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  • 2021-06-15 发布

2021届高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第7讲正弦定理和余弦定理课件

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第 7 讲   正弦定理和余弦定理 课标要求 考情风向标 通过对任意三角 形边长和角度关 系的探索,掌握 正弦定理、余弦 定理,并能解决 一些简单的三角 形度量问题 三角函数与解三角形交汇命题,是近几年高 考的热点,复习时应注意: 1. 强化正、余弦定理的记忆,突出一些推论 和变形公式的应用 . 2. 本节 复习时,应充分利用向量方法推导正 弦定理和余弦定理 . 3. 重视三角形中的边角互化,以及解三角形 与平面向量和三角函数的综合应用,能够解 答一些综合问题 名称 正弦定理 余弦定理 定理 中 R 是三角形外接圆 的半径 a 2 = ________________ ; b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac cos B ; c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C 1. 正弦定理与余弦定理 b 2 + c 2 - 2 bc cos A ( 续表 ) 名称 正弦定理 余弦定理 应用 ① 已知两角及任一边,求其他 边或角; ② 已知两边及一边对角,求其 他边或角 ① 已知两边及夹角,求 其他边或角; ② 已知三边,求三个角 ( 续表 ) ( r 是三角形内切圆的半径 ) ,并可由此计算 R , r . 角的 分类 A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 a = b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 3. 在△ ABC 中,已知 a , b 和 A 时,解的情况如下: 1. (2017 年新课标 Ⅱ) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 2 b cos B = a cos C + c cos A ,则 B =_______. 解析: 方法一,由 2 b cos B = a cos C + c cos A 得 2sin B cos B = sin A cos C + cos A sin C = sin( A + C ) = sin B , 又 sin B ≠0 , 答案: π 3 2 C 解析: ∵ 3sin A = 2sin B , ∴ 由正弦定理可得 3 BC = 2 AC , ∴ 由 AC = 3 ,可得 BC = 2 , 考点 1 正弦定理与余弦定理 考向 1 正弦定理 答案: B (2) (2019 年新课标 Ⅱ) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 b sin A + a cos B =0,则 B =__________. 解析: b sin A + a cos B =0 , 即 b sin A =- a cos B , 即 sin B sin A =-sin A cos B ,sin B =-cos B , 答案: 3π 4 答案: 75° (4)(2015 年新课标 Ⅰ ) 在平面四边形 A BCD 中, ∠ A = ∠ B = ∠ C = 75° , BC = 2 ,则 AB 的取值范围是 ____________. 图 D19 【 规律方法 】 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑 用哪个定理更适合,或是两个定理都用,要抓住能够利用某个 定理的信息 . 一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式, 要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式, 则考 虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理 都有可能用到 . 考向 2 余弦定理 答案: D 答案: B A.6 B.5 C.4 D.3 解析: a sin A - b sin B = 4 c sin C ,得 a 2 - b 2 = 4 c 2 , a 2 = b 2 + 答案: A 【 规律方法 】 在解三角形时,余弦定理可解决两类问题: ① 已知两边及夹角或两边及一边对角,求其他边或角; ② 已知 三边,求三个角 . 考向 3 正弦定理与余弦定理的综合应用 例 3 : (20 18 年新课标 Ⅰ ) 在平面四边形 AB CD 中, ∠ ADC = 90° , ∠ A = 45° , AB = 2 , BD = 5. (1) 求 cos∠ ADB ; 【 规律方法 】 有关三角函数知识与解三角形的综合题是高 考题中的一种重要题型,解这类题,首先要保证边和角的统一, 用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一 . 一般步骤为: ① 先利用正弦定理或余弦定理,将边的关系转化为只含有 角的关系; ② 再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公 式将三角函数化简及求值 . 【 跟踪训练 】 答案: A 考点 2 三角形的面积问题 例 4 : (20 14 年新课标 Ⅱ ) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB = 1 , BC = 3 , CD = DA = 2. (1) 求角 C 和 BD ; (2) 求四边形 ABCD 的面积 . (2) 四边形 ABCD 的面积 【跟踪训练】 2.(2018 年新课标Ⅰ ) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b sin C + c sin B = 4 a sin B sin C , b 2 + c 2 - a 2 = 8 , 则 △ ABC 的面积为 _________. 思想与方法 ⊙ 转化与化归思想判断三角形的形状 例题: (1) 在 △ ABC 中,如果 sin A = 2sin C cos B ,那么这个 三角形是 ( ) A. 锐角三角形 C. 等腰三角形 B. 直角三角形 D. 等边三角形 解析: ∵ sin A = sin [π - ( B + C )] = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ,而 sin A = 2sin C cos B , ∴2sin C cos B = sin B cos C + cos B sin C ,即 sin C cos B = sin B cos C . ∴sin B cos C - cos B sin C = 0 = sin( B - C ). 又 B , C 是△ ABC 的内角,∴ B = C . 故△ ABC 是等腰三角形 . 答案: C (2) 已知 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 ( a 2 + b 2 )sin( A - B ) = ( a 2 - b 2 )sin( A + B ) ,则△ ABC 的形状是 (    ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析: 方法一,已知等式可化为 ∴△ ABC 为等腰三角形或直角三角形 . a 2 [sin( A - B ) - sin( A + B )] = b 2 [ - sin( A + B ) - sin( A - B )] , ∴ 2 a 2 cos A sin B = 2 b 2 cos B sin A . 由正弦定理知上式可化为 sin 2 A cos A sin B = sin 2 B cos B sin A , ∴ sin 2 A = sin 2 B ,由 0<2 A <2π , 0<2 B <2π. 得 2 A = 2 B 或 2 A = π - 2 B , 答案: D 【 规律方法 】 三角形形状的判定方法 (1) 通过正弦定理和余弦定理,化边为角 ( 如 a = 2 R sin A , a 2 + b 2 - c 2 = 2 ab cos C 等 ) ,利用三角变换得出三角形内角之间 的关系进行判断 . 此时注意一些常见的三角等式所体现的内角 关系,如 sin A = sin B ⇔ A = B ; sin( A - B ) = 0⇔ A = B ; sin 2 A = 行判断 . (3) 注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因式不 要约掉,否则会有漏掉一种形状的可能 . 【跟踪训练】 3. 设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 b cos C + c cos B = a sin A ,则△ ABC 的形状为 (    ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 方法二,由 b cos C + c cos B = a sin A ,得 sin B cos C + sin C cos B = sin A ·sin A . ∴ sin( B + C ) = sin A = sin A ·sin A . ∴△ ABC 为直角三角形 . 故选 A. 答案: A 4. (2018 年河南鹤壁调研 ) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 对边分 别为 a , b , c ,若 c = b (cos A + cos B ) ,则△ ABC 为 (    ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三 角形 解析: 由题意知 sin C = sin B (cos A + cos B ) , ∴sin A cos B + cos A sin B = sin B cos A + sin B cos B , ∴cos B (sin A - sin B ) = 0 , ∴cos B = 0 或 sin A = sin B ,又 0< A , B <π , ∴△ ABC 为等腰三角形或直角三角形 . 故选 D. 答案: D 1. 解三角形时,首先要保证边和角的统一,用正弦定理或 余弦定理通过边角互化达到统一 . 2. 在三角形中,若“角+角=定角”,不定的角将受到双 重限制 . 3. 三角形中任意一边的长,受到三重限制,当已知三边大 小的关系时,如: a > b > c ,则只要 b + c > a 即可 . 4. 已知三角形的两边和其中一边的对角,在利用正弦定理 解三角形有时出现一解、两解,所以要进行分类讨论 ( 此类题型 也可利用余弦定理求解 ).