高考卷 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ）（陕西卷）（附答案，完全word版） 9页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 文科数学（必修+选修Ⅰ） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分）． 1．sin330 等于（ B ） A． 3 2  B． 1 2  C． 1 2 D． 3 2 2．已知全集 {1 2 3 4 5}U  ，，，， ，集合 {1,3}A  ， {3,4,5}B  ，则集合 ( )U A B ð （ D ） A．{3} B．{4,5} C．{3,4,5} D．{1 2 4 5}，，， 3．某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A．30 B．25 C．20 D．15 4．已知{ }na 是等差数列， 1 2 4a a  ， 7 8 28a a  ，则该数列前 10 项和 10S 等于（ B ） A．64 B．100 C．110 D．120 5．直线 3 0x y m   与圆 2 2 2 2 0x y x    相切，则实数 m 等于（ A ） A． 3 或 3 B． 3 或3 3 C． 3 3 或 3 D． 3 3 或3 3 6．“ 1a  ”是“对任意的正数 x ， 2 1ax x  ≥ ”的（ A ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数 3( ) 2xf x  ， 1( )f x 是 ( )f x 的反函数，若 16mn  （ m n +R， ），则 1 1( ) ( )f m f n  的值为（ D ） A．10 B．4 C．1 D． 2 8 ． 长 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D 的 各 顶 点 都 在 半 径 为 1 的 球 面 上 , 其 中 1: : 2:1: 3AB AD AA  ,则两 ,A B 点的球面距离为( C ) A． 4  B． 3  C． 2  D． 2 3  9．双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点分别是 1 2F F， ，过 1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） A． 6 B． 3 C． 2 D． 3 3 10．如图， l A B A B        ， ， ， ， ， 到 l 的距离分别是 a 和 b ， AB 与  ， 所成的角分别是 和 ，AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n ，若 a b ，则（ D ） A． m n  ， B． m n  ， C． m n  ， D． m n  ， 11．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy    （ x y R， ）， (1) 2f  ， 则 ( 2)f  等于（ A ） A．2 B．3 C．6 D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信 息 ． 设 定 原 信 息 为 0 1 2 ia a a a， {01} ， （ 01 2i  ，， ）， 传 输 信 息 为 0 0 1 2 1h a a a h ， 其 中 0 0 1 1 0 2h a a h h a   ， ， 运算规则为：0 0 0  ，0 1 1  ，1 0 1  ，1 1 0  ， 例如原信息为 111，则传输信息为 01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ） A．11010 B．01100 C．10111 D．00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）． 13． ABC△ 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，若 2 6 120c b B   ， ， ，则 a  2 ． 14． 72(1 )x  的展开式中 2 1 x 的系数为 84 ．(用数字作答) 15．关于平面向量 ， ，a b c ．有下列三个命题： ①若  a b = a c ，则 b c ．②若 (1 ) ( 2 6)k  ， ， ，a b ， ∥a b ，则 3k   ． ③非零向量 a 和 b 满足| | | | | |  a b a b ，则 a 与 a b 的夹角为 60 ． 其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号） 16．某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一棒火 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方案共有 96 种．（用数字作答）． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17．（本小题满分 12 分） A Ba bl   已知函数 ( ) 2sin cos 3 cos4 4 2 x x xf x   ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令 π( ) 3g x f x     ，判断函数 ( )g x 的奇偶性，并说明理由． 17．解：（Ⅰ） ( )f x sin 3 cos2 2 x x  π2sin 2 3 x     ． ( )f x 的最小正周期 2π 4π1 2 T   ． 当 πsin 12 3 x      时， ( )f x 取得最小值 2 ；当 πsin 12 3 x     时， ( )f x 取得最大值 2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 π( ) 2sin 2 3 xf x      ．