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  • 2021-06-15 发布

北师版高中数学必修一第6讲:函数的奇偶性(学生版)

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1 函数的奇偶性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征; 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征; 一、函数奇偶性定义 1、图形描述: 函数  f x 的图像关于 y 轴对称   f x 为偶函数; 函数  f x 的图像关于原点轴对称   f x 为奇函数 定量描述 一般地,如果对于函数  f x 的定义域内任意一个 x ,都有 ( ) ( )f x f x  ,则称  f x 为偶函 数;如果都有    - -f x f x ,则称  f x 为奇函数;如果 ( ) ( )f x f x  与    - -f x f x 同时成 立,那么函数  f x 既是奇函数又是偶函数;如果 ( ) ( )f x f x  与    - -f x f x 都不能成立,那 么函数  f x 既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 如果函数  f x 是奇函数或偶函数,则称函数 ( )y f x 具有奇偶性。 特别提醒: 1、函数具有奇偶性的必要条件是:函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之, 若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断 函数是否具有奇偶性的一般步骤:(1)考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称,可直接判 定该函数不具有奇偶性;若对称,则进入第二步;(2)判断    f x f x  与    f x f x   这 两个等式的成立情况,根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、  y f x 是偶函数   y f x 的图像关于 y 轴对称;  y f x 是奇函数   y f x 的图像关于原点对称。 2、奇函数  f x 在 0x  有定义,必有  0 0f  。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在定义域内关于原点对称 2 的两个区间上单调性相同。 4、    ,f x g x 是定义域为 1 2,D D 且 1 2D D 要关于原点对称,那么就有以下结论: 奇 奇奇 偶 偶偶 奇 奇偶 偶 偶偶 奇 偶奇 5、复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”。 6、多项整式函数 1 1 0( ) n n n nP x a x a x a     的奇偶性 多项式函数 ( )P x 是奇函数  ( )P x 的偶次项的系数和常数项全为零; 多项式函数 ( )P x 是偶函数  ( )P x 的奇次项的系数全为零。 类型一 函数奇偶性的判断 例 1:判断下列函数是否具有奇偶性: (1)f(x)=2x4+3x2; (2)f(x)=1 x +x; 练习 1:判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2+1; (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; 练习 2:(2014~2015 学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中,既是奇函数 又是增函数的是( ) A.y=x+1 B.y=-x2 C.y=1 x D.y=x|x| 类型二 分段函数奇偶性的判定 例 2:用定义判断函数 f(x)= -x2+1 x>0 x2-1 x<0 的奇偶性. 练习 1:判断函数 f(x)= x2+2 x>0 0 x=0 -x2-2 x<0 的奇偶性. 练习 2:如果 F(x)= 2x-3 x>0 f x x<0 是奇函数,则 f(x)=________.的单调性 类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征,求关于原点对称的区间上的解析式 例 3:若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(1-x),求:当 x≥0 时,函数 f(x) 的解析式. 练习 1:(2014~2015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数 f(x)是 R 上的奇 3 函数,当 x>0 时,f(x)=2x+1,则函数 f(x)的解析式为________________. 练习 2:(2014~2015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数 f(x)是定义在 R 上的奇 函数,当 x>0 时,f(x)=-x+1,则当 x<0 时,f(x)的表达式为( ) A.f(x)=x+1 B.f(x)=x-1 C.f(x)=-x+1 D.f(x)=-x-1 类型四 抽象函数奇偶性的证明 例 4:已知函数 y=f(x)(x∈R),若对于任意实数 a、b 都有 f(a+b)=f(a)+f(b),求证: f(x) 为奇函数. 练习 1:已知函数 y=f(x)(x∈R),若对于任意实数 x1 、x2 ,都有 f(x1 +x2)+f(x1 -x2)= 2f(x1)·f(x2),求证: f(x)为偶函数. 2:已知 ( )f x 是定义在 R 上的任意一个增函数,      G x f x f x   ,则  G x 必定为( ) A、增函数且为奇函数 B、增函数且为偶函数 C、减函数且为奇函数 D、减函数且为偶函数 类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断 例 5:设 a 为实数,讨论函数 f(x)=x2+|x-a|+1 的奇偶性. 练习 1:(2014~2015 学年度河南省实验中学高一月考)已知函数 f(x)=x2+a x ,常数 a∈R,讨 论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由. 练习 2:(2014~2015 学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数 f(x)=ax+b x (其中 a、 b 为常数)的图象经过两点(1,2)和(2,5 2 ). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值 例 6: 已知函数 f(x)=ax2+2 3x+b 是奇函数,且 f(2)=5 3 .求实数 a、b 的值; 练习 1: (2014~2015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数 f(x)=x+b 1+x2为奇函 数.求 b 的值; 练习 2: 若函数 ( 0)y kx b k   是奇函数,则 b  ;若函数 2 ( 0)y ax bx c a    为偶 4 函数,则b  。 类型七:利用奇偶性解不等式 例 7:已知函数 f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数且是减函数,若 f(m-1)+f(1-2m)≥0,求 实数 m 的取值范围. 练习 1:定义在[-2,2]上的偶函数 f(x),当 x≥0 时单调递减,设 f(1-m)、<、≥、 ≤) 9.(2014~2015 学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数 f(x)=x2-2|x|(- 3≤x≤3). (1)证明:f(x)是偶函数; (2)画出此函数的图象,并指出函数的单调区间. 10.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=(x2+1)(x+1),求 f(x)、g(x).