新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用 17页

第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用 探究一 利用正、余弦定理解三角形 例 1 (1)在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,已知 AC= 7 ,CD=2,∠CDA= π 3 ,则 AD= ;sin B= . (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos-2cos cos = 2- . ①求 sin sin 的值; ②若 cos B= 1 4 ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 答案 (1)3; 3 57 38解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理的推论,知 cos∠CDA= 2 +C2 -A2 2 · , 即 1 2 = 2 +4-7 4 , 解得 AD=3(负值舍去). 在△ADB 中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=9+4+2×3×2× 1 2 =19, 所以 AB= 19 (负值舍去), 又由正弦定理,知 sin ∠ = sin , 所以 sin B= · sin ∠ = 3 × 3 2 19 = 3 57 38 . (2)①由正弦定理,设 sin = sin = sin =k, 则 2- = 2sin-sin sin = 2sin-sin sin , 所以 cos-2cos cos = 2sin-sin sin , 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)·cos B, 化简,得 sin(A+B)=2sin(B+C), 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. 所以 sin sin =2. ②由 sin sin =2,得 c=2a.由余弦定理及 cos B= 1 4 , 得 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× 1 4 =4a2, 所以 b=2a,又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2. 思维突破 与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定理求解, 过程中注意边角的互化和等式的恒等变形. 1-1 在△ABC 中,已知 A=30°,AB=2,BC= 6 ,则 cos∠ACB= ,AC= . 答案 30 6 ; 3 + 5解析 根据正弦定理,得 sin = sin ∠ , 可得 sin∠ACB= · sin = 2 × 1 2 6 = 6 6 ,故 cos∠ACB= 30 6 , 因为 cos A= 2 +A2 -B2 2 · = 22 +A2 -( 6)2 2 × 2 × = 3 2 , 所以 AC= 3 + 5 (负值舍去). 1-2 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= 4 5 ,cos C= 5 13 ,a=1,则 b= . 答案 21 13解析 在△ABC 中,由 cos A= 4 5 ,cos C= 5 13 ,可得 sin A= 3 5 ,sin C= 12 13 , 所以 sin B=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C= 63 65 , 由正弦定理得 b= sin sin = 21 13 . 探究二 判定三角形的形状 例 2 若 a2+b2-c2=ab,且 2cos Asin B=sin C,试确定△ABC 的形状. 解析 解法一:(利用边的关系来判断) 由正弦定理得 sin sin = , 由 2cos Asin B=sin C,得 cos A= sin 2sin = 2 . 又由余弦定理的推论,得 cos A= 2 +2 -2 2 , ∴ 2 = 2 +2 -2 2 , 即 c2=b2+c2-a2,所以 a2=b2,所以 a=b. 又∵a2+b2-c2=ab,∴2b2-c2=b2, 所以 b2=c2, ∴b=c,∴a=b=c. ∴△ABC 为等边三角形. 解法二:(用角的关系来判断) ∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B), 又∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin(A-B)=0. 又∵A 与 B 均为△ABC 的内角, ∴A=B. 又由 a2+b2-c2=ab, 由余弦定理的推论,得 cos C= 2 +2 -2 2 = 2 = 1 2 , 又 0° π 2 , 又∠A>0,∴0<∠A< π 6 , 则 0 3 , ∴ > 1 2 + 3 2 × 3 =2. 故 的取值范围为(2,+∞). 3-2 在△ABC 中,BC=2 3 ,AC=3,∠BAC=2∠B,D 是 BC 上一点且 AD⊥AC,则△ABD 的面积 为 . 答案 2 10解析 如图所示, ∵BC=2 3 ,AC=3,∠BAC=2∠B, ∴在△ABC 中,由正弦定理 sin ∠ = sin = sin , 可得 2 3 sin ∠ = 3 sin = 2 3 2sincos , 解得 cos B= 3 3 ,可得 sin B= 1-cos 2 B = 6 3 , ∴cos∠BAC=cos 2B=2cos2B-1=- 1 3 . ∵AD⊥AC, ∴sin∠BAD=sin ∠ - π 2=-cos∠BAC= 1 3 , 可得 cos∠BAD= 1-sin 2 ∠ BAD = 2 2 3 , ∴sin∠ADB=sin(∠BAD+B)= 1 3 × 3 3 + 2 2 3 × 6 3 = 5 3 9 . ∵在△ABC 中,由余弦定理可得 32=AB2+(2 3 )2-2AB×2 3 × 3 3 ,解得 AB=1 或 AB=3. 若 AB=AC=3,则 B=C. 