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  • 2021-06-15 发布

中学生标准学术能力诊断性测试(11月)试卷 理科数学(PDF版)

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第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 11 月测试 理科数学试卷(一卷) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  1,1,3,5,7,9U =− , {1,5}A = ,  7,5,1−=B ,则 ()UC A B = A.  3 ,9 B.  1,5 ,7 C.  1,1,3 ,9− D.  1 ,1 ,3 ,7,9− 2.已知空间三条直线 nml ,, ,若 l 与 m 垂直, 与 n 垂直,则 A. 与 异面 B. 与 相交 C. 与 平行 D. 与 平行、相交、异面均有可能 3.复数 z 满足 31 +=− zz ,则 z A.恒等于 1 B.最大值为 1,无最小值 C.最小值为 1,无最大值 D.无最大值,也无最小值 4.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的表面积(单位: 2cm )是 A.16 B.32 C.44 D.64 5.已知 0+ yx ,则“ 2||2|| 22 yx yx ++ ”是“ 0x ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.函数 ln cos( 2 )2y x x=  − 的图像可能是 A B C D 7.已知两个不相等的非零向量 b,a ,满足 1=a ,且 a 与 ab − 的夹角为 60 ,则 b 的取值范围是 A.       2 30, B.       1,2 3 C.       +,2 3 D. ( )+,1 8.已知随机变量  的分布列为:  x y P y x 则下列说法正确的是 A.存在 x,y ( )1,0 , 1() 2E   B.对任意 x,y , 1() 4E   C.对任意 x,y , ()()DE D.存在 x,y , 1() 4D   9.设函数 ( ) dcxbxaxxf +++= 23 ( ), , , 0a b c d aR 且 ,若 ( ) ( ) ( ) 14433220 == fff ,则 ( ) ( )51 ff + 的取值范围是 A. ( )10, B. ( )21, C. ( )3,2 D. ( )4,3 10.已知 21 , FF 分别为双曲线 ( )0012 2 2 2 =− ,bab y a x 的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点 P,使得点 2F 到直线 1PF 的距离为 a ,则该双曲线的离心率的取值范围是 A.       2 51, B.       +, 2 5 C. ( )51, D. ( )+,5 11.如图,在菱形 ABCD 中, 60ABC=,E,F 分别是边 AB,CD 的中点,现将 ΔABC 沿着对角线 AC 翻折,则直线 EF 与平面 ACD 所成角的正切值最大值为 A. 2 B. 3 21 C. 3 3 D. 2 2 (第 11 题图) 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 12.已知数列  na 满足 11 =a , 11ln1 ++=+ n nn aaa ,记      nn aaaS +++= 21 ,  t 表示不超过 t 的 最大整数,则 2019S 的值为 A.2019 B.2018 C.4038 D.4037 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在  2,2− 上随机地取一个实数 k ,则事件“直线 kxy = 与圆 ( ) 95 22 =+− yx 相交”发生的概率 为 . 14.如图,在 ABC 中, ACAB  , 32=BC , = 60A , 的面积 等于 32 ,则角平分线 AD 的长等于 . 15.已知数列  na 满足 naa nn 2151 −=+ + ,其前 n 项和为 nS ,若 8S 恒 成立,则 1a 的取值范围为 . 16.已知 P 为椭圆 C: 22 +143 xy= 上一个动点, 1F 、 2F 是椭圆 C 的左、右焦点,O 为坐标原点,O 到椭圆 C 在 P 点处的切线距离为 d,若 12 24 7PFPF=,则 d = . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分. 17.(12 分)已知函数 xxxf cos3sin)( −= (1)求函数 ()fx的单调递增区间; (2)在 ABC 中,角 ,,A B C 所对的边分别是 a , b , c ,若 ( ) 3fB= , 3b = ,求 ABC 面积的最大值. 18.(12 分)如图,已知四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD//BC,BC=2AD, AD⊥CD,PD⊥平面 ABCD,E 为 PB 的中点. (1)求证:AE//平面 PDC; (2)若 BC=CD=PD,求直线 AC 与平面 PBC 所成角的余弦值. 