2021届高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第7讲正弦定理和余弦定理课件 43页

第 7 讲 　 正弦定理和余弦定理 课标要求 考情风向标 通过对任意三角 形边长和角度关 系的探索，掌握 正弦定理、余弦 定理，并能解决 一些简单的三角 形度量问题 三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高 考的热点，复习时应注意： 1. 强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论 和变形公式的应用 . 2. 本节 复习时，应充分利用向量方法推导正 弦定理和余弦定理 . 3. 重视三角形中的边角互化，以及解三角形 与平面向量和三角函数的综合应用，能够解 答一些综合问题 名称 正弦定理 余弦定理 定理 中 R 是三角形外接圆 的半径 a 2 ＝ ________________ ； b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C 1. 正弦定理与余弦定理 b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ( 续表 ) 名称 正弦定理 余弦定理 应用 ① 已知两角及任一边，求其他 边或角； ② 已知两边及一边对角，求其 他边或角 ① 已知两边及夹角，求 其他边或角； ② 已知三边，求三个角 ( 续表 ) ( r 是三角形内切圆的半径 ) ，并可由此计算 R ， r . 角的 分类 A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 3. 在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的情况如下： 1. (2017 年新课标 Ⅱ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2 b cos B ＝ a cos C ＋ c cos A ，则 B ＝_______. 解析： 方法一，由 2 b cos B ＝ a cos C ＋ c cos A 得 2sin B cos B ＝ sin A cos C ＋ cos A sin C ＝ sin( A ＋ C ) ＝ sin B ， 又 sin B ≠0 ， 答案： π 3 2 C 解析： ∵ 3sin A ＝ 2sin B ， ∴ 由正弦定理可得 3 BC ＝ 2 AC ， ∴ 由 AC ＝ 3 ，可得 BC ＝ 2 ， 考点 1 正弦定理与余弦定理 考向 1 正弦定理 答案： B (2) (2019 年新课标 Ⅱ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .已知 b sin A ＋ a cos B ＝0，则 B ＝__________. 解析： b sin A ＋ a cos B ＝0 ， 即 b sin A ＝－ a cos B ， 即 sin B sin A ＝－sin A cos B ，sin B ＝－cos B ， 答案： 3π 4 答案： 75° (4)(2015 年新课标 Ⅰ ) 在平面四边形 A BCD 中， ∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ＝ 75° ， BC ＝ 2 ，则 AB 的取值范围是 ____________. 图 D19 【 规律方法 】 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑 用哪个定理更适合，或是两个定理都用，要抓住能够利用某个 定理的信息 . 一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式， 则考 虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理 都有可能用到 . 考向 2 余弦定理 答案： D 答案： B A.6 B.5 C.4 D.3 解析： a sin A － b sin B ＝ 4 c sin C ，得 a 2 － b 2 ＝ 4 c 2 ， a 2 ＝ b 2 ＋ 答案： A 【 规律方法 】 在解三角形时，余弦定理可解决两类问题： ① 已知两边及夹角或两边及一边对角，求其他边或角； ② 已知 三边，求三个角 . 考向 3 正弦定理与余弦定理的综合应用 例 3 ： (20 18 年新课标 Ⅰ ) 在平面四边形 AB CD 中， ∠ ADC ＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 2 ， BD ＝ 5. (1) 求 cos∠ ADB ； 【 规律方法 】 有关三角函数知识与解三角形的综合题是高 考题中的一种重要题型，解这类题，首先要保证边和角的统一， 用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一 . 一般步骤为： ① 先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有 角的关系； ② 再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公 式将三角函数化简及求值 . 【 跟踪训练 】 答案： A 考点 2 三角形的面积问题 例 4 ： (20 14 年新课标 Ⅱ ) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补， AB ＝ 1 ， BC ＝ 3 ， CD ＝ DA ＝ 2. (1) 求角 C 和 BD ； (2) 求四边形 ABCD 的面积 . (2) 四边形 ABCD 的面积 【跟踪训练】 2.