高中数学第一章解三角形1_1正弦定理和余弦定理1_1_2余弦定理学案新人教B版必修51 7页

1.1.2 余弦定理 1．理解用向量的工具推导余弦定理的过程，并能初步运用余弦定理解斜三角形． 2．掌握三角形的面积公式． 3．能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算 有关的三角形问题． 1．余弦定理 公式表达 语言叙述 推论 a2＝____________ 三角形任何一边的 平方等于_______ cos A＝____________ b2＝______________ cos B＝____________ c2＝____________ cos C＝__________ (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具； (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例； (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一； (4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等 的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的． 【做一做 1－1】在△ABC 中，AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则 AC 的长为________． 【做一做 1－2】在△ABC 中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝________. 2．余弦定理的应用 (1)利用余弦定理判断三角形的形状 由余弦定理，当边 c 为最大边时， 如果 c2＝a2＋b2，则△ABC 为____三角形； 如果 c2＜a2＋b2，则△ABC 为____三角形； 如果 c2＞a2＋b2，则△ABC 为____三角形． (2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题 ①已知三边，________； ②已知两边和它们的夹角，求______和其他______； ③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时，也可用余弦定理，如已知 a，b， A，可先用余弦定理__________，求出 c，此时 c 的个数即为三角形解的个数． 使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角， 如果最大角小于 60°或最小角大于 60°，可知三角形无解． 【做一做 2－1】在△ABC 中，若 sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则该三角形的形状 为( )． A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【做一做 2－2】在△ABC 中，已知 c＝2acos B，则△ABC 的形状为________三角形． 3．三角形的面积公式 (1)S＝1 2 a·ha(ha 表示 a 边上的高)； (2)S＝1 2 absin C＝1 2 ______＝1 2 ______； (3)S＝1 2 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)； (4)S＝ p p－a p－b p－c (其中 p＝1 2 (a＋b＋c))． 【做一做 3－1】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边边长分别为 a，b，c，且 a＝1，∠B＝ 45°，S△ABC＝2，则 c＝____. 【做一做 3－2】已知三角形的周长为 12，内切圆的半径为 1，则 S△ABC＝________. 一、三角形中的四类基本问题 剖析：解三角形的问题可以分为以下四类： (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形． 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求 出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数． (2)已知三角形的两角和任一边，解三角形． 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角 形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由 三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． (3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最 后用三角形内角和定理求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个 角，最后用三角形内角和定理求出第三个角． 二、教材中的“？” 在△ABC 中，令AB→＝c，AC→＝b，BC→＝a，你能通过计算|a|2＝a·a 证明余弦定理吗？ 剖析：如图所示，|a|2＝a·a＝a2＝BC→·BC→＝(AC→－AB→)·(AC→－AB→)＝AC→2－2AC→·AB→＋AB→2 ＝AC→2－2|AC→||AB→|cos A＋AB→2＝b2＋c2－2bccos A，即 a2＝b2＋c2－2bccos A． 同理可证 b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． 除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决． (1)坐标法： 如图所示，以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A，B，C 的坐标分别为 A(0,0)，B(ccos A，csin A)，C(b,0)，根据两点间的距离公 式，得 a＝|BC|＝ ccos A－b 2＋ csin A－0 2， ∴a2＝c2cos2A－2bccos A＋b2＋c2sin2A， 即 a2＝b2＋c2－2bccos A． 