浙江专用2020高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第2讲三角恒等变换与解三角形专题强化训练 8页

第2讲 三角恒等变换与解三角形 专题强化训练 ‎1．已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C． D．0‎ 解析：选D.因为sin＝cos，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝－cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.‎ ‎2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3‎ D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ 解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.‎ ‎3．(2019·台州市高考一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acos C，sin C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析：选C.因为2b－c＝2acos C，‎ 所以由正弦定理可得2sin B－ sin C＝2sin Acos C，‎ 所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C，‎ 所以2cos Asin C＝sin C，‎ 所以cos A＝，所以A＝30°，‎ 因为sin C＝，所以C＝60°或120°.‎ - 8 -‎ A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×2×＝，A＝30°，C＝120°，B＝30°，a＝1，所以△ABC的面积为×1×1×＝，故选C.‎ ‎4．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．3 解析：选B.因为＝＝＝1，所以2cos C＝1，所以C＝.又S△ABC＝2，则absin C＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.‎ ‎5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)‎ A．8 B．4‎ C．2 D．1‎ 解析：选C.因为m＝2sin 18°，‎ 若m2＋n＝4，‎ 则n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，‎ 所以＝＝＝＝2.‎ ‎6．(2019·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时(　　)‎ A．λ先变小再变大 B．当M为线段BC中点时，λ最大 C．λ先变大再变小 D．λ是一个定值 解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1，r2，‎ - 8 -‎ 则2r1＝，2r2＝，‎ 因为∠APB＋∠APC＝180°，‎ 所以sin∠APB＝sin∠APC，‎ 所以＝，‎ 所以λ＝＝.故选D.‎ ‎7．(2019·福州市综合质量检测)已知m＝，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m＝(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析：选D.设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，‎ 则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，‎ 因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，‎ 所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，‎ 即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，‎ 即2cos Asin B＝sin Acos B，‎ 所以tan A＝2tan B，‎ 所以m＝＝2，故选D.‎ ‎8．(2019·咸阳二模)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝2c2，sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，b＝6，AB边上的点M满足＝2，过点M的直线与射线CA，CB分别交于P，Q两点，则MP2＋MQ2的最小值是(　　)‎ A．36 B．37‎ C．38 D．39‎ 解析：选A.由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，所以sin C＝1，C＝，所以sin A(1－cos C)＝sin Bsin C，即sin A＝sin B，所以A＝B＝.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2，4)，设∠MPC＝θ，θ∈，则MP2＋MQ2＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝‎ - 8 -‎ ‎20＋4tan2θ＋≥36，当且仅当tan θ＝时等号成立，即MP2＋MQ2的最小值为36.‎ ‎9．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．‎ 解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x ‎＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.‎ 答案：　1‎ ‎10．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．‎ 解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，‎ 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，‎ 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，‎ 因为α∈，‎ 所以cos α＋sin α＝0不满足条件；‎ 由cos α－sin α＝，两边平方得1－sin 2α＝，‎ 所以sin 2α＝.‎ 答案： ‎11．(2019·金丽衢十二校联考二模)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acos B＝bcos A，4S＝2a2－c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为________．‎ 解析：△ABC中，acos B＝bcos A，‎ 所以sin Acos B＝sin Bcos A，‎ 所以sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，‎ 所以A＝B，所以a＝b；‎ 又△ABC的面积为S＝absin C，‎ 且4S＝2a2－c2，‎ 所以2absin C＝2a2－c2＝a2＋b2－c2，‎ 所以sin C＝＝cos C，‎ 所以C＝.‎ - 8 -‎ 答案： ‎12．(2019·绍兴市一中高三期末检测)△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2，tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝________．‎ 解析：由正弦定理可知＝2，又tan∠CAD＝sin∠BAC，则＝sin(∠CAD＋∠BAD)，利用三角恒等变形可化为 cos∠BAC＝，据余弦定理BC＝‎ ＝＝.‎ 答案： ‎13．(2019·惠州第一次调研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．‎ 解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以32