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  • 2021-06-15 发布

广东省七校联合体2020届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案

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七校联合体2020届高三第一次联考试卷(8月)‎ 理科数学 命题学校:中山市第一中学 命题人: 审题人: ‎ 本试卷6页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。‎ ‎1.已知集合,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知为虚数单位,,则在复平面上复数的共轭复数对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎3.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六 大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情 况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是( )‎ A.乙的数据分析素养优于甲 B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养 12‎ C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数据分析最差 ‎ ‎4. 已知则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知抛物线与双曲线的焦点相同,双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若函数的最小正周期为,若将其图象向左平移个单位,得到函数的图象,则函数的解析式为( )‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎7.在直角梯形中,,,是的中点,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.设函数,则函数的图象可能为( )‎ A. B.‎ 12‎ C. D.‎ ‎9.已知长方体中,,长方体的体积是32,则直线和平面所成角的正弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎10.已知抛物线,过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.图中长方形的总个数中,其中含阴影部分的长方形个数的概率为( ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎12. 已知数列的前项和为,若为函数的最大值,且满足,则数列的前2019项之积=( )‎ A. B. C. D. 1‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ 12‎ 13. 若满足约束条件,则的最大值是_______.‎ ‎14. 的展开式中,常数项是______.‎ ‎15.已知四棱锥中,底面是矩形,,是等边三角形,且平面平面,若四棱锥的外接球的表面积为,则__________. ‎ ‎16. 已知,是函数在,内的两个零点,则__________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎ 17.(本小题满分12分)已知数列满足.‎ ‎(1)求、;‎ ‎(2)求证:数列为等差数列;‎ ‎(3)求数列的前项和.‎ ‎ 18.(本小题满分12分)四棱锥中,为矩形,平面平面.‎ A B C D P ‎(1)求证:‎ ‎(2)若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值.‎ 12‎ ‎19.(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;‎ ‎(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:‎ 年入流量 发电机最多可运行台数 ‎ 若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数,其中,e为自然对数的底数.‎ ‎(I)当时,证明:对,.‎ ‎(II)若函数在上存在极值,求实数的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知圆和定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点,设点的轨迹为.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与曲线相交于,两点,试问:在轴上是否存在定点,使当变化时,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 12‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为:‎ ‎.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎(2)设直线与曲线相交于,两点,当到直线的距离最大时,求.‎ ‎23.[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数 求不等式的解集;‎ 若函数的最大值为,正实数满足,求证:.‎ 12‎ 七校联合体2020届高三第一次联考试卷(8月)理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A C B C D D C C B B C 二、填空题:‎ ‎13.2 14. 6 15. 4 16. ‎ 三、解答题: ‎ ‎17.解(1),,‎ ‎,; ………… 3分 ‎(2),‎ ‎ , ,‎ 数列是首项为1,公差为1的等差数列; ………… 7分 ‎(3)由(2)知:,‎ ‎ …… 12分 ‎18.解析:(1)证明:为矩形,故, ………… 1分 又平面平面,平面平面,所以平面 3分 因为平面,故 ………… 4分 ‎(2)解:过作的垂线,垂足为,过作的垂线,垂足为,连接.‎ 故平面,平面,‎ 12‎ 在直角三角形中,‎ 设,则,故四棱锥的体积为 ‎ ………… 6分 因为 故当时,即时,四棱锥的体积最大. ………… 8分 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 故 设平面的法向量,则由得 ‎,不妨取,则. ……… 10分 同理可求出平面的法向量, ………… 11分 设平面与平面夹角为,则 ‎ 又因为为锐角,所以 ………… 12分 12‎ ‎19.解:(1)依题意,,,‎ ‎. 由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为. …… 5分 ‎(2)记水电站年总利润为(单位:万元).‎ ‎①安装1台发电机的情形.‎ 由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润,‎ ‎ .…… 7分 ‎②安装2台发电机的情形.‎ 依题意,当时,1台发电机运行,此时,因此;‎ ‎4 200‎ ‎10 000‎ ‎0.2‎ ‎0.8‎ 当时,2台发电机运行,此时,因此;由此得的分布列如下:‎ 所以,. .…… 9分 ‎ ‎③安装3台发电机的情形.‎ 依题意,当时,1台发电机运行,此时,因此;当时,2台发电机运行,此时,因此;当时,3台发电机运行,此时,因此,由此得的分布列如下 ‎3 400‎ ‎9 200‎ ‎15 000‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以, .…… 11分 ‎ 12‎ 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.-------------12分 ‎20.解(1)当时,,于是. …………………… 1分 又因为,当时,且.‎ 故当时,,即. ……………………………………3分 所以,函数为上的增函数,于是.‎ 因此,对,;……………………………………………………… 5分 ‎(2) 由题意在上存在零点…………………6分 ①当时,为上的增函数,‎ 注意到,,所以,存在唯一实数,使得成立. ‎ 于是,当时,,为上的减函数;‎ 当时,,为上的增函数;‎ 所以为函数的极小值点;--------------------------------------------8分 ②当时,在上成立,‎ 所以在上单调递增,所以在上没有极值; ----------10分 ‎ ③当时,在上成立,‎ 所以在上单调递减,所以在上没有极值, ‎ 综上所述,使在上存在极值的的取值范围是.------------ 12分 12‎ ‎21.解:(Ⅰ)圆,圆心,由已知得,又,‎ 所以,所以由椭圆的定义知点的轨迹是以,为焦点的椭圆, ------2分 设其标准方程,则,,所以,,所以曲线.-----4分 ‎(Ⅱ)设存在点满足题设,联立直线与椭圆方程消得 ‎, -----6分 设,,,,则由韦达定理得①,②, -----8分 ‎ 由题设知平分直线与直的倾斜角互补,即直线与直线的斜率之和为零,‎ 即,即,‎ 即③, 把①、②代入③并化简得,即④, -----10分 所以当变化时④成立,只要即可, 所以存在定点满足题设. ------12分 ‎22.解:(1)曲线:,即:.‎ 代入得曲线的直角坐标方程为:. ------2分 当直线的参数方程可化为(为参数), ‎ 所以直线的普通方程为 ------3分 当时,直线的参数方程(为参数,)消去参数直线的普通方程为 ------5分 ‎(2)设,当到直线的距离最大时,,故. ------6分 ‎∴的参数方程为(为参数), ------7分 12‎ 将直线的参数方程代入得:.‎ ‎∴, ------8分 ‎∴. ------10分 ‎23.解: ------1分 当时,; ------2分 当时,得,所以 ------3分 当时,恒成立, ------4分 原不等式的解集为 ------5分 ‎ 所以 ------7分 ‎ ‎ ------9分 ‎ ------10分 12‎