高中数学第8章圆锥曲线方程（第4课时）椭圆的简单几何性质(1) 6页

课 题：8．2椭圆的简单几何性质（一）‎ 教学目的：‎ ‎1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 ‎2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系 ‎3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质 教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 内容分析：‎ 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 ‎ 通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力 本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 ‎2．标准方程：， （）‎ ‎3．问题：‎ ‎（1）椭圆曲线的几何意义是什么？ ‎（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？ ‎（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？ ‎（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？ ‎（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？ ‎（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ ‎ 二、讲解新课：‎ ‎ 由椭圆方程() 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) ‎ ‎(1)范围:‎ ‎ 从标准方程得出,,即有,，可知椭圆落在组成的矩形中．‎ ‎(2)对称性:‎ 把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称．换成方程不变，图象关于轴对称．把同时换成方程也不变，图象关于原点对称．‎ 如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 ‎（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点 令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点： ，‎ 加两焦点共有六个特殊点. ‎ 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.‎ 至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．‎ ‎ (4)离心率:‎ 发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同 这种扁平性质由什么来决定呢？‎ 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式：‎ 范围：‎ 考察椭圆形状与的关系：‎ ‎，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 ‎ 三、讲解范例：‎ 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．‎ 解：把已知方程化成标准方程 ‎ ‎ 所以，，‎ 因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，‎ ‎ 将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3.9‎ ‎3.7‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎0‎ ‎ 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：‎ 例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：‎ ‎　　　　（1）　　（2）‎ 答：简图如下：‎ 例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：‎ ‎　（1）　　　（2）‎ 答：简图如下： ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率 解：由题意，=:,即,解得 ‎ ‎2．如图 ，求椭圆,()内接正方形ABCD的面积 ‎ 解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（),代入椭圆方程求得,即正方形ABCD面积为 五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法 ‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记： ‎