同理可得 b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． (2)(用正弦定理证明)因为 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 所以 b2＋c2－2bccos A ＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin Bsin Ccos A) ＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sin Bsin Ccos (B＋C)] ＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C) ＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sin Bsin Ccos Bcos C] ＝4R2(sin2Bcos2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C＋sin2Ccos2B) ＝4R2sin2(B＋C)＝4R2sin2A＝a2. 同理可证 b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． 题型一 用余弦定理解三角形 【例 1】在△ABC 中： (1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求 c； (2)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角； (3)a∶b∶c＝1∶ 3∶2，求∠A，∠B，∠C． 分析：(1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大边对大角； (3)可设三边为 x， 3x,2x. 反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特 征． (2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A，进而求出其余 两角．另外也可由边长关系，判断出∠C 为直角，再求角． 题型二 判断三角形的形状 【例 2】在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且 sin A＝2sin B·cos C，试 确定△ABC 的形状． 分析：利用余弦定理先求出∠A＝60°，再根据三角变换公式求得∠B＝∠C． 反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、 等腰、等边三角形等)． (2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理， 要么统一为边的关系，要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、 代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论． (3)常见结论：设 a，b，c 分别是△ABC 的角 A，B，C 的对边， ①若 a2＋b2＝c2，则∠C＝90°； ②若 a2＋b2＞c2，则∠C＜90°； ③若 a2＋b2＜c2，则∠C＞90°； ④若 sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B 或∠A＋∠B＝π 2 . 题型三 三角形的面积公式的应用 【例 3】在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，且cos B cos C ＝－ b 2a＋c .求： (1)∠B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． 分析：先由余弦定理求出∠B，再结合条件列方程求出 ac，利用面积公式求出△ABC 的 面积． 反思：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦问题， 要注意方程思想在解题中的应用． 题型四 正、余弦定理的综合应用 【例 4】(2011·山东高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos A－2cos C cos B ＝2c－a b . (1)求sin C sin A 的值； (2)若 cos B＝1 4 ，b＝2，求边 a. 分析：(1)利用正弦定理及三角变换公式对已知等式进行化简即可； (2)利用余弦定理列出方程，并且用上(1)中的结论即可求出 a. 反思：正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所求，正弦定理尤 其在边角转化方面功能显著．余弦定理的使用要注意选择好“第三边”，这样才能列出有效 的方程，再者要熟练掌握三角变换公式，这在解三角形中经常用到． 题型五 易错辨析 【例 5】在锐角△ABC 中，b＝1，c＝2，则 a 的取值范围是( )． A．1＜a＜3 B．1＜a＜ 5 C． 3＜a＜ 5 D．不确定 错解：由三角形的性质，知 c－b＜a，得 a＞1.又∠A 为锐角，从而 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 5－a2 2bc ＞0，得 0＜a＜ 5. 所以 1＜a＜ 5.故选 B． 错因分析：上述解法忽视了三角形三个内角的关系，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，cos A ＞0 只能推出∠A 为锐角，而不能推出△ABC 一定为锐角三角形，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以当△ABC 为锐角三角形时，不仅 cos A＞0，还必须满足 cos B＞0，cos C＞0. 【例 6】在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，∠C＝15°，求∠A． 错解：由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2 2× 6＋ 2 4 ＝8－4 3， 所以 c＝ 6－ 2.又由正弦定理，得 sin A＝asin C c ＝1 2 .因为 0°＜∠A＜180°，所以∠A＝ 30°或 150°. 错因分析：没有注意到 b＞a 这一隐含条件，致使增解． 1 在△ABC 中，bcos A＝acos B，则三角形的形状为( )． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2 在△ABC 中，已知三边 a，b，c 满足(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab，则∠C 等于( )． A．15° B．30° C．45° D．