由∠BAC=2∠B 可得 B=C= π 4 ,A= π 2 ,即 B 和 D 重合,矛盾,∴AB=3 舍去. ∴AB=1, ∴在△ABD 中,由正弦定理,得 sin ∠ = sin , ∴AD= · sin sin ∠ = 3 2 5 , ∴S△ABD= 1 2 AB·AD·sin∠BAD= 1 2 ×AB×AD× 1 3 = 2 10 . 1.在△ABC 中,内角 C 为钝角,sin C= 3 5 ,AC=5,AB=3 5 ,则 BC=( ) A.2 B.3 C.5 D.10 答案 A 由题意知,cos C=- 4 5 ,设 BC=x, 由余弦定理,得(3 5 )2=52+x2-2×5x· - 4 5 , 化简,得 x2+8x-20=0,解得 x1=2,x2=-10(舍去),所以 BC=2. 2.在△ABC 中,已知 BC=1,B= π 3 ,则△ABC 的面积为 3 ,则 AC 的长为 . 答案 13解析 由三角形面积公式得 1 2 ·BC·AB·sin B= 3 , 解得 AB=4, 由余弦定理,得 AC2=1+16-2×1×4× 1 2 =13, 所以 AC 的长为 13 . 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 7 ,b=2,A=60°,则 sin B= ,c= . 答案 21 7 ;3 解析 因为 a= 7 ,b=2,A=60°, 所以由正弦定理,得 sin B= sin = 2 × 3 2 7 = 21 7 . 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 c2-2c-3=0,所以 c=3(负值舍去). 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A- 3 sin Asin B. (1)求角 C; (2)若 A= π 6 ,△ABC 的面积为 4 3 ,M 为 AB 的中点,求 CM 的长. 解析 (1)由正弦定理,知 sin2C-sin2B=sin2A- 3 sin A·sin B 可化为 c2-b2=a2- 3 ab, 即 c2=a2+b2- 3 ab. 又由余弦定理,得 cos C= 2 +2 -2 2 = 3 2 ,00, ∴sin A=1,即 A= π 2 , ∴△ABC 为直角三角形. 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 asin B·cos C+csin Bcos A= 1 2 b,且 a>b, 则 B=( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6答案 A 由正弦定理, 得 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A = 1 2 sin B. ∵sin B≠0, ∴sin Acos C+sin Ccos A= 1 2 , 即 sin(A+C)= 1 2 , ∴sin B= 1 2 , ∵a>b,∴B 为锐角, ∴B= π 6 . 3.在平行四边形 ABCD 中,AC= 65 ,BD= 17 ,周长为 18,则平行四边形 ABCD 的面积是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 答案 C 设平行四边形 ABCD 的两邻边 AD=b,AB=a,∠BAD=α, 则 a+b=9,a2+b2-2abcos α=17, a2+b2-2abcos(180°-α)=65, 解得 a=5,b=4,cos α= 3 5 , 或 a=4,b=5,cos α= 3 5 , 所以 S▱ABCD=absin α=16. 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b2+c2=a2+bc.若 sin B·sin C=sin2A,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 由 b2+c2=a2+bc,得 b2+c2-a2=bc, ∴cos A= 2 +2 -2 2 = 1 2 , ∵A∈(0,π),∴A= π 3 . 若 sin B·sin C=sin2A, 则 bc=a2,∴b2+c2-2bc=0, ∴(b-c)2=0, 即 b=c,∴△ABC 是等边三角形. 5.如图,在△ABC 中,C= π 3 ,BC=4,点 D 在边 AC 上,AD=DB,DE⊥AB,E 为垂足,若 DE=2 2 ,则 cos A= . 答案 6 4解析 在△ADE 中,∵DE⊥AB,DE=2 2 , ∴AD= 2 2 sin . ∵AD=BD,∴BD= 2 2 sin ,∠A=∠ABD, ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A, ∴在△BCD 中, sin π 3 = sin2 , ∴ 2 2 sin 3 2 = 4 sin2 ,化简整理得 cos A= 6 4 . 6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 b2=ac,a2-c2=ac-bc,则 sin = . 答案 2 3 3解析 由 a2-c2=ac-bc 与 b2=ac, 得 a2-c2=b2-bc, ∴b2+c2-a2=bc, ∴cos A= 2 +2 -2 2 = 1 2 . ∵A∈(0,π),∴A= π 3 , 由 b2=ac,得 bsin B=csin A, ∴ sin = 1 sin = 2 3 3 . 7.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 b=acos C+ 1 2 c. (1)求角 A; (2)若 · =3,求 a 的最小值. 解析 (1)∵在△ABC 中,b-acos C= 2 , ∴由正弦定理知,sin B-sin Acos C= 1 2 sin C, ∵A+B+C=π, ∴sin B=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C, ∴sin Acos C+cos Asin C-sin Acos C= 1 2 sin C, ∴cos Asin C= 1 2 sin C, ∵sin C≠0,∴cos A= 1 2 ,∴A= π 3 . (2)由(1)及 · =3 得 bc=6, ∴a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-6≥2bc-6=6, 当且仅当 b=c 时取等号, ∴a 的最小值为 6 . 