(2018 年新课标Ⅰ ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 b sin C ＋ c sin B ＝ 4 a sin B sin C ， b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ 8 ， 则 △ ABC 的面积为 _________. 思想与方法 ⊙ 转化与化归思想判断三角形的形状 例题： (1) 在 △ ABC 中，如果 sin A ＝ 2sin C cos B ，那么这个 三角形是 ( ) A. 锐角三角形 C. 等腰三角形 B. 直角三角形 D. 等边三角形 解析： ∵ sin A ＝ sin [π － ( B ＋ C )] ＝ sin( B ＋ C ) ＝ sin B cos C ＋ cos B sin C ，而 sin A ＝ 2sin C cos B ， ∴2sin C cos B ＝ sin B cos C ＋ cos B sin C ，即 sin C cos B ＝ sin B cos C . ∴sin B cos C － cos B sin C ＝ 0 ＝ sin( B － C ). 又 B ， C 是△ ABC 的内角，∴ B ＝ C . 故△ ABC 是等腰三角形 . 答案： C (2) 已知 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ( a 2 ＋ b 2 )sin( A － B ) ＝ ( a 2 － b 2 )sin( A ＋ B ) ，则△ ABC 的形状是 ( 　　 ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析： 方法一，已知等式可化为 ∴△ ABC 为等腰三角形或直角三角形 . a 2 [sin( A － B ) － sin( A ＋ B )] ＝ b 2 [ － sin( A ＋ B ) － sin( A － B )] ， ∴ 2 a 2 cos A sin B ＝ 2 b 2 cos B sin A . 由正弦定理知上式可化为 sin 2 A cos A sin B ＝ sin 2 B cos B sin A ， ∴ sin 2 A ＝ sin 2 B ，由 0<2 A <2π ， 0<2 B <2π. 得 2 A ＝ 2 B 或 2 A ＝ π － 2 B ， 答案： D 【 规律方法 】 三角形形状的判定方法 (1) 通过正弦定理和余弦定理，化边为角 ( 如 a ＝ 2 R sin A ， a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝ 2 ab cos C 等 ) ，利用三角变换得出三角形内角之间 的关系进行判断 . 此时注意一些常见的三角等式所体现的内角 关系，如 sin A ＝ sin B ⇔ A ＝ B ； sin( A － B ) ＝ 0⇔ A ＝ B ； sin 2 A ＝ 行判断 . (3) 注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不 要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能 . 【跟踪训练】 3. 设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 b cos C ＋ c cos B ＝ a sin A ，则△ ABC 的形状为 ( 　　 ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 方法二，由 b cos C ＋ c cos B ＝ a sin A ，得 sin B cos C ＋ sin C cos B ＝ sin A ·sin A . ∴ sin( B ＋ C ) ＝ sin A ＝ sin A ·sin A . ∴△ ABC 为直角三角形 . 故选 A. 答案： A 4. (2018 年河南鹤壁调研 ) 在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 对边分 别为 a ， b ， c ，若 c ＝ b (cos A ＋ cos B ) ，则△ ABC 为 ( 　　 ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三 角形 解析： 由题意知 sin C ＝ sin B (cos A ＋ cos B ) ， ∴sin A cos B ＋ cos A sin B ＝ sin B cos A ＋ sin B cos B ， ∴cos B (sin A － sin B ) ＝ 0 ， ∴cos B ＝ 0 或 sin A ＝ sin B ，又 0< A ， B <π ， ∴△ ABC 为等腰三角形或直角三角形 . 故选 D. 答案： D 1. 解三角形时，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或 余弦定理通过边角互化达到统一 . 2. 在三角形中，若“角＋角＝定角”，不定的角将受到双 重限制 . 3. 三角形中任意一边的长，受到三重限制，当已知三边大 小的关系时，如： a ＞ b ＞ c ，则只要 b ＋ c ＞ a 即可 . 4. 已知三角形的两边和其中一边的对角，在利用正弦定理 解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论 ( 此类题型 也可利用余弦定理求解 ).