19.(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球,现从甲,乙 两个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (2)设 为取出的 4 个球中红球的个数,求 的分布列和数学期望. 20.(12 分)如图,斜率为 k 的直线 l 与抛物线 2 4yx= 交于 A 、 B 两点,直线 PM 垂 直平分弦 AB ,且分别交 AB 、 x 轴于 M 、 P ,已知 ( )4 ,0P . (1)求 M 点的横坐标; (2)求 PAB△ 面积的最大值. 21.(12 分)已知函数 x axxxf −= ln)( , Ra  . (1)若函数 )( xf 有且只有两个零点,求实数 a 的取值范围; (2)设函数 的两个零点为 21 , xx ,且 21 xx  ,求证 exx 221 + . (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清 题号. 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,曲线 C 的参数方程为 4cos 2sin x y   =  = (  为参数),在以坐标原点 O 为极点,x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中,点 P 的极坐标为 4, 3   ,直线 l 的极坐标方程为 2sin9 6−= . (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若 Q 是曲线 C 上的动点,M 为线段 PQ 的中点,直线 上有两点 A,B,始终满足 AB 4= ,求 MAB△ 面积 的最大值与最小值. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知 cba ,, 为正实数,且满足 3=++ cba .证明: (1) 3++ acbcab ; (2) 3 222 ++ a c c b b a . (第 14 题图) l 第1页 共 7 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 11 月测试 理科数学(一卷)答案 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B A D D C A B D D 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 3 8 14. 43 3 15. ( ,7]− 16. 14 2 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分. 17.解: ( )sin3 cos2sin() 3fxxxx =−=− ………………………………2 分 (1)令 222 3 2k x k  −  −  + ( kZ )得 52266kxk −+ ( kZ ) 故函数 ()fx的单调递增区间为 52 ,266kk−+ ( kZ ) …………………5 分 (2)由 ( ) 3fB= ,得 3sin( )32B −= , 323  +=− kB 或 ,3 223  +=− kB ∴ 22 2 ,3B k B k k Z  = + = + 或 , 第2页 共 7 页 3 2=BB是三角形的内角, . ………………………………7 分 ∵ Baccab cos2222 −+= ∴ 922 =++ acca ∴ 92 + acac ,即 3ac ………………………………9 分 ∴ 1 3 3sin24ABCS ac B =. ………………………………11 分 当且仅当 3ac== 时, ABC 面积的最大值是 33 4 . ……………………………12 分 18.(1)取 PC 的中点 F,连接 DF,EF, ∵ E 是 PB 的中点, ∴ EF//BC,且 BC=2EF, 又 AD//BC,BC=2AD ∴ AD//EF 且 AD=EF, ………………………………2 分 ∴ 四边形 ADFE 是平行四边形, ∴ AE//DF,又 DF⊂平面 PDC, AE PCD 平面 , ……………………………… 4 分 ∴ AE//平面 PDC. ………………………………5 分 (2)若 PD=DC,则△PDC 是等腰三角形, ∴ DF⊥PC, 又 AE//DF,∴ AE⊥PC ∵ PD⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD ∴ PD⊥BC, 又 BC⊥CD,CDPDD = ∴ BC⊥平面 PDC, ………………………………7 分 ∵ DF⊂平面 PDC ∴ BC⊥DF ∴ BC⊥AE 又 AE⊥PC ,PCBCC = ∴ AE⊥平面 PBC, ………………………………9 分 连接 EC,AC,则∠ACE 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角. ………………………10 分 设 PD=CD=BC=2, E B A P C D F 第3页 共 7 页 在 Rt△PCB 中,求得 PC= 22 ,PB= 23 ,EC= 3 , 在 Rt△ADC 中,求得 AC= 5 , ∴ 在 Rt△AEC 中, 315 5cs 5 o ECECA AC= == . ………………………………12 分 19.