2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章4．4 对数函数 4．4.1 对数函数的概念 10页

4．4 对数函数 4．4.1 对数函数的概念 学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实 际中的简单应用． 知识点 对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0， ＋∞)． 思考 函数 y＝logπx，y＝log2 x 3 是对数函数吗？ 答案 y＝logπx 是对数函数，y＝log2 x 3 不是对数函数． 1．由 y＝logax，得 x＝ay，所以 x>0.( √ ) 2．y＝log2x2 是对数函数．( × ) 3．若对数函数 y＝logax，则 a>0.( √ ) 4．函数 y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．( × ) 一、对数函数的概念及应用 例 1 (1)下列给出的函数： ①y＝log5x＋1； ②y＝logax2(a>0，且 a≠1)；③ ( 3 1)log ;y x ④y＝log3 x 2 ；⑤y＝logx 3(x>0，且 x≠1)； ⑥ 2 π log .y x 其中是对数函数的为( ) A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ (2)已知对数函数的图象过点 M(8,3)，则 f 1 2 ＝________. 答案 (1)D (2)－1 解析 (1)①中对数式后面加 1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量 x，所以不是对数 函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自 变量 x，而非常数 a，所以不是对数函数，故③⑥正确． (2)设 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，由图象过点 M(8,3)，则有 3＝loga8，解得 a＝2.所以对数函 数的解析式为 f(x)＝log2x，所以 f 1 2 ＝log2 1 2 ＝－1. 反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法 对数函数必须是形如 y＝logax(a>0，且 a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)对数式系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x. 跟踪训练 1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案 B (2)若对数函数 f(x)的图象过点(4，－2)，则 f(8)＝________. 答案 －3 二、与对数函数有关的定义域 例 2 求下列函数的定义域． (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log1－x5. 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 解 (1)由 3－x>0， 3＋x>0， 得－30，得 4x<16＝42， 由指数函数的单调性得 x<2， ∴函数 y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2)． (3)依题意知 1－x>0， 1－x≠1， 得 x<1 且 x≠0， ∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)． 反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.如需对函数式 变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变． 跟踪训练 2 求下列函数的定义域． (1)y＝ x2－4 lgx＋3 ； (2)y＝ 1 2－x ＋ln(x＋1)． 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 解 (1)要使函数有意义，需 x2－4≥0， x＋3>0， x＋3≠1， 即 x≤－2 或 x≥2， x>－3， x≠－2， 即－30， x＋1>0， 即 x<2， x>－1， ∴－10 且 a≠1) B．y＝loga(2x)(a>0 且 a≠1) C．y＝log(a－1)x(a>1 且 a≠2) D．y＝2logax(a>0 且 a≠1) 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 答案 C 2．函数 y＝log2(x－2)的定义域是( ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[4，＋∞) 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 答案 C 3．函数 f(x)＝ 3－x＋lg(x＋1)的定义域为( ) A．[－1,3) B．(－1,3) C．(－1,3] D．[－1,3] 答案 C 4．对数函数 f(x)过点(9,2)，则 f 1 3 ＝________. 答案 －1 解析 设 f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)，loga9＝2， ∴a2＝9，∴a＝3(舍 a＝－3)， ∴f(x)＝log3x，∴f 1 3 ＝log3 1 3 ＝－1. 5．函数 f(x)＝logax＋a2－2a－3 为对数函数，则 a＝________. 答案 3 解析 依题意有 a2－2a－3＝0， a>0， a≠1， 解得 a＝3. 1．知识清单： (1)对数函数的定义． (2)对数函数的定义域． 2．方法归纳：待定系数法． 3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件． 1．给出下列函数： ①y＝ 2 2 3 log x ；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx. 其中是对数函数的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 答案 A 解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量 x；③不是对数函数，因为对数 的底数不是常数；④是对数函数． 2．已知函数 f(x)＝ 1 1－x 的定义域为 M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N 等于( ) A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C．{x|－10}＝{x|x<1}， N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}， ∴M∩N＝{x|－10， a≠1， 解得 a＝5. 7．函数 y＝  1 2 log 3x a 的定义域是 2 3 ，＋∞ ，则 a＝________. 答案 2 解析 由 y＝  1 2 log 3x a 知，3x－a>0，即 x>a 3. ∴a 3 ＝2 3 ，即 a＝2. 8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x 万元时，奖励 y 万元．若公司拟定的奖励方案为 y＝2log4x－2，某业务员要得到 5 万元奖励，则他的销售额 应为________万元． 答案 128 解析 由题意得 5＝2log4x－2， 即 7＝log2x，得 x＝128. 9．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝log(x－1)(3－x)； (2)f(x)＝ 2x＋3 x－1 ＋log2(3x－1)． 解 (1)由题意知 3－x>0， x－1>0， x－1≠1， 解得 10， 解得 x>1 3 ，且 x≠1. 故 f(x)的定义域是 1 3 ，1 ∪(1，＋∞)． 10．20 世纪 70 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地 震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里 氏震级 M，其计算公式为 M＝lg A－lg A0.其中 A 是被测地震的最大振幅，A0 是“标准地震” 的振幅． (1)假设在一次地震中，一个距离震中 1 000 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时标 准地震的振幅是 0.002，计算这次地震的震级； (2)5 级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最 大振幅的多少倍？ 解 (1)M＝lg A－lg A0＝lg A A0 ＝lg 20 0.002 ＝lg 104＝4. 即这次地震的震级为 4 级． (2)由题意得 5＝lg A5－lg A0， 8＝lg A8－lg A0， 所以 lg A8－lg A5＝3， 即 lgA8 A5 ＝3. 所以A8 A5 ＝103＝1 000. 即 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1 000 倍． 11．函数 y＝log2x－1 2－x 的定义域是( ) A．(1,2] B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 答案 B 解析 由 x－1>0， 2－x>0， 得 x>1， x<2， ∴10， 且 a＋1≠1，所以 a＝1. 14．函数 f(x)＝lg 2kx2－kx＋3 8 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是________． 答案 [0,3) 解析 依题意，2kx2－kx＋3 8>0 的解集为 R， 即不等式 2kx2－kx＋3 8>0 恒成立， 当 k＝0 时，3 8>0 恒成立，∴k＝0 满足条件． 当 k≠0 时，则 k>0， Δ＝k2－4×2k×3 8<0， 解得 0