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第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页
中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 11 月测试
理科数学试卷(一卷)
本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 1,1,3,5,7,9U =− , {1,5}A = , 7,5,1−=B ,则 ()UC A B =
A. 3 ,9 B. 1,5 ,7 C. 1,1,3 ,9− D. 1 ,1 ,3 ,7,9−
2.已知空间三条直线 nml ,, ,若 l 与 m 垂直, 与 n 垂直,则
A. 与 异面 B. 与 相交
C. 与 平行 D. 与 平行、相交、异面均有可能
3.复数 z 满足 31 +=− zz ,则 z
A.恒等于 1 B.最大值为 1,无最小值
C.最小值为 1,无最大值 D.无最大值,也无最小值
4.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的表面积(单位: 2cm )是
A.16
B.32
C.44
D.64
5.已知 0+ yx ,则“ 2||2|| 22 yx yx ++ ”是“ 0x ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数 ln cos( 2 )2y x x= − 的图像可能是
A B C D
7.已知两个不相等的非零向量 b,a ,满足 1=a ,且 a 与 ab − 的夹角为 60 ,则 b 的取值范围是
A.
2
30, B.
1,2
3 C.
+,2
3 D. ( )+,1
8.已知随机变量 的分布列为:
x y
P y x
则下列说法正确的是
A.存在 x,y ( )1,0 ,
1() 2E B.对任意 x,y , 1() 4E
C.对任意 x,y , ()()DE D.存在 x,y , 1() 4D
9.设函数 ( ) dcxbxaxxf +++= 23 ( ), , , 0a b c d aR 且 ,若 ( ) ( ) ( ) 14433220 == fff ,则
( ) ( )51 ff + 的取值范围是
A. ( )10, B. ( )21, C. ( )3,2 D. ( )4,3
10.已知 21 , FF 分别为双曲线 ( )0012
2
2
2
=− ,bab
y
a
x 的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点 P,使得点
2F 到直线 1PF 的距离为 a ,则该双曲线的离心率的取值范围是
A.
2
51, B.
+,
2
5 C. ( )51, D. ( )+,5
11.如图,在菱形 ABCD 中, 60ABC=,E,F 分别是边 AB,CD 的中点,现将 ΔABC
沿着对角线 AC 翻折,则直线 EF 与平面 ACD 所成角的正切值最大值为
A. 2 B.
3
21
C.
3
3
D.
2
2
(第 11 题图)
第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页
12.已知数列 na 满足 11 =a , 11ln1 ++=+
n
nn aaa ,记 nn aaaS +++= 21 , t 表示不超过 t 的
最大整数,则 2019S 的值为
A.2019 B.2018 C.4038 D.4037
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.在 2,2− 上随机地取一个实数 k ,则事件“直线 kxy = 与圆 ( ) 95 22 =+− yx 相交”发生的概率
为 .
14.如图,在 ABC 中, ACAB , 32=BC , = 60A , 的面积
等于 32 ,则角平分线 AD 的长等于 .
15.已知数列 na 满足 naa nn 2151 −=+ + ,其前 n 项和为 nS ,若 8S 恒
成立,则 1a 的取值范围为 .
16.已知 P 为椭圆 C:
22
+143
xy= 上一个动点, 1F 、 2F 是椭圆 C 的左、右焦点,O 为坐标原点,O 到椭圆 C 在 P
点处的切线距离为 d,若 12
24
7PFPF=,则 d = .
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作
答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60 分.
17.(12 分)已知函数 xxxf cos3sin)( −=
(1)求函数 ()fx的单调递增区间;
(2)在 ABC 中,角 ,,A B C 所对的边分别是 a , b , c ,若 ( ) 3fB= , 3b = ,求 ABC
面积的最大值.
18.(12 分)如图,已知四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD//BC,BC=2AD,
AD⊥CD,PD⊥平面 ABCD,E 为 PB 的中点.
(1)求证:AE//平面 PDC;
(2)若 BC=CD=PD,求直线 AC 与平面 PBC 所成角的余弦值.
19.(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球,现从甲,乙
两个盒内各任取 2 个球.
(1)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率;
(2)设 为取出的 4 个球中红球的个数,求 的分布列和数学期望.
