【北师大版】2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9.3 平行关系 9页

- 1 - 9.3 平行关系 核心考点·精准研析 考点一 直线、平面平行的基本问题 1.如图,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 为 PA 的中点,O 为 AC 与 BD 的交点,下面说法错误的是 ( ) A.OQ∥平面 PCD B.PC∥平面 BDQ C.AQ∥平面 PCD D.CD∥平面 PAB 2.已知 a,b 表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是 ( ) A.α∩β=a,b α⇒a∥b B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且 b∥β C.a∥β,b∥β,a α,b α⇒α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b 3.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为 . 【解析】1.选 C.因为 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以 AO=OC,又 Q 为 PA 的中点,所以 QO∥PC.由线 面平行的判定定理,可知 A、B 正确,又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 AB∥CD,故 CD∥平面 PAB,故 D 正确. 2.选 D.选项 A 中,α∩β=a,b α,则 a,b 可能平行也可能相交,故 A 不正确; 选项 B 中,α∩β=a,a∥b,则可能 b∥α且 b∥β,也可能 b 在平面α或β内,故 B 不正确; 选项 C 中,a∥β,b∥β,a α,b α,根据面面平行的判定定理,再加上条件 a∩b=A,才能得出α∥β, 故 C 不正确; 选项 D 为面面平行性质定理的符号语言. - 2 - 3.因为平面 ABFE∥平面 CDHG, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF, 平面 EFGH∩平面 CDHG=HG, 所以 EF∥HG.同理 EH∥FG,所以四边形 EFGH 是平行四边形. 答案:平行四边形 直线、平面间平行的判定方法 (1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (3)利用实物进行空间想象,比较判断. (4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等. 【秒杀绝招】 直接法解 T1,因为 Q 是 AP 的中点,故 AQ∩平面 PCD =P,所以 AQ∥平面 PCD 是错误的. 考点二 直线、平面平行的判定与性质 【典例】1.在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 6 的正三角形,SA=SB=SC=15,平面 DEFH 分别与 AB,BC,SC,SA 交于 D,E,F,H.D,E 分别是 AB,BC 的中点,如果直线 SB∥平面 DEFH,那么四边形 DEFH 的面积为 . 2.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为正三角形,点 D 在棱 BC 上,且 CD=3BD,点 E,F 分别为棱 AB,BB1 的中点. 求证:A1C∥平面 DEF. 【解题导思】 序号 联想解题 1 由直线 SB∥平面 DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形 DEFH 的形状,进而得到其面积. 2 求证 A1C∥平面 DEF,只要设法在平面 DEF 上找到与 A1C 平行的直线即可,因为 CD=3BD,故联想到连 接 A1B,在△BA1C 中由比例关系证明平行关系. 【解析】1.取 AC 的中点 G,连接 SG,BG. 易知 SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G, 故 AC⊥平面 SGB,所以 AC⊥SB. 因为 SB∥平面 DEFH,SB 平面 SAB,平面 SAB∩平面 DEFH=HD,则 SB∥HD.同理 SB∥FE. - 3 - 又 D,E 分别为 AB,BC 的中点, 则 H,F 也为 AS,SC 的中点, 从而得 HF∥ AC∥DE,且 HF= AC=DE, 所以四边形 DEFH 为平行四边形. 又 AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以 DE⊥HD, 所以四边形 DEFH 为矩形, 其面积 S=HF·HD= · = . 答案: 2.如图,连接 AB1,A1B,交于点 H,A1B 交 EF 于点 K,连接 DK, 因为 ABB1A1 为矩形,所以 H 为线段 A1B 的中点,因为点 E,F 分别为棱 AB,BB1 的中点,所以点 K 为线段 BH 的中 点,所以 A1K=3BK, 又因为 CD=3BD,所以 A1C∥DK,又 A1C⊈ 平面 DEF,DK 平面 DEF,所以 A1C∥平面 DEF. 1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否 已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交 线. 2.判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊈ α,b α,a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β,a α⇒a∥β;α∥β,a⊈ β,a∥α⇒a∥β). - 4 - 1.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度为 . 【解析】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2, 所以 AC=2 . 又 E 为 AD 中点,EF∥平面 AB1C,EF 平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C=AC, 所以 EF∥AC,所以 F 为 DC 中点, 所以 EF= AC= . 答案: 2.如图所示,已知四棱锥 P-ABCD,BC∥AD,PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点. 证明:CE∥平面 PAB. 【证明】设 PA 的中点为 F,连接 EF,FB. 因为 E,F 分别为 PD,PA 的中点,所以 EF∥AD,且 EF= AD. 又因为 BC∥AD,BC= AD,所以 EF∥BC,且 EF=BC,所以四边形 BCEF 为平行四边形,所以 CE∥BF,又 BF 平 面 PAB,CE⊈ 平面 PAB,所以 CE∥平面 PAB. 