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- 2021-06-15 发布
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七校联合体2020届高三第一次联考试卷(8月)
理科数学
命题学校:中山市第一中学 命题人: 审题人:
本试卷6页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,,则在复平面上复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六
大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情
况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是( )
A.乙的数据分析素养优于甲
B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养
12
C.甲的六大素养整体水平优于乙
D.甲的六大素养中数据分析最差
4. 已知则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线与双曲线的焦点相同,双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若函数的最小正周期为,若将其图象向左平移个单位,得到函数的图象,则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.在直角梯形中,,,是的中点,则( )
A. B.
C. D.
8.设函数,则函数的图象可能为( )
A. B.
12
C. D.
9.已知长方体中,,长方体的体积是32,则直线和平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线,过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则( )
A. B. C. D.
11.图中长方形的总个数中,其中含阴影部分的长方形个数的概率为( )
A. B.
C. D.
12. 已知数列的前项和为,若为函数的最大值,且满足,则数列的前2019项之积=( )
A. B. C. D. 1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
12
13. 若满足约束条件,则的最大值是_______.
14. 的展开式中,常数项是______.
15.已知四棱锥中,底面是矩形,,是等边三角形,且平面平面,若四棱锥的外接球的表面积为,则__________.
16. 已知,是函数在,内的两个零点,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.(本小题满分12分)已知数列满足.
(1)求、;
(2)求证:数列为等差数列;
(3)求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)四棱锥中,为矩形,平面平面.
A
B
C
D
P
(1)求证:
(2)若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值.
12
19.(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量
发电机最多可运行台数
若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
20.(本小题满分12分)已知函数,其中,e为自然对数的底数.
(I)当时,证明:对,.
(II)若函数在上存在极值,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知圆和定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点,设点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于,两点,试问:在轴上是否存在定点,使当变化时,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
12
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为:
.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)设直线与曲线相交于,两点,当到直线的距离最大时,求.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数
求不等式的解集;
若函数的最大值为,正实数满足,求证:.
12
七校联合体2020届高三第一次联考试卷(8月)理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
B
C
D
D
C
C
B
B
C
二、填空题:
13.2 14. 6 15. 4 16.
三、解答题:
17.解(1),,
,; ………… 3分
(2),
, ,
数列是首项为1,公差为1的等差数列; ………… 7分
(3)由(2)知:,
…… 12分
18.解析:(1)证明:为矩形,故, ………… 1分
又平面平面,平面平面,所以平面 3分
因为平面,故 ………… 4分
(2)解:过作的垂线,垂足为,过作的垂线,垂足为,连接.
故平面,平面,
12
在直角三角形中,
设,则,故四棱锥的体积为
………… 6分
因为
故当时,即时,四棱锥的体积最大. ………… 8分
建立如图所示的空间直角坐标系,
故
设平面的法向量,则由得
,不妨取,则. ……… 10分
同理可求出平面的法向量, ………… 11分
设平面与平面夹角为,则
又因为为锐角,所以 ………… 12分
12
19.解:(1)依题意,,,
. 由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为. …… 5分
(2)记水电站年总利润为(单位:万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润,
.…… 7分
②安装2台发电机的情形.
依题意,当时,1台发电机运行,此时,因此;
4 200
10 000
0.2
0.8
当时,2台发电机运行,此时,因此;由此得的分布列如下:
所以,. .…… 9分
③安装3台发电机的情形.
依题意,当时,1台发电机运行,此时,因此;当时,2台发电机运行,此时,因此;当时,3台发电机运行,此时,因此,由此得的分布列如下
3 400
9 200
15 000
0.2
0.7
0.1
所以, .…… 11分
12
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.-------------12分
20.解(1)当时,,于是. …………………… 1分
又因为,当时,且.
故当时,,即. ……………………………………3分
所以,函数为上的增函数,于是.
因此,对,;……………………………………………………… 5分
(2) 由题意在上存在零点…………………6分
①当时,为上的增函数,
注意到,,所以,存在唯一实数,使得成立.
于是,当时,,为上的减函数;
当时,,为上的增函数;
所以为函数的极小值点;--------------------------------------------8分
②当时,在上成立,
所以在上单调递增,所以在上没有极值; ----------10分
③当时,在上成立,
所以在上单调递减,所以在上没有极值,
综上所述,使在上存在极值的的取值范围是.------------ 12分
12
21.解:(Ⅰ)圆,圆心,由已知得,又,
所以,所以由椭圆的定义知点的轨迹是以,为焦点的椭圆, ------2分
设其标准方程,则,,所以,,所以曲线.-----4分
(Ⅱ)设存在点满足题设,联立直线与椭圆方程消得
, -----6分
设,,,,则由韦达定理得①,②, -----8分
由题设知平分直线与直的倾斜角互补,即直线与直线的斜率之和为零,
即,即,
即③, 把①、②代入③并化简得,即④, -----10分
所以当变化时④成立,只要即可, 所以存在定点满足题设. ------12分
22.解:(1)曲线:,即:.
代入得曲线的直角坐标方程为:. ------2分
当直线的参数方程可化为(为参数),
所以直线的普通方程为 ------3分
当时,直线的参数方程(为参数,)消去参数直线的普通方程为 ------5分
(2)设,当到直线的距离最大时,,故. ------6分
∴的参数方程为(为参数), ------7分
12
将直线的参数方程代入得:.
∴, ------8分
∴. ------10分
23.解: ------1分
当时,; ------2分
当时,得,所以 ------3分
当时,恒成立, ------4分
原不等式的解集为 ------5分
所以 ------7分
------9分
------10分
12
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