20.(12 分)如图,斜率为 k 的直线 l 与抛物线 2 4yx= 交于 A 、 B 两点,直线 PM 垂
直平分弦 AB ,且分别交 AB 、 x 轴于 M 、 P ,已知 ( )4 ,0P .
(1)求 M 点的横坐标;
(2)求 PAB△ 面积的最大值.
21.(12 分)已知函数
x
axxxf −= ln)( , Ra .
(1)若函数 )( xf 有且只有两个零点,求实数 a 的取值范围;
(2)设函数 的两个零点为 21 , xx ,且 21 xx ,求证 exx 221 + .
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清
题号.
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 x O y 中,曲线 C 的参数方程为
4cos
2sin
x
y
=
=
( 为参数),在以坐标原点 O 为极点,x 轴的
正半轴为极轴的极坐标系中,点 P 的极坐标为 4, 3
,直线 l 的极坐标方程为 2sin9 6−=
.
(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程;
(2)若 Q 是曲线 C 上的动点,M 为线段 PQ 的中点,直线 上有两点 A,B,始终满足 AB 4= ,求 MAB△ 面积
的最大值与最小值.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知 cba ,, 为正实数,且满足 3=++ cba .证明:
(1) 3++ acbcab ; (2) 3
222
++ a
c
c
b
b
a .
(第 14 题图)
l
第1页 共 7 页
中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 11 月测试
理科数学(一卷)答案
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C B A D D C A B D D
二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 3
8
14. 43
3
15. ( ,7]−
16. 14
2
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60 分.
17.解: ( )sin3 cos2sin() 3fxxxx =−=− ………………………………2 分
(1)令 222 3 2k x k − − + ( kZ )得
52266kxk −+ ( kZ )
故函数 ()fx的单调递增区间为 52 ,266kk−+
( kZ ) …………………5 分
(2)由 ( ) 3fB= ,得 3sin( )32B −= ,
323
+=− kB
或
,3
223
+=− kB
∴ 22 2 ,3B k B k k Z = + = + 或 ,
第2页 共 7 页
3
2=BB是三角形的内角,
. ………………………………7 分
∵ Baccab cos2222 −+=
∴ 922 =++ acca
∴ 92 + acac ,即 3ac ………………………………9 分
∴ 1 3 3sin24ABCS ac B =. ………………………………11 分
当且仅当 3ac== 时, ABC 面积的最大值是 33
4 . ……………………………12 分
18.(1)取 PC 的中点 F,连接 DF,EF,
∵ E 是 PB 的中点,
∴ EF//BC,且 BC=2EF,
又 AD//BC,BC=2AD
∴ AD//EF 且 AD=EF, ………………………………2 分
∴ 四边形 ADFE 是平行四边形,
∴ AE//DF,又 DF⊂平面 PDC, AE PCD 平面 , ……………………………… 4 分
∴ AE//平面 PDC. ………………………………5 分
(2)若 PD=DC,则△PDC 是等腰三角形,
∴ DF⊥PC,
又 AE//DF,∴ AE⊥PC
∵ PD⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD
∴ PD⊥BC,
又 BC⊥CD,CDPDD =
∴ BC⊥平面 PDC, ………………………………7 分
∵ DF⊂平面 PDC
∴ BC⊥DF
∴ BC⊥AE
又 AE⊥PC ,PCBCC =
∴ AE⊥平面 PBC, ………………………………9 分