8.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2 ,则 C=( ) A. π 12 B. π 6C. π 4 D. π 3答案 B 由题意, 得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 所以 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 则 sin C(sin A+cos A) = 2 sin Csin + π 4 =0. 因为 sin C≠0,所以 sin + π 4 =0, 又因为 A∈(0,π),所以 A+ π 4 =π, 所以 A= 3π 4 . 由正弦定理 sin = sin , 得 2 sin 3π 4 = 2 sin , 所以 sin C= 1 2 ,所以 C= π 6 . 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 csin A= 3 acos C,则 C= ;若 c= 31 ,△ABC 的面积为 3 3 2 ,则 a+b= . 答案 π 3 ;7 解析 由正弦定理可得 sin Csin A= 3 sin Acos C, 又 sin A≠0,∴tan C= 3 ,∴C= π 3 . ∵ 1 2 absin C= 3 3 2 ,∴ab=6,由余弦定理得,31=a2+b2-ab,∴31=(a+b)2-3ab,∴a+b=7(负值舍去). 10.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边.若△ABC 的面积为 2 4 ,A=15°,则 + 的值 为 . 答案 6解析 因为△ABC 的面积 S= 1 2 bcsin A= 2 4 , 所以 2bc= 2 sin . 所以 cos A= 2 +2 -2 2 = 2 +2 2 - 2 2 = 2 +2 2 - 2 2 sin = 2 +2 2 -sin A, 所以 + = 2 +2 =2(sin A+cos A) =2 2 sin(A+45°)=2 2 ×sin 60°= 6 . 11.已知在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 c-a=2acos B,则 sin2 A sin(-) 的 取值范围是 . 答案 1 2 , 2 2解析 由 c-a=2acos B,得 sin C-sin A=2sin Acos B, ∴sin(A+B)-sin A=2sin Acos B, ∴sinAcos B+cos Asin B-2sin Acos B-sin A=0, ∴sin(B-A)-sin A=0, ∴sin(B-A)=sin A, ∴B-A=A,即 B=2A. ∵△ABC 为锐角三角形, ∴ 0 π 2 , 0 π 2 , 0 π 2 , 即 π 6 1). (1)若λ= 3 ,证明:△ABC 为直角三角形; (2)若 · = 9 8 λ2,且 c=3,求λ的值. 解析 (1)证明:∵λ= 3 ,∴a+b= 3 c, 由正弦定理得 sin A+sin B= 3 sin C, ∵C= π 3 ,∴sin B+sin 2π 3 -B = 3 2 , 即 sin B+ 3 2 cos B+ 1 2 sin B= 3 2 , ∴ 3 2 sin B+ 3 2 cos B= 3 2 , 则 sin + π 6 = 3 2 , 从而 B+ π 6 = π 3 或 B+ π 6 = 2π 3 , 解得 B= π 6 或 B= π 2 . 若 B= π 6 ,则 A= π 2 ,即△ABC 为直角三角形; 若 B= π 2 ,则△ABC 为直角三角形. 故△ABC 为直角三角形. (2)若 · = 9 8 λ2,则 1 2 a·b= 9 8 λ2, ∴ab= 9 4 λ2. 由余弦定理知 a2+b2-c2=2abcos C, 即 a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9, 又 a+b=3λ,故 9λ2- 27 4 λ2=9,解得λ2=4, 又λ>1,∴λ=2. 14.已知△ABC 是边长为 3 的等边三角形,点 D 为 BC 边上一点,且 BD=1,E,F 分别为边 AC,AB 上的点(不包括端点),则△DEF 的周长的最小值为 ,此时△BDF 的面积为 . 答案 21 ; 5 3 16解析 如图,设 D 关于直线 AB 的对称点为 M,关于 AC 的对称点为 N,连接 DM,交 AB 于点 P, 连接 DN,交 AC 于点 Q,连接 MN,分别与 AB,AC 交于点 F,E,则△DEF 的周长的最小值为 MN. ∵BD=1,即 D 为 BC 的三等分点, ∴DM=2DP= 3 ,DN=2DQ=2 3 , 又∠MDN=120°, ∴在△DMN 中, MN= 3 + 12-2 × 3 × 2 3 × - 1 2= 21 . 由 Rt△DPF 与 Rt△MPF 全等,得 DF=MF. 在△MDN 中,DM= 3 ,DN=2 3 ,MN= 21 , 由余弦定理的推论得 cos M= 2 7 , DF=MF= 3 2 × 7 2 = 21 4 . 在 Rt△DPF 中,DP= 3 2 ,DF= 21 4 , ∴PF= 3 4 .易知 BP= 1 2 , ∴△BDF 的面积 S= 1 2 BF×DP= 1 2 × 1 2 + 3 4 × 3 2 = 5 3 16 . 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a). (1)求 B; (2)若 AB=8,点 M,N 是线段 BC 的两个三等分点,BM= 1 3 BC, =2 3 ,求 AM 的值. 解析 (1)∵c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a), ∴由正弦定理得 c2-ca=b2-a2, ∴a2+c2-b2=ca,∴cos B= 2 +2 -2 2 = 1 2 , 又 0