2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7 25页

7 . 1 . 1 　 数系的扩充和复数的概念 课标阐释 思维脉络 1 . 了解数系的扩充与引进复数的必要性 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解复数的有关概念 . ( 数学抽象 ) 3 . 掌握复数相等的充要条件及其应用 . ( 数学运算、逻辑推理 ) 激趣诱思 知识点拨 虚数的单位 i 最早是由欧拉引入的 , 他取 imaginary( 想象的 , 假想的 ) 一词的词头作为虚数单位 , , 于是一切虚数都具有 b i 的形式 . 但虚数的确定要归功于 18 世纪两位业余数学家 , 一位是挪威的测绘员威赛尔 , 另一位是巴黎的会计师阿尔干 . 激趣诱思 知识点拨 知识点一、复数的概念及其表示 1 . 复数的定义 我们把形如 a+b i( a , b ∈ R ) 的数叫做 复数 , 其中 i 叫做 虚数单位 . 全体复数所构成的集合 C = { a+b i |a , b ∈ R } 叫做 复数集 . 规定 i·i = i 2 = - 1 . 2 . 复数的表示 复数通常用字母 z 表示 , 即 z=a+b i( a , b ∈ R ) . 以后不作特殊说明时 , 复数 z=a+b i 都有 a , b ∈ R , 其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的 实部与虚部 . 名师点析 (1) z=a+b i( a , b ∈ R ) 的虚部是 b , 而不是 b i . (2) 实数也是复数 , 但是复数 z=a+b i( a , b ∈ R ) 不一定是实数 . 当 b ≠0 时 , 它叫做虚数 ; 当 a= 0 且 b ≠0 时 , 它叫做纯虚数 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 复数 z= 2 + 5i 的实部等于 　　　　 , 虚部等于 　　　　 .  (2) 若复数 z= (2 a- 1) + (3 +a )i( a ∈ R ) 的实部与虚部相等 , 则 a= 　　　　 .  解析 : (1) 复数 z= 2 + 5i 的实部等于 2, 虚部等于 5 . (2) 由已知得 2 a- 1 = 3 +a , 所以 a= 4 . 答案 : (1)2 　 5 　 (2)4 (3) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打 “ √ ”, 错误的打 “ × ” . 若复数 z=x+y i, 则复数 z 的实部与虚部分别为 x , y. ( 　　 ) 答案 : × 激趣诱思 知识点拨 知识点二、复数相等 在复数集 C = { a+b i |a , b ∈ R } 中任取两个数 a+b i, c+d i( a , b , c , d ∈ R ), 我们规定 : a+b i 与 c+d i 相等当且仅当 a=c 且 b=d . 名师点析 (1) 根据两个复数相等的定义知 , 在 a=c 且 b=d 两式中 , 如果有一个不成立 , 那么 a+b i≠ c+d i( a , b , c , d ∈ R ) . (2) 如果两个复数都是实数 , 则可以比较大小 ; 否则不能比较大小 . (3) 复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据 , 是复数问题实数化这种数学思想方法的体现 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知 x , y ∈ R , 若 x+ 3i = ( y- 2)i, 则 x+y= 　　　　　 .  解析 : 因为 x+ 3i = ( y- 2)i, 所以 x+y= 5 . 答案 : 5 激趣诱思 知识点拨 知识点三、复数的分类 1 . 复数 z=a+b i( a , b ∈ R ) 可以分类如下 : 2 . 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 : 激趣诱思 知识点拨 微 练习 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 对复数相关概念的理解 例 1 ( 多选题 ) 下列说法中 , 错误的是 ( 　　 ) A. 复数由实数、虚数、纯虚数构成 B. 若复数 z= 3 m+ 2 n i, 则其实部与虚部分别为 3 m ,2 n C. 在复数 z=x+y i( x , y ∈ R ) 中 , 若 x ≠0, 则复数 z 一定不是纯虚数 D. 若 a ∈ R , a ≠0, 则 ( a+ 3)i 是纯虚数 分析 根据复数及其相关概念进行分析判断 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : A 错 , 复数由实数与虚数构成 , 在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数 . B 错 , 只有当 m , n ∈ R 时 , 才能说复数 z= 3 m+ 2 n i 的实部与虚部分别为 3 m ,2 n. C 正确 , 复数 z=x+y i( x , y ∈ R ) 为纯虚数的条件是 x= 0 且 y ≠0, 只要 x ≠0, 则复数 z 一定不是纯虚数 . D 错 , 只有当 a ∈ R , 且 a ≠ - 3 时 ,( a+ 3)i 才是纯虚数 . 答案 : ABD 反思感悟 判断复数概念方面的命题真假的注意点 (1) 正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念 , 注意它们之间的区别与联系 ; (2) 注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同 ; (3) 注意通过列举反例来说明一些命题的真假 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 下列说法中 , 正确的是 ( 　　 ) A.1 -a i( a ∈ R ) 是一个复数 B. 形如 a+b i( b ∈ R ) 的数一定是虚数 C. 两个复数一定不能比较大小 D. 若 a>b , 则 a+ i >b+ i 解析 : 由复数的定义知 A 正确 ; 当 a ∈ R , b= 0 时 a+b i( b ∈ R ) 表示实数 , 故 B 项错误 ; 如果两个复数同时是实数时 , 可以比较大小 , 故 C 项错误 ; a+ i 与 b+ i 不能比较大小 , 故 D 项错误 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数的分类及其 应用 (1) z 是实数 ?