60° 3 在△ABC 中，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边，如果 b＋c＝2 3，∠A＝60°， △ABC 的面积为 3 2 ，那么 a 为( )． A． 10 B． 6 C．10 D．6 4 在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则 sin A＝________. 5(2012·北京昌平高三一模)在△ABC 中，1 2 cos 2A＝cos2 A－cos A． (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝3，sin B＝2sin C，求 S△ABC． 答案： 基础知识·梳理 1．b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 其他两边的平方和减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2＋c2－a2 2bc a2＋c2－b2 2ac a2＋b2－c2 2ab 【做一做 1－1】 3 由余弦定理，得 AC2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3.∴AC＝ 3. 【做一做 1－2】60° 2．(1)直角 锐角 钝角 (2)求三个角 第三边 两个角 a2＝b2＋c2－2bccos A 【做一做 2－1】D 【做一做 2－2】等腰 3．(2)bcsin A acsin B 【做一做 3－1】4 2 【做一做 3－2】6 典型例题·领悟 【例 1】解：(1)由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋12－2×1×1×(－1 2 )＝3， ∴c＝ 3. (2)显然∠C 最大． ∵cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝32＋42－37 2×3×4 ＝－1 2 ， ∴∠C＝120°. (3)由于 a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理，得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝3x2＋4x2－x2 2· 3x·2x ＝ 3 2 ，∴∠A＝30°. 同理 cos B＝1 2 ，cos C＝0， ∴∠B＝60°，∠C＝90°. 【例 2】解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc. 而 a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1.∴cos A＝1 2 ∴∠A＝60°. 又 sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，sin A＝2sin B·cos C， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即 sin (B－C)＝0，∴∠B＝∠C. 又∵∠B＋∠C＝120°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 故△ABC 为等边三角形． 【例 3】解：(1)∵cos B cos C ＝－ b 2a＋c ， ∴(a2＋c2－b2)2ab (a2＋b2－c2)2ac ＝－ b 2a＋c ， 整理，得 a2＋c2－b2＝－ac， ∴cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝－ ac 2ac ＝－1 2 ， 从而∠B＝120°. (2)由(1)得 a2＋c2＋ac＝13.① 又 a＋c＝4，∴a2＋c2＋2ac＝16.② 由①②，得 ac＝3， ∴S△ABC＝1 2 acsin B＝1 2 ×3×sin 120°＝3 3 4 . 【例 4】解：(1)由正弦定理，得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以 cos A－2cos C cos B ＝2c－a b ＝2sin C－sin A sin B ，即 sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin Acos B，即有 sin (A＋B)＝2sin (B＋ C)，即 sin C＝2sin A，所以sin C sin A ＝2. (2)由(1)知c a ＝sin C sin A ＝2，即 c＝2a， 又因为 b＝2，所以由余弦定理，得： b2＝a2＋c2－2accos B， 即 22＝4a2＋a2－2a×2a×1 4 ，解得 a＝1. 【例 5】C 正解：由三角形的性质，知 c－b＜a，得 a＞1. 又由 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝5－a2 2bc ＞0，得 0＜a＜ 5. 由 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝a2＋3 2ac ＞0，得 a∈R. 由 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝a2－3 2ab ＞0，得 a＞ 3. 综上，知 3＜a＜ 5. 【例 6】正解：由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3，所以 c＝ 6－ 2.又 由正弦定理，得 sin A＝asin C c ＝1 2 .因为 b＞a，所以∠B＞∠A.又因为 0°＜∠A＜180°， 所以∠A＝30°. 随堂练习·巩固 1．C 已知等式中有边也有角，故可用下列两种方法来解：①将边化为角，即将 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B 代入，再进行三角恒等变换即可．②将角化为边，即由余弦定理将 cos A， cos B 的式子代入化简即可． 2．D 3．B 4． 3 2 由余弦定理，得 cos A＝32＋42－13 2×3×4 ＝1 2 ， ∴sin A＝ 3 2 . 5．解：(1)由已知得1 2 (2cos2 A－1)＝cos2 A－cos A， ∴cos A＝1 2 . ∵0＜∠A＜π，∴∠A＝π 3 . (2)由 b sin B ＝ c sin C 可得，sin B sin C ＝b c ＝2， ∴b＝2c. cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝4c2＋c2－9 4c2 ＝1 2 ， 解得 c＝ 3，b＝2 3. S△ABC＝1 2 bcsin A＝1 2 ×2 3× 3× 3 2 ＝3 3 2 .