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- 2021-06-15 发布
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“函数的概念及其性质”双基过关检测
一、选择题
1．函数 f(x)＝lg(x－1)－ 4－x的定义域为( )
A．(－∞，4] B．(1,2)∪(2,4]
C．(1,4] D．(2,4]
解析：选 C 由题意可得
x－1>0，
4－x≥0，
解得 1f(x2)”，则 f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝1
x
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选 C 根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于 A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除 A；
对于 B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除 B；
对于 C，f(x)＝1
x
在(0，＋∞)上单调递减，C正确；
对于 D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除 D.
7．已知函数 f(x)＝log 1
3
(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数 a的取值范围是
( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C.
－
1
2
，2
D.
－
1
2
，2
解析：选 D 令 t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知 y＝log 1
3
t在其定义域上单调递减，要使 f(x)
＝log 1
3
(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则 t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递
增，且 t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即
－
－a
2
≤1，
g1>0，
所以
a≤2，
a>－1
2
，
即－
1
2
0，则－x<0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－
9－x＋ a2
－x
＋7
＝9x＋a2
x
－7.由基
本不等式得 9x＋a2
x
－7≥2 9x·a
2
x
－7＝－6a－7，由 f(x)≥a＋1 对一切 x≥0 成立，只需－
6a－7≥a＋1，即 a≤－
8
7
，结合 a≤－1，所求 a的取值范围是
－∞，－
8
7 .
答案：
－∞，－
8
7
11．设 f(x)＝x3＋log2(x＋ x2＋1)，则对任意实数 a，b，a＋b≥0 是 f(a)＋f(b)≥0 的
________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．
解析：因为 f(－x)＝－x3＋log2(－x＋ x2＋1)＝－x3＋log2
1
x＋ x2＋1
＝－x3－log2(x＋
x2＋1)＝－f(x)，
所以函数 f(x)是奇函数，易知函数 f(x)在 R 上是增函数，
因为 a＋b≥0，所以 a≥－b，
所以 f(a)≥f(－b)＝－f(b)，即 f(a)＋f(b)≥0，反之亦成立，
因此，对任意实数 a，b，a＋b≥0是 f(a)＋f(b)≥0的充要条件．
答案：充要
12．设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；
③当 0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则 f
1
2 ＋f(1)＋f
3
2 ＋f(2)＋f
5
2 ＝________.
解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，
则 f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即 f(1)＝0.
∴f
1
2 ＋f(1)＋f
3
2 ＋f(2)＋f
5
2
＝f
1
2 ＋0＋f
－
1
2 ＋f(0)＋f
1
2
＝f
1
2 －f
1
2 ＋f(0)＋f
1
2
＝f
1
2 ＋f(0)
＝21
2
－1＋20－1
＝ 2－1.
答案： 2－1
三、解答题
13．设函数 f(x)＝
ax＋b，x<0，
2x，x≥0，
且 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求 f(x)的解析式；
(2)画出 f(x)的图象．
解：(1)由 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得
－2a＋b＝3，
－a＋b＝2，
解得 a＝－1，b＝1，
所以 f(x)＝
－x＋1，x<0，
2x，x≥0.
(2)f(x)的图象如图所示：
14．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求 f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求 f(x)的图象与 x轴所围成图形的面积．
解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以 4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即 f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称．
又当 0≤x≤1时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与 x轴围成的图形面积为 S，
则 S＝4S△OAB＝4×
1
2
×2×1
＝4.
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