连接 EC,AC,则∠ACE 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角. ………………………10 分
设 PD=CD=BC=2,
E
B
A
P
C D
F
第3页 共 7 页
在 Rt△PCB 中,求得 PC= 22 ,PB= 23 ,EC= 3 ,
在 Rt△ADC 中,求得 AC= 5 ,
∴ 在 Rt△AEC 中, 315
5cs
5
o ECECA AC= == . ………………………………12 分
19.(1)设事件 iA 为“甲盒中取出i 个红球”,事件 jB 为“乙盒中取出 j 个红球”
则 ( ) ( )22
2333
22
56
,
iijj
ij
CCCCPAPB CC
−−
==
设事件 C 为“4 个球中恰有 1 个红球”
( ) ( ) ( )
02111102
23332333
0 11 0 2222
5656
39633C 10 1510 1510
C CC CC CC CPPA BPA B CCCC=+=+=+=
…
………………………………3 分
(2) 可取的值为 0 ,1,2 ,3 4,
( ) ( )
0 2 0 2
2 3 3 3
00 22
56
C C C C 30 B =C C 50P P A = = = ……5 分
( ) ( ) 31C10PP ===
( ) ( ) ( ) ( )
0 22 01 11 12 00 2
2 33 32 33 32 33 3
0 21 12 0 222222
565656
112++ 25
C C C CC C C C C C C CPP A BP A B P A B CCCCCC = =+=+=
………………………………7 分
( ) ( ) ( )
1 1 2 0 2 0 1 1
2 3 3 3 2 3 3 3
1 2 2 1 2 2 2 2
5 6 5 6
93 + + 50
C C C C C C C CP P A B P A B C C C C = = = = …………………9 分
( ) ( )
2020
2333
22 22
56
C CC C 14B= CC50PP A=== ………………………………10 分
的分布列为:
0 1 2 3 4
P
3
50
3
10
11
25
9
50 50
1
331191 90123+45010255050 5E= + + + = ………………………………12分
第4页 共 7 页
20.(1)设 112200(,),(,),(,)AxyBxyMxy ,则 1212
00,22
xxyyxy++==,……1 分
∴ 12
12120
42yyk xxyyy
−=== −+ , ………………………………3 分
而 0
0 4MP
yk x= −
, ………………………………4 分
由 1MPkk = − 得 0 42x − = − ,即 0 2x = . ………………………………5
分
(2)设直线 0:()2ABxmyy=−+ 即 0:2ABxmymy=−+ ,
与抛物线 2 4yx= 联立得 2
04 4 8 0y my my− + − = ,
22
0164(48)0,2mmym=−−△
则 12120 4,48yymyymy+==− , ………………………………7 分
所以 222
120||1||1161632ABmyymmmy=+−=+−+ ,
而 P 到直线 AB 的距离为 0
2
|+2 |
1
myd
m
=
+
,
所以 2
00
1 ||2 |2 |22PABSdABmymmy ==+−+ ………………………………9 分
又由于 01
2
ym k== ,
所以 22222(22)24(1)2PABSmmmm =+−=+− ( 2 2m ), …………………10 分
令 22 mt−=,则 0t 且 222mt=−,
所以 234(3)124PABStttt =−=− ,
令 3( ) 12 4 ( 0)g t t t t= − ,
则 2( ) 12 1212(1)(1)g tttt =−=−+ ,
当 01t , ()0gt ,当 1t 时, ()0gt ,
故 3( )124(1)8g tttg=−= ,即 PAB 面积的最大值为 8. ………………………12 分
第5页 共 7 页
21.(1)解: 2
1ln')0, xfxxe x
−===(
当 ' ) 0 0 , ( ) 0 )f x x e f x e ( 时, 在( , 上单调递增 ,
当 ')0,(),)fxxefxe+( 时, 在( 上单调递减.