(1)设事件 iA 为“甲盒中取出i 个红球”,事件 jB 为“乙盒中取出 j 个红球” 则 ( ) ( )22 2333 22 56 , iijj ij CCCCPAPB CC −− == 设事件 C 为“4 个球中恰有 1 个红球” ( ) ( ) ( ) 02111102 23332333 0 11 0 2222 5656 39633C 10 1510 1510 C CC CC CC CPPA BPA B CCCC=+=+=+= … ………………………………3 分 (2)  可取的值为 0 ,1,2 ,3 4, ( ) ( ) 0 2 0 2 2 3 3 3 00 22 56 C C C C 30 B =C C 50P P A = = =  ……5 分 ( ) ( ) 31C10PP === ( ) ( ) ( ) ( ) 0 22 01 11 12 00 2 2 33 32 33 32 33 3 0 21 12 0 222222 565656 112++ 25 C C C CC C C C C C C CPP A BP A B P A B CCCCCC = =+=+= ………………………………7 分 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 2 0 1 1 2 3 3 3 2 3 3 3 1 2 2 1 2 2 2 2 5 6 5 6 93 + + 50 C C C C C C C CP P A B P A B C C C C = = =   = …………………9 分 ( ) ( ) 2020 2333 22 22 56 C CC C 14B= CC50PP A=== ………………………………10 分  的分布列为:  0 1 2 3 4 P 3 50 3 10 11 25 9 50 50 1 331191 90123+45010255050 5E=  +  +  +  = ………………………………12分 第4页 共 7 页 20.(1)设 112200(,),(,),(,)AxyBxyMxy ,则 1212 00,22 xxyyxy++==,……1 分 ∴ 12 12120 42yyk xxyyy −=== −+ , ………………………………3 分 而 0 0 4MP yk x= − , ………………………………4 分 由 1MPkk = − 得 0 42x − = − ,即 0 2x = . ………………………………5 分 (2)设直线 0:()2ABxmyy=−+ 即 0:2ABxmymy=−+ , 与抛物线 2 4yx= 联立得 2 04 4 8 0y my my− + − = , 22 0164(48)0,2mmym=−−△ 则 12120 4,48yymyymy+==− , ………………………………7 分 所以 222 120||1||1161632ABmyymmmy=+−=+−+ , 而 P 到直线 AB 的距离为 0 2 |+2 | 1 myd m = + , 所以 2 00 1 ||2 |2 |22PABSdABmymmy ==+−+ ………………………………9 分 又由于 01 2 ym k== , 所以 22222(22)24(1)2PABSmmmm =+−=+− ( 2 2m  ), …………………10 分 令 22 mt−=,则 0t  且 222mt=−, 所以 234(3)124PABStttt =−=− , 令 3( ) 12 4 ( 0)g t t t t= −  , 则 2( ) 12 1212(1)(1)g tttt =−=−+ , 当 01t , ()0gt  ,当 1t  时, ()0gt  , 故 3( )124(1)8g tttg=−= ,即 PAB 面积的最大值为 8. ………………………12 分 第5页 共 7 页 21.(1)解: 2 1ln')0, xfxxe x −===( 当 ' ) 0 0 , ( ) 0 )f x x e f x e   ( 时, 在( , 上单调递增 , 当 ')0,(),)fxxefxe+( 时, 在( 上单调递减. 1)()fxfea e==− 极大值( ……3 分, 1)0fxa e( 有且只有两个零点, , 00()0xxfx→又 且 时 , 0()0xafx→ +=时,若 时, 不符合题意, 0lim()0 x afxa →+ = −若 时, 不符合 , 0lim()0 x afxa →+ = −若 时, 满足 , 综上,若使 ()fx有且只有两个零点, 10 a e   …………………… 4 分 (2)证法一: lnln)0ln,ln xxf xaxaxxa ex=−===( , , 12ln,ln xxxxea −=是 的两根 tt ettgettgxtxt −− −==== )1()(',)(,ln,ln 2211设 , 上单调递减上单调递增,在,在( ),1[]1-)( + tg , ………………………………6 分 ,10,),()( 212121 tttttgtg = 则必有设 ),(构造函数 10),1()1()(G −−+= ttgtgt , ,01-()1(')1(')(G' 2 1 =−++= + )t t ee ttgtgt ,0)0()(,)1,0()(G = GtGtt 上单调递增在 ………………………………9 分 )()()2( 211 tgtgtg =− , 上单调递减,在又 ),1()(),,1(,2 21 ++− ttgtt 2,-2 2121 + tttt , 12ln ln 2xx +  ,即 2 12x x e; 12 122 xx xxe+ ,即 122xxe+.