(2) z 是虚数 ?(3) z 是纯虚数 ? 分析 根据复数分类的标准及条件 , 建立关于实数 m 的方程或不等式 ( 组 ), 求解 m 满足的条件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1) 利用复数的分类求参数时 , 首先应将复数化为 z=a+b i( a , b ∈ R ) 的形式 , 若不是这种形式 , 应先化为这种形式 , 得到实部与虚部 , 再求解 ; (2) 要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件 , 再结合实部与虚部的取值求解 ; (3) 要特别注意复数 z=a+b i( a , b ∈ R ) 为纯虚数的充要条件是 a= 0 且 b ≠0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 已知 m ∈ R , 复数 z= lg m+ ( m 2 - 1)i, 当 m 满足何条件时 , (1) z 为实数 ?(2) z 为虚数 ?(3) z 为纯虚数 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复数相等的充要条件及应用 例 3 已知集合 M= {1,( m 2 - 2 m ) + ( m 2 +m- 2)i}, P= { - 1,1,4i}, 若 M ∪ P=P , 求实数 m 的值 . 分析 M ∪ P=P → M ⊆ P →( m 2 - 2 m ) + ( m 2 +m- 2)i =- 1 或 4i→ 列出方程组可 求得 m 的值 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : ∵ M ∪ P=P , ∴ M ⊆ P , ∴ ( m 2 - 2 m ) + ( m 2 +m- 2)i =- 1 或 ( m 2 - 2 m ) + ( m 2 +m- 2)i = 4i . 若 ( m 2 - 2 m ) + ( m 2 +m- 2)i =- 1 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 复数相等问题的解题技巧 (1) 复数必须是 z=a+b i( a , b ∈ R ) 的形式才可以根据实部与实部相等 , 虚部与虚部相等列方程组求解 . (2) 根据复数相等的条件 , 将复数问题转化为实数问题 , 为应用方程思想提供了条件 , 同时这也是复数问题实数化思想的体现 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 若 5 - 12i =x i +y ( x , y ∈ R ), 则 x= 　　　　　 , y= 　　　　　 .  (2) 已知 x 2 +y 2 - 6 + ( x-y- 2)i = 0, 求实数 x , y 的值 . (1) 解析 : 由复数相等的条件知 x=- 12, y= 5 . 答案 : - 12 　 5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 对复数相关概念的理解 典例 给出下列说法 :(1) 若 x+y i = 0, 则 x=y= 0;(2) 若 a+b i = 3 + 8i, 则 a= 3, b= 8;(3) 若 x 为实数 , 且 ( x 2 - 4) + ( x 2 + 2 x )i 是纯虚数 , 则 x=± 2;(4) 若 3 x+m i < 0, 则有 x< 0 . 其中正确的序号是 　　　　 .  解析 : (1) 和 (2) 都是错误的 , 原因是没有 x , y ∈ R , a , b ∈ R 的限制条件 , 因此相应结论都是错误的 ;(3) 也是错误的 , 事实上 , 当 ( x 2 - 4) + ( x 2 + 2 x )i 是 答案 : (4) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 复数中的许多结论 , 都是建立在复数为 z=a+b i( a , b ∈ R ) 的形式这一条件下的 , 在复数 z=a+b i 中 , a , b ∈ R 是必不可少的条件 , 如果没有这一条件 , 相应结论不一定能够成立 . 例如 : a+b i = 0 ⇒ a=b= 0 成立的条件是 a , b ∈ R ; a+b i =c+d i ⇒ a=c , b=d 成立的条件是 a , b , c , d ∈ R . 另外 , 复数 z=a+b i( a , b ∈ R ) 为纯虚数的条件是 a= 0, 且 b ≠0, 切记不能丢掉 “ b ≠0” 这一条件 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 若 k ∈ R , 且 (2 k 2 - 5 k- 3) + (2 k 2 -k- 1)i 为纯虚数 , 则实数 k 等于 　　　　 .  答案 : 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 2 . “ a=- 2” 是 “ 复数 z= ( a 2 - 4) + ( a+ 1)i( a , b ∈ R ) 为纯虚数 ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 : a=- 2 时 , z= (2 2 - 4) + ( - 2 + 1)i =- i 是纯虚数 ; z 为纯虚数时 , a 2 - 4 = 0, 且 a+ 1≠0, 即 a=± 2 . ∴ “ a= 2” 可以推出 “ z 为纯虚数 ”, 反之不成立 . 故选 A . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 设 C= { 复数 }, A= { 实数 }, B= { 纯虚数 }, 全集 U=C , 则下面结论正确的是 ( 　　 ) A .A ∪ B=C B . ∁ U A=B C .A ∩( ∁ U B ) = ⌀ D .B ∪ ( ∁ U B ) =C 解析 : 由复数的分类可知 D 项正确 . 答案 : D 4 . 若 x , y ∈ R , 且 3 x+y+ 3 = ( x-y- 3)i, 则 x= 　　　　 , y= 　　　　 .  答案 : 0 　 - 3 5 . 若 x , y ∈ R , 且 ( x- 1) +y i > 2 x , 求 x , y 的取值或取值范围 . 解 : ∵ ( x- 1) +y i > 2 x , ∴ y= 0 且 x- 1 > 2 x , ∴ x<- 1, ∴ x 的取值范围为 ( -∞ , - 1), y= 0 .