又 π( ) 3g x f x     ．  1 π π( ) 2sin 2 3 3g x x         π2sin 2 2 x     2cos 2 x ．  ( ) 2cos 2cos ( )2 2 x xg x g x        ． 函数 ( )g x 是偶函数． 18．（本小题满分 12 分） 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的 球不再放回. （Ⅰ）连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率． 解：（Ⅰ）从袋中依次摸出 2 个球共有 2 9A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 2 2 3 4A A 种结果，则所求概率 2 2 3 4 1 12 9 1 3 4 1( )6 9 8 6 A AP PA     或 ． （Ⅱ）第一次摸出红球的概率为 1 2 1 9 A A ，第二次摸出红球的概率为 1 1 7 2 2 9 A A A ，第三次摸出红球的 概率为 2 1 7 2 3 9 A A A ，则摸球次数不超过 3 次的概率为 1 1 2 11 7 2 7 22 2 1 2 3 9 9 9 7 12 A A A AAP A A A     ． 19．（本小题满分 12 分） 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 1 1 1A B C ， 90BAC   ， 1A A  平面 ABC ， 1 3A A  ， 1 12 2AB AC AC   ， D 为 BC 中点． （Ⅰ）证明：平面 1A AD  平面 1 1BCC B ； （Ⅱ）求二面角 1A CC B  的大小． 【解法一】 （Ⅰ）∵ 1A A ABC BC ABC 平面 ， 平面 ， ∴ 1A A BC . 在 RT BAC 中，AB=AC，D 为 BC 中点， ∴ BC⊥AD，又 1 ,A A AD A ∴ 1 1 1,BC A AD BC BCC B 平面 又 平面 ， ∴ 1 1 1A AD BCC B平面 平面 . （Ⅱ）如图，作 AE⊥ 1C C 交 1C C 于 E 点，连接 BE， 由已知得 AB⊥平面 1 1ACC A ， ∴ AE 是 BE 在平面 1 1ACC A 内的射影， 由三垂线定理知 1BE CC , ∴ ∠AEB 是二面角 1A CC B  的平面角. 过 1 1C C F AC AC F作 交 于 ， 则 CF=AC-AF=1， 1 1 3C F AA  ∴ 0 1 60C CF  . A1 A C1 B1 B D C 在 RT 0 3sin60 2 3,2AEC AE AC    中， 在 RT 2 2 3tan ,33 ABBAE AEB AE     中， ∴ 2 3arctan 3AEB  ，即二面角 1A CC B  为 2 3arctan 3 . 【解法二】 （Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C(0,2,0)    1 10,0, 3 , 0,1, 3A C , ∵ D 为 BC 的中点，∴ D 点坐标为（1，1，0）. ∴      11,0,0 , 0,0, 3 , 2,2,0 .AD AA BC      ∵ 1 ( 2) 1 2 0 0 0.AD BC          1 0 ( 2) 0 2 3 0 0.AA BC          ∴ BC⊥AD， 1 1, ,BC AA A A AD A 又 ∴ 1 1 1,BC A AD BC BCC B 平面 又 平面 , ∴ 1 1 1A AD BCC B平面 平面 （Ⅱ）∵ BA⊥平面 1 1ACC A , 如图，可取  2,0,0m AB  为平面 1 1ACC A 的法向量, 设平面 1BC 的法向量为  , , ,n l m n 10, 0, 2 2 0, 3, , ,33 0 BC n C C n l m l m n m m n              则 如图，可取 m=1，则 31,1, ,3n       2 2 2 2 2 2 32 1 0 1 0 213cos , ,732 0 0 1 1 3 m n                   ∴ 二面角 1 21arccos 7A CC B  为 20．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na 的首项 1 2 3a  ， 1 2 1 n n n aa a   ， 1,2,3,n  …． （Ⅰ）证明：数列 1{ 1} na  是等比数列； （Ⅱ）数列{ } n n a 的前 n 项和 nS ． 解：（Ⅰ） 1 2 1 n n n aa a   ， 1 11 1 1 1 2 2 2 n n n n a a a a     ，  1 1 1 11 ( 1)2n na a    ，又 1 2 3a  ， 1 1 11 2a   ， 数列 1{ 1} na  是以为 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 1 1 1 1 11 2 2 2n n na       ，即 1 1 12n na   ， 2n n n n na   ． 设 2 3 1 2 3 2 2 2nT     … 2n n ， ① 则 2 3 1 1 2 2 2 2nT    … 1 1 2 2n n n n    ，② 由①  ②得 2 1 1 1 2 2 2nT    … 1 1 1 1 1(1 )1 12 2 112 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n             ，  1 12 2 2n n n nT    ．又1 2 3   … ( 1) 2 n nn   ． 数列{ } n n a 的前 n 项和 22 ( 1) 4 22 2 2 2 2n n n n n n n n nS          ． 21．