……12 分 证法二: 不妨设 121 x e x   , 第6页 共 7 页 )()( 21 xfxf = , 12 12 l n l nxx xx= ,即 22 11 ln ln xx xx= , ………………………………6 分 设 21( 1)x t x t= , 11 11 lnlnln lnln txtxt xx +== , 1 lnln 1 tx t=− , 1 ln 1 lnlnlnln)ln(ln 112 −=−+=+== t tt t ttxttxx , tt txx ln1 1lnln 21 − +=+ , 12 122 xx xx+  ,要证 122x x e+,只需证 2 12x x e, 即证 12 1ln ln ln 21 tx x tt ++ =  − ,即证 2( 1)ln 01 tt t −−+ . …………………………9 分 设 2(1)()ln,(1) 1 tgttt t −=− + , 2 22 14(1)'()0 (1)(1) tgt tttt −=−= ++ , ()gt 在 (1, )+ 单调递增. 0)1( =g , 0)1()( = gtg , 12lnln2xx+ , 12 122 xx xxe+ ,即 122xxe+.………………………12 分 证法三: 不妨设 121 xex , 12()()fxfx = , 12 12 lnlnxx xx= , ………………………………6 分 要证 122xxe+,只需证 12211 2112lnlnln xxxxx exxx +−= − , ……………………7 分 变形,得: 21 21 21 2( )ln ln xxxxxx −−+ ,即 2 21 21 1 2( 1) ln 1 x xx xx x −  + . 设 2 1 2( 1)ln ( 1)1 x tt t txt −=   + ,设 2( 1)( ) ln ,( 1)1 tg t t tt −= − + ,……………………10 分 2 22 14(1)'( )0 (1)(1) tgt ttt t −= −=++ , ( ) 1gt + 在( , )上单调递增, ( ) (1) 0g t g  = , 1 2 1 12 ln x x x ex +  = 成立 , 122x x e +  .………………………12 分 第7页 共 7 页 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分.作答时请写清题号. 22.【选修 4−4:坐标系与参数方程】(10 分) (1)因为直线 l 的极坐标方程为 2sin9 6−= , 即 312 sin cos 922   −  = .由 cos , sinxy   ==, 可得直线 l 的直角坐标方程为 3 9 0xy− + = . ………………………………2 分 将曲线 C 的参数方程 4c os 2sin x y   =  = ,消去参数 a, 得曲线 C 的普通方程为 22 416 1xy+=. ………………………………4 分 (2)设 ( )Q4cos,2sin ,  )0, 2 . 点 P 的极坐标 4, 3   ,化为直角坐标为 ( )2,23 . 则 ( )M2cos+1,sin3+ . ………………………………6 分 所以点 M 到直线 l 的距离 ( ) ( )2cos +1 3 sin + 3 +9 7 sin 7 2 2d  − −+ == ,(其 中, 23tan 3 = ),所以 7777d,22 −+  ………………………………8 分 AB 4= , 1 277 772ΔMABSAB dd, = = −+   MAB△ 面积的最大值为 77+ ,最小值为 77− …………………………10 分 23.【选修 4−5:不等式选讲】(10 分) 23.(1)因为 ,,abc为正实数,且满足 3abc+ + = .所以, ( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++ 第8页 共 7 页 accbc,acab,bba 222 222222 +++ , acbcabcba ++++ 222 ……2 分 ( )2 333abcabacbc++++ , 3abc+ + = , 3ab bc ac+ +  ,当且仅当 abc==时,等号成立 ………………………………5 分 (2) 222 2,2,2abc bacbacbca+++ , ( ) 2 2 2 2abca b c a b cb c a + + + + +  + + ………………………………8 分 222abcabcbca++++ , 3abc+ + = , 222 3abc bca++ ,当且仅当 abc== 时,等号成立 ………………………………10 分