |a|2 ( √ )‎ 二、讲解新课：‎ 平面向量数量积的运算律 ‎1．交换律：a × b = b × a 证：设a，b夹角为q，则a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ‎ ‎ ∴a × b = b × a ‎2．数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)‎ 证：若> 0，(a)×b =|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，‎ 若< 0，(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，‎ ‎(a×b) =|a||b|cosq，‎ a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq ‎3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c ‎ 在平面内取一点O，作= a, = b，= c，‎ ‎ ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，‎ ‎ 即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ‎ ‎ ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2‎ ‎ ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）‎ ‎（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ ‎（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，‎ ‎（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ ‎(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２‎ 三、讲解范例：‎ 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 ①‎ ‎ (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 ②‎ 两式相减：2a×b = b2‎ 代入①或②得：a2 = b2‎ 设a、b的夹角为q，则cosq = ∴q = 60° 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解：如图：ABCD中，，，=‎ ‎∴||2=‎ 而= ‎ ‎∴||2=‎ ‎∴||2 + ||2 = 2= ‎ 例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?‎ 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量 解：四边形ABCD是矩形，这是因为：‎ 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，‎ ‎∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２‎ 即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２‎ 由于ａ·ｂ＝с·ｄ，‎ ‎∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①‎ 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②‎ 由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等 ‎∴四边形ABCD是平行四边形 另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０‎ 即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC 综上所述，四边形ABCD是矩形 评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；‎ ‎(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系 四、课堂练习：‎ ‎1下列叙述不正确的是（ ）‎ A向量的数量积满足交换律 B向量的数量积满足分配律 C向量的数量积满足结合律 Da·b是一个实数 ‎2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）‎ A72 B-72 C36 D-36‎ ‎3|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为（ ）‎ A平行 B垂直 C夹角为 D不平行也不垂直 ‎4已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ ‎ ‎5已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= ‎ ‎6设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ ‎ 参考答案：1C 2B 3B 4２ ５－１+2 5 6±‎ 五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题 六、课后作业 ‎1已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）‎ A60° B30° C135° D４５°‎ ‎2已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）‎ A2 B2 C6 D12‎ ‎3已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）‎ A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 ‎4已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|= ‎ ‎5已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a·b= ‎ ‎6已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)２＝______‎ ‎7已知|a|=1,|b|=,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角 ‎8设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角 ‎9对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角 参考答案：1D 2B 3C 4 5 –63 6 11‎ ‎7(1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90° 七、板书设计（略）‎ 八、课后记及备用资料：‎ ‎1常用数量积运算公式 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛 即(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２‎ 上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用 ‎2应用举例 ‎［例1］已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜‎ 解：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３‎ ‎∴｜a＋b｜＝，∵（｜a－b｜）２＝（a－b）２＝a２－2a·b＋b２＝2２－2×（－3）×５２＝35，‎ ‎∴｜a－b｜＝．‎ ‎［例2］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°)‎ 解：∵（｜a＋b｜）２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２＝｜a｜２＋2｜a｜·｜b｜ｃｏｓθ＋｜b｜２‎ ‎∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，‎ ‎∴ｃｏｓθ＝，∴θ≈５５°‎