（本小题满分 12 分） 已知抛物线C ： 22y x ，直线 2y kx  交C 于 A B， 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交C 于点 N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数 k 使 0NA NB    ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． 解 法 一 ：（ Ⅰ ） 如 图 ， 设 2 1 1( 2 )A x x， ， 2 2 2( 2 )B x x， ， 把 2y kx  代 入 22y x 得 22 2 0x kx   ， 由韦达定理得 1 2 2 kx x  ， 1 2 1x x   ，  1 2 2 4N M x x kx x    ， N 点的坐标为 2 4 8 k k     ， ． 设抛物线在点 N 处的切线l 的方程为 2 8 4 k ky m x      ， 将 22y x 代入上式得 2 22 04 8 mk kx mx    ， 直线l 与抛物线C 相切， 2 2 2 2 28 2 ( ) 04 8 mk km m mk k m k             ， m k  ． 即l AB∥ ． （Ⅱ）假设存在实数 k ，使 0NA NB    ，则 NA NB ，又 M 是 AB 的中点， 1| | | |2MN AB  ． 由（Ⅰ）知 1 2 1 2 1 2 1 1 1( ) ( 2 2) [ ( ) 4]2 2 2My y y kx kx k x x         2 21 4 22 2 4 k k       ． MN  x 轴， 2 2 2 16| | | | 24 8 8M N k k kMN y y        ． 又 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x        2 2 2 211 4 ( 1) 1 162 2 kk k k            ． 2 2 216 1 1 168 4 k k k    ，解得 2k   ． 即存在 2k   ，使 0NA NB    ． 解法二：（Ⅰ）如图，设 2 2 1 1 2 2( 2 ) ( 2 )A x x B x x， ， ， ，把 2y kx  代入 22y x 得 22 2 0x kx   ．由韦达定理得 1 2 1 2 12 kx x x x   ， ． x A y 1 1 2 M N B O  1 2 2 4N M x x kx x    ， N 点的坐标为 2 4 8 k k     ， ． 22y x ， 4y x  ， 抛物线在点 N 处的切线l 的斜率为 4 4 k k  ， l AB ∥ ． （Ⅱ）假设存在实数 k ，使 0NA NB    ． 由（Ⅰ）知 2 2 2 2 1 1 2 22 24 8 4 8 k k k kNA x x NB x x                ， ， ， ，则 2 2 2 2 1 2 1 22 24 4 8 8 k k k kNA NB x x x x                      2 2 2 2 1 2 1 244 4 16 16 k k k kx x x x                   1 2 1 21 44 4 4 4 k k k kx x x x                           2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 4 ( )4 16 4 k k kx x x x x x k x x                  2 2 1 1 4 ( 1)4 2 16 2 4 k k k k kk                     2 231 316 4 k k           0 ， 2 1 016 k   ， 233 04 k   ，解得 2k   ． 即存在 2k   ，使 0NA NB    ． 22．本小题满分 14 分） 设函数 3 2 2 2( ) 1, ( ) 2 1,f x x ax a x g x ax x       其中实数 0a  ． （Ⅰ）若 0a  ，求函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）当函数 ( )y f x 与 ( )y g x 的图象只有一个公共点且 ( )g x 存在最小值时，记 ( )g x 的最小值为 ( )h a ，求 ( )h a 的值域； （Ⅲ）若 ( )f x 与 ( )g x 在区间 ( , 2)a a  内均为增函数，求 a 的取值范围． 解：（Ⅰ） 2 2( ) 3 2 3( )( )3 af x x ax a x x a       ，又 0a  ，  当 3 ax a x  或 时， ( ) 0f x  ；当 3 aa x   时， ( ) 0f x  ，  ( )f x 在 ( , )a  和 ( , )3 a  内是增函数，在 ( , )3 aa 内是减函数． （Ⅱ）由题意知 3 2 2 21 2 1x ax a x ax x      ， 即 2 2[ ( 2)] 0x x a   恰有一根（含重根）． 2 2a  ≤ 0 ，即 2 ≤ a ≤ 2 ， 又 0a  ， [ 2,0) (0, 2]a   ． 当 0a  时， ( )g x 才存在最小值， (0, 2]a ． 21 1( ) ( )g x a x aa a     ，  1( ) , (0, 2]h a a aa    ．  ( )h a 的值域为 2( ,1 ]2   ． （Ⅲ）当 0a  时， ( )f x 在 ( , )a  和 ( , )3 a  内是增函数， ( )g x 在 1( , )a  内是增函数． 由题意得 0 3 1 a aa a a         ，解得 a ≥1； 当 0a  时， ( )f x 在 ( , )3 a 和 ( , )a  内是增函数， ( )g x 在 1( , )a  内是增函数． 由题意得 0 2 3 12 a aa a a           ，解得 a ≤ 3 ； 综上可知，实数 a 的取值范围为 ( , 3] [1, )   ．