2014高考江西（理科数学）试卷 10页

‎2014·江西卷(理科数学)‎ ‎1．[2014·江西卷] 是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1＋iB．－1－i C．－1＋iD．1－i ‎1．D　[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝－1，故z＝1－i.‎ ‎2．[2014·江西卷] 函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)‎ A．(0，1] B．[0，1]‎ C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)‎ ‎2．C　[解析]由x2－x>0，得x>1或x<0.‎ ‎3．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝(　　)‎ A．1B．2C．3D．－1‎ ‎3．A　[解析]g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.‎ ‎4．[2014·江西卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3B.C.D．3 ‎4．C　[解析]由余弦定理得，cosC＝＝＝，所以ab＝6，所以S△ABC＝absinC＝.‎ ‎5．[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图11所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 图11‎ ‎　　　‎ ‎　A　　　　B　　　　C　　　　D 图12‎ ‎5．B　[解析]易知该几何体的俯视图为选项B中的图形．‎ ‎6．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)‎ ‎　　　　　表1　　　　　　　　　表2‎ ‎　成绩 性别　‎ 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ ‎　视力 性别　‎ 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ ‎　　　表3　　　　　　　　　　　　表4‎ ‎　智商 性别　‎ 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ ‎　　阅读量 性别　‎ 丰富 不丰 富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A．成绩B．视力C．智商D．阅读量 ‎6．D　[解析]根据独立性检验计算可知，阅读量与性别有关联的可能性较大．‎ ‎7．[2014·江西卷]阅读如图13所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(　　)‎ ‎　‎ 图13‎ A．7B．9C．10D．11‎ ‎7．B　[解析]由程序框图可知，运算过程如下表：‎ S S<－1‎ i 输出 赋初值 ‎0‎ ‎1‎ 开始 S＝0＋lg＝‎ ‎－lg3>－1‎ 否 ‎3‎ S＝－lg3＋lg＝‎ ‎－lg5>－1‎ 否 ‎5 ‎ S＝－lg5＋lg ‎＝－lg7>－1‎ 否 ‎7‎ S＝－lg7＋lg＝‎ ‎－lg9>－1‎ 否 ‎9 ‎ S＝－lg9＋lg＝‎ ‎－lg11<－1‎ 是 ‎9‎ ‎8.[2014·江西卷] 若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)‎ A．－1B．－C.D．1‎ ‎8．B　[解析]f(x)dx＝dx＝＝＋2f(x)dx，得f(x)dx＝－.‎ ‎9．[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A.πB.π C．(6－2)πD.π ‎9．A　[解析]由题意知，圆C必过点O(0，0)，故要使圆C的面积最小，则点O到直线l的距离为圆C的直径，即2r＝，所以r＝，所以S＝π.‎ 图14‎ ‎10．[2014·江西卷] 如图14所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2，3，4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是(　　)‎ ‎　A　　　　　　　　B ‎　C　　　　　　　　D 图15‎ ‎10．C　[解析]由题意，L1＝AE＝13.‎ 易知点E在底面ABCD上的投影为F(4，3，0)，根据光的反射原理知，直线AE和从点E射向点E1的直线E1E关于EF对称，因此E1(8，6，0)，且L2＝L1＝13.‎ 此时，直线EE1和从点E1射出所得的直线E1E2关于过点E1(8，6，0)和底面ABCD垂直的直线对称，得E′2(12，9，12)．因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面CDD1C1上，设为E2，求得L3＝E1E2＝，L3L3.故选C.‎ ‎11．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为(　　)‎ A．1B．2C．3D．4‎ ‎[2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ ‎11．(1)C　[解析]易知|x－1|＋|x|≥1，当且仅当0≤x≤1时等号成立；|y－1|＋|y＋1|≥2, 当且仅当－1≤y≤1时等号成立．‎ 故|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.‎ ‎(2)A　[解析]依题意，方程y＝1－x的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1，整理得ρ＝.因为0≤x≤1，所以0≤y≤1，结合图形可知，0≤θ≤.‎ ‎12．[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．‎ ‎12.　[解析]由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝＝.‎ ‎13．[2014·江西卷] 若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎13．(－ln2，2)　[解析]设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．‎ ‎14．[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．‎ ‎14.　[解析]cosβ＝＝＝‎ ＝‎ ＝＝.‎ ‎15．[2014·江西卷] 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．‎ ‎15.　[解析]设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且两式作差可得＝‎ ，即＝，所以＝－，‎ 即kAB＝－.由题意可知，直线AB的斜率为－，所以－＝－，即a＝b.又a2＝b2＋c2，‎ 所以c＝b，e＝.‎ ‎16．、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.‎ ‎(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．‎ ‎16．解：(1)f(x)＝sin＋cos＝‎ (sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin.‎ 因为x∈[0，π]，所以－x∈，‎ 故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎(2)由得 又θ∈，知cosθ≠0，‎ 所以 解得 ‎17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎17．解：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，‎ 所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.‎ ‎(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，‎ 所以Sn＝(n－1)3n＋1.‎ ‎18．、[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．‎ ‎(1)当b＝4时，求f(x)的极值；‎ ‎(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．‎ ‎18．解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.‎ 所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.‎ ‎(2)f′(x)＝，易知当x∈时，<0，‎ 依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤.‎ 所以b的取值范围为.‎ ‎19．、、[2014·江西卷] 如图16，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面 ABCD.‎ 图16‎ ‎(1)求证：AB⊥PD.‎ ‎(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．‎ ‎19．解：(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.‎ ‎(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.‎ 故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.‎ 在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.‎ 设AB＝m，则OP＝＝，故四棱锥PABCD的体积为 V＝×·m·＝.‎ 因为m＝＝‎ ，‎ 所以当m＝，即AB＝时，四棱锥PABCD的体积最大．‎ 此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B，C，D，P，故＝，＝(0‎ ‎，，0)，CD＝.‎ 设平面BPC的一个法向量为n1＝(x，y，1)，‎ 则由n1⊥，n1⊥，得解得x＝1，y＝0，则n1＝(1，0，1)．‎ 同理可求出平面DPC的一个法向量为n2＝.‎ 设平面BPC与平面DPC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.‎ ‎20．[2014·江西卷] 如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．‎ 图17‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ ‎20．解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.‎ 由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.‎ 又直线OA的方程为y＝x，‎ 则A，所以kAB＝＝.‎ 又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．‎ 因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，‎ 则＝＝＝‎ ·.‎ 又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，‎ 代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．‎ ‎21．、、[2014·江西卷] 随机将1，2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2.记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.‎ ‎(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；‎ ‎(3)对(2)中的事件C，表示C的对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由．‎ ‎21．解：(1)当n＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.‎ 将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C＝20(种)，所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P Eξ＝2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ ‎(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n－1，n，n＋1，…，2n－2.‎ 又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；‎ ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；‎ ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1，2，…，n－2)(n≥3)时，不同的分组方法有2C种．‎ 所以当n＝2时，P(C)＝＝，‎ 当n≥3时，P(C)＝.‎ ‎(3)由(2)得，当n＝2时，P(C)＝，因此P(C)>P(C)．而当n≥3时，P(C)