1)()fxfea e==− 极大值( ……3 分,
1)0fxa e( 有且只有两个零点, , 00()0xxfx→又 且 时 ,
0()0xafx→ +=时,若 时, 不符合题意, 0lim()0
x
afxa
→+
= −若 时, 不符合 ,
0lim()0
x
afxa
→+
= −若 时, 满足 ,
综上,若使 ()fx有且只有两个零点, 10 a e …………………… 4 分
(2)证法一:
lnln)0ln,ln xxf xaxaxxa ex=−===( , , 12ln,ln xxxxea −=是 的两根
tt ettgettgxtxt −− −==== )1()(',)(,ln,ln 2211设 ,
上单调递减上单调递增,在,在( ),1[]1-)( + tg , ………………………………6 分
,10,),()( 212121 tttttgtg = 则必有设
),(构造函数 10),1()1()(G −−+= ttgtgt ,
,01-()1(')1(')(G' 2
1 =−++= + )t
t ee
ttgtgt
,0)0()(,)1,0()(G = GtGtt 上单调递增在 ………………………………9 分
)()()2( 211 tgtgtg =− ,
上单调递减,在又 ),1()(),,1(,2 21 ++− ttgtt
2,-2 2121 + tttt ,
12ln ln 2xx + ,即 2
12x x e; 12
122
xx xxe+ ,即 122xxe+.……12 分
证法二:
不妨设 121 x e x ,
第6页 共 7 页
)()( 21 xfxf = , 12
12
l n l nxx
xx= ,即 22
11
ln
ln
xx
xx= , ………………………………6 分
设 21( 1)x t x t= , 11
11
lnlnln
lnln
txtxt xx
+== , 1
lnln 1
tx t=−
,
1
ln
1
lnlnlnln)ln(ln 112 −=−+=+== t
tt
t
ttxttxx
,
tt
txx ln1
1lnln 21 −
+=+
,
12
122
xx xx+ ,要证 122x x e+,只需证 2
12x x e,
即证 12
1ln ln ln 21
tx x tt
++ = − ,即证 2( 1)ln 01
tt t
−−+
. …………………………9 分
设 2(1)()ln,(1) 1
tgttt t
−=− +
,
2
22
14(1)'()0 (1)(1)
tgt tttt
−=−= ++
, ()gt 在 (1, )+ 单调递增.
0)1( =g , 0)1()( = gtg ,
12lnln2xx+ , 12
122
xx xxe+ ,即 122xxe+.………………………12 分
证法三:
不妨设 121 xex ,
12()()fxfx = , 12
12
lnlnxx
xx= , ………………………………6 分
要证 122xxe+,只需证 12211
2112lnlnln
xxxxx exxx
+−= − , ……………………7 分
变形,得: 21
21
21
2( )ln ln xxxxxx
−−+
,即
2
21
21
1
2( 1)
ln
1
x
xx
xx
x
−
+
.
设 2
1
2( 1)ln ( 1)1
x tt t txt
−= + ,设 2( 1)( ) ln ,( 1)1
tg t t tt
−= − +
,……………………10 分
2
22
14(1)'( )0 (1)(1)
tgt ttt t
−= −=++
, ( ) 1gt + 在( , )上单调递增,
( ) (1) 0g t g = , 1 2 1
12 ln
x x x ex
+ = 成立 , 122x x e + .………………………12 分
第7页 共 7 页
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的
第一题计分.作答时请写清题号.
22.【选修 4−4:坐标系与参数方程】(10 分)
(1)因为直线 l 的极坐标方程为 2sin9 6−=
,
即 312 sin cos 922 − =
.由 cos , sinxy ==,
可得直线 l 的直角坐标方程为 3 9 0xy− + = . ………………………………2 分
将曲线 C 的参数方程 4c os
2sin
x
y
=
=
,消去参数 a,
得曲线 C 的普通方程为
22
416 1xy+=. ………………………………4 分
(2)设 ( )Q4cos,2sin , )0, 2 .
点 P 的极坐标 4, 3
,化为直角坐标为 ( )2,23 .
则 ( )M2cos+1,sin3+ . ………………………………6 分
所以点 M 到直线 l 的距离
( ) ( )2cos +1 3 sin + 3 +9 7 sin 7
2 2d
− −+
== ,(其
中, 23tan 3 = ),所以 7777d,22
−+
………………………………8 分
AB 4= , 1 277 772ΔMABSAB dd, = = −+
MAB△ 面积的最大值为 77+ ,最小值为 77− …………………………10 分
23.【选修 4−5:不等式选讲】(10 分)
23.(1)因为 ,,abc为正实数,且满足 3abc+ + = .所以,
( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++
第8页 共 7 页
accbc,acab,bba 222 222222 +++ , acbcabcba ++++ 222
……2 分
( )2 333abcabacbc++++ , 3abc+ + = , 3ab bc ac+ + ,当且仅当
abc==时,等号成立 ………………………………5 分
(2)
222
2,2,2abc bacbacbca+++ ,
( )
2 2 2
2abca b c a b cb c a + + + + + + + ………………………………8 分
222abcabcbca++++ , 3abc+ + = ,
222
3abc
bca++ ,当且仅当 abc==
时,等号成立 ………………………………10 分
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