【一题多解微课】 解决本题还可以采用 以下方法:扫码听名师讲解 - 5 - 方法一:分别延长 AB,DC 交于点 F,连接 PF,BC= AD,则 FC=CD,又 ED=EP,则 EC∥ PF,因为 EC⊈ 平面 PAB,PF 平面 PAB,所以 EC∥平面 PAB. 方法二:取 AD 的中点 M,连接 EM,CM,EM∥PA, EM⊈ 平面 PAB,PA 平面 PAB,EM∥平面 PAB,又 BC AD=AM,四边形 ABCM 为平行四边形, 则 CM∥AB.CM⊈ 平面 PAB,AB 平面 PAB. CM∥平面 PAB,EM∩CM=M, 则平面 ECM∥平面 PAB,因为 CE 平面 ECM,所以 CE∥平面 PAB. 考点三 面面平行的判定与性质及平行的综合问题 命 题 精 解 读 1.考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平面平行的综合问 题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行. 3.新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题. 学 霸 好 方 法 1.证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化. 2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角. 面面平行的判定与性质 【典例】1.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证: - 6 - (1)B,C,H,G 四点共面. (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 【证明】(1)因为 G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点, 所以 GH 是△A1B1C1 的中位线,所以 GH∥B1C1. 又因为 B1C1∥BC,所以 GH∥BC, 所以 B,C,H,G 四点共面. (2)因为 E,F 分别是 AB,AC 的中点,所以 EF∥BC. 因为 EF⊈ 平面 BCHG,BC 平面 BCHG, 所以 EF∥平面 BCHG. 又 G,E 分别为 A1B1,AB 的中点,A1B1∥AB 且 A1B1=AB,所以 A1G∥EB,A1G=EB, 所以四边形 A1EBG 是平行四边形,所以 A1E∥GB. 又因为 A1E⊈ 平面 BCHG,GB 平面 BCHG, 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF=E,A1E,EF 平面 EFA1, 所以平面 EFA1∥平面 BCHG. 2.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠B1A1A=∠C1A1A,AA1=AC,P,Q 分别为棱 AA1,AC 的中点.在平面 ABC 内过点 A 作 AM∥平面 PQB1 交 BC 于点 M,写出作图步骤,但不要求证明. 【解析】如图,在平面 ABB1A1 内,过点 A 作 AN∥B1P 交 BB1 于点 N,连接 BQ,在△BB1Q 中,作 NH∥B1Q 交 BQ 于点 H,连接 AH 并延长交 BC 于点 M,则 AM 为所求作的直线. 平行关系的综合应用 - 7 - 【典例】如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC 内,有 BE ⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 上找一点 F,使 EF∥平面 PAD. 【解析】在平面 PCD 内,过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G,连接 AG, 在 AB 上取点 F,使 AF=EG, 因为 EG∥CD∥AF,EG=AF, 所以四边形 FEGA 为平行四边形,所以 FE∥AG. 又 AG 平面 PAD,FE⊈ 平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 所以 F 即为所求的点.又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BC, 又 BC⊥AB,所以 BC⊥平面 PAB.所以 PB⊥BC. 所以 PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2. 设 PA=x 则 PC= ,由 PB·BC=BE·PC 得: ·a= · a, 所以 x=a,即 PA=a,所以 PC= a. 又 CE= = a, 所以 = ,所以 = = , 即 GE= CD= a,所以 AF= a. 故点 F 是 AB 上靠近 B 点的一个三等分点. - 8 - 1.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线 a,b 分别与平面α,β,γ相交于点 A,B,C 和点D,E,F.已知 AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则 AC 的长为 cm. 【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线 a,b 分别与平面α,β,γ相交于点 A,B,C 和点 D,E,F,过 D 作直线平行于 a 交β于 M,交γ于 N.连接 AD,BM,CN,ME,NF,所以 AD∥BM∥CN,ME∥NF, 所以 = = , 因为 AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm, 所以 = ,解得 BC= cm, 所以 AC=AB+BC=2+ = (cm). 答案: 2.如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,点 M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD. - 9 - (2)在 PB 上确定一个点 Q,使平面 MNQ∥平面 PAD. 【解析】(1)如图,取 PD 的中点 H,连接 AH,NH,由点 N 是 PC 的中点,知 NH∥DC,NH= DC. 由点 M 是 AB 的中点,知 AM∥DC,AM= DC, 所以 NH∥AM,NH=AM,即四边形 AMNH 是平行四边形. 所以 MN∥AH. 又因为 MN⊈ 平面 PAD,AH 平面 PAD,所以 MN∥平面 PAD. (2)若平面 MNQ∥平面 PAD,则应有 MQ∥PA, 因为点 M 是 AB 中点,所以点 Q 是 PB 的中点. 在四面体 ABCD 中,M,N 分别是面△ACD、△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是 ________________. 【解析】如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该 点为 CD 的中点 E,由 = = ,得 MN∥AB,因此,MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD. 答案:平面 ABC、平面 ABD