高一数学三角函数基础题（4）两角和与差的正弦，余弦，正切，余切单元训练 5页

教学内容：两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎【典型例题分析】‎ 思路分析：角度变换是三角恒等变换的首选方法，解答本例要注意对题中角间的关系进行分析，如（1）中有2A＋B＝（A＋B）＋A，（2）中有β＝α－（α－β），抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．‎ ‎（2）解法一：‎ 又∵β是锐角，‎ 点评：‎ 对角间的关系进行分析，主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．它实际上是一种基本量方法，即把题中某些角作为基本量，其他角用基本量表示出来，达到变形的目的．‎ 例2 （1）如果方程的两根为tanα、tanβ，求 的值；‎ ‎（2）在非直角△ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．‎ 思路分析：观察（1）中待求式特点，须先求出α＋β的一个三角函数值，由韦达定理和和角正切公式特点，可先求tan（α＋β）．根据（2）中恒等式的结构特点，可利用和角正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）将左边的正切和转化为右边的正切积．‎ 解：（1）由韦达定理，得 ‎（2）∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，‎ 点评：含α、β两角的正切和与正切积的式子，用和、差角正切公式的变形比较容易处理．‎ 例3 化简 思路分析：对于（1），三个角的关系非常明显，结合和、差角三角函数公式的特点，易进行角度变换7°＝15°－8°．对于（2），一方面应由诱导公式将80°角变换成10°的角，另一方面应将切化成弦．‎ 点评：数值角三角式的化简，在变形过程中应注意产生特殊角，并设法将非特殊的三角函数值约掉或消掉．‎ 例4 已知△ABC中的三内角A、B、C成等差数列，且，求的值．‎ 思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到，而，．取作为基本量，就找到了解决本题的突破口．‎ 解：由已知，B＝60°，A＋C＝120°‎ 点评：本题实际上是把题设等式看成一个方程，上述解法体现了方程思想的应用．‎ 例5 已知，α、β都是锐角，求tan（α－β）的值．‎ 点评：上述错解未挖掘出角的隐含条件．事实上，由于α、β为锐角，且，可知α－β＜0，于是有．‎ ‎【同步达纲练习】‎ ‎1．选择题 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(A) (B)‎ ‎ (D)‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎2．填空题 ‎3．解答题 参考答案 ‎【同步达纲练习】‎ ‎1．（1）B；（2）C；（3）A．‎ ‎2．‎ ‎3．（7）．提示：变形使用和角的正切公式 ‎（10）‎