北师版高中数学必修一第6讲：函数的奇偶性（学生版） 6页

1 函数的奇偶性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征； 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数  f x 的图像关于 y 轴对称   f x 为偶函数； 函数  f x 的图像关于原点轴对称   f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数  f x 的定义域内任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x  ，则称  f x 为偶函 数；如果都有    - -f x f x ，则称  f x 为奇函数；如果 ( ) ( )f x f x  与    - -f x f x 同时成 立，那么函数  f x 既是奇函数又是偶函数；如果 ( ) ( )f x f x  与    - -f x f x 都不能成立，那 么函数  f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 如果函数  f x 是奇函数或偶函数，则称函数 ( )y f x 具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之， 若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断 函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判 定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断    f x f x  与    f x f x   这 两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、  y f x 是偶函数   y f x 的图像关于 y 轴对称；  y f x 是奇函数   y f x 的图像关于原点对称。 2、奇函数  f x 在 0x  有定义，必有  0 0f  。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称 2 的两个区间上单调性相同。 4、    ,f x g x 是定义域为 1 2,D D 且 1 2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论： 奇 奇奇 偶 偶偶 奇 奇偶 偶 偶偶 奇 偶奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 6、多项整式函数 1 1 0( ) n n n nP x a x a x a     的奇偶性 多项式函数 ( )P x 是奇函数  ( )P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数 ( )P x 是偶函数  ( )P x 的奇次项的系数全为零。 类型一 函数奇偶性的判断 例 1：判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f(x)＝2x4＋3x2； (2)f(x)＝1 x ＋x； 练习 1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2＋1； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； 练习 2：(2014～2015 学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数 又是增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝1 x D．y＝x|x| 类型二 分段函数奇偶性的判定 例 2：用定义判断函数 f(x)＝ －x2＋1 x>0 x2－1 x<0 的奇偶性． 练习 1：判断函数 f(x)＝ x2＋2 x>0 0 x＝0 －x2－2 x<0 的奇偶性． 练习 2：如果 F(x)＝ 2x－3 x>0 f x x<0 是奇函数，则 f(x)＝________.的单调性 类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式 例 3：若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝x(1－x)，求：当 x≥0 时，函数 f(x) 的解析式． 练习 1：(2014～2015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数 f(x)是 R 上的奇 3 函数，当 x>0 时，f(x)＝2x＋1，则函数 f(x)的解析式为________________． 练习 2：(2014～2015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数 f(x)是定义在 R 上的奇 函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，则当 x<0 时，f(x)的表达式为( ) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1 类型四 抽象函数奇偶性的证明 例 4：已知函数 y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数 a、b 都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证： f(x) 为奇函数． 练习 1：已知函数 y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数 x1 、x2 ，都有 f(x1 ＋x2)＋f(x1 －x2)＝ 2f(x1)·f(x2)，求证： f(x)为偶函数． 2：已知 ( )f x 是定义在 R 上的任意一个增函数，      G x f x f x   ，则  G x 必定为（ ） A、增函数且为奇函数 B、增函数且为偶函数 C、减函数且为奇函数 D、减函数且为偶函数 类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断 例 5：设 a 为实数，讨论函数 f(x)＝x2＋|x－a|＋1 的奇偶性． 练习 1：(2014～2015 学年度河南省实验中学高一月考)已知函数 f(x)＝x2＋a x ，常数 a∈R，讨 论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由． 练习 2：(2014～2015 学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数 f(x)＝ax＋b x (其中 a、 b 为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，5 2 )． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)判断函数 f(x)的奇偶性． 类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值 例 6: 已知函数 f(x)＝ax2＋2 3x＋b 是奇函数，且 f(2)＝5 3 .求实数 a、b 的值； 练习 1: (2014～2015 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数 f(x)＝x＋b 1＋x2为奇函 数.求 b 的值； 练习 2: 若函数 ( 0)y kx b k   是奇函数，则 b  ；若函数 2 ( 0)y ax bx c a    为偶 4 函数，则b  。 类型七：利用奇偶性解不等式 例 7：已知函数 f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若 f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求 实数 m 的取值范围． 练习 1：定义在[－2,2]上的偶函数 f(x)，当 x≥0 时单调递减，设 f(1－m)、<、≥、 ≤) 9．(2014～2015 学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数 f(x)＝x2－2|x|(－ 3≤x≤3)． (1)证明：f(x)是偶函数； (2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间． 10．已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求 f(x)、g(x)．