人教新课标A版数学高三高考卷 05高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案（黑龙江、吉林、广西、内蒙古、新疆等地区用） 9页

2005 年高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案 （黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷 1 至 2 页 第Ⅱ卷 3 到 10 页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP  24 RS  如果事件 A、Ｂ相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP  球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV  n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k K n k n nP k C P P   一、选择题 （１）函数 ( ) sin cosf x x x  的最小正周期是 （A） 4  （B） 2  （C） （D） 2 （２）正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 、Q 、 R 分别是 AB 、 AD 、 1 1B C 的中点．那么， 正方体的过 P 、Q 、 R 的截面图形是 （A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形 （３）函数 2 1( 0)y x x   的反函数是 （A） 1( )y x x    （B） 1( )y x x     （C） 1( )y x x    （D） 1( )y x x     （４）已知函数 tany x 在 ( , )2 2   内是减函数，则 （A）０＜ ≤１（B）－１≤ ＜０（C） ≥１（D） ≤－１ （５）抛物线 2 4x y 上一点 A 的纵坐标为４，则点 A 与抛物线焦点的距离为 （A）２ （B）３ （C）４ （D）５ （６）双曲线 2 2 14 9 x y  的渐近线方程是 （A） 2 3y x  （B） 4 9y x  （C） 3 2y x  （D） 9 4y x  （７）如果数列 na 是等差数列，则 （A） 1a ＋ 8a  4a ＋ 5a （B） 1a ＋ 8a ＝ 4a ＋ 5a （C） 1a ＋ 8a  4a ＋ 5a （D） 1a 8a ＝ 4a 5a （８） 10( 2 )x y 的展开式中 6 4x y 项的系数是 （A）840 （B）－840 （C）210 （D）－210 （９）已知点 ( 3,1)A ， (0,0)B ， ( 3,0)C ．设 BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ， 那么有 BC CE  ，其中  等于 （A）２（B） 1 2 （C）－３（D）－ 1 3 （10）已知集合  4 7M x x    ，  2 6 0N x x x    ，则 M N 为 （A） 4 2x x    或 3 7x  （B） 4 2x x    或 3 7x  （C） 2x x   或 3x  （D） 2x x   或 3x  （11）点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 (4, 3)v   （即点 P 的运动方向与 v 相同， 且每秒移动的距离为 v 个单位）．设开始时点 P 的坐标为（－10，10），则５秒后 点 P 的坐标为 （A）（-2，4）（B）（-30，25）（C）（10，-5）（D）（5，-10） （12） ABC 的顶点在平面 内， A 、C 在 的同一侧， AB 、 BC 与 所成的角分别是 30 和 45 ．若 AB ＝３， BC ＝   ， AC ＝５，则 AC 与 所成的角为 （A） 60 （B） 45 （C）30 （D）15 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 （13）在 8 3 和 27 2 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____． （14）圆心为(1,2)且与直线 5 12 7 0x y   相切的圆的方程为_____________． （15）在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数 共有_____________个． （16）下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分 12 分） 已知 为第二象限的角， 3sin 5   ，  为第一象限的角， 5cos 13   ．求 tan(2 )  的 值． （18） （本小题满分 12 分） 甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.60，本场比 赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响． （Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率； （Ⅱ）本场比赛乙队以３：２取胜的概率． （精确到 0.001） （19）（本小题满分 12 分） 已知 na 是各项均为正数的等差数列， 1lg a 、 2lg a 、 4lg a 成等差数列．又 2 1 n nb a  ， 1,2,3,n  …． （Ⅰ）证明 nb 为等比数列； （Ⅱ）如果数列 nb 前３项的和等于 7 24 ，求数列 na 的首项 1a 和公差 d ． （20）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD  底面 ABCD ， AD PD ， E 、 F 分别为CD 、 PB 的中点． （Ⅰ）求证： EF  平面 PAB ； （Ⅱ）设 2AB BC ，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大 小． （21）（本小题满分 14 分） 设 a 为实数，函数 3 2( )f x x x x a    ． （Ⅰ）求 ( )f x 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 ( )y f x 与 x 轴仅有一个交点． （22）（本小题满分 12 分） P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆 2 2 12 yx   上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点．已知 PF  与 FQ  共线， MF  与 FN  共线，且 0PF MF   ．求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大 值． 2005 年高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案 F E A B C D P （必修+选修Ⅱ） （黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆） 参考答案 1-6: CDBBDC 7-12: BACACC (2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力， 通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选 D. 13. 216; 14. 2 2( 1) ( 2) 4x y    . 分析：本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线 5x－12y－7=0 的距离： 2 2 5 1 12 2 7 2 5 ( 12) r        ，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容易得到圆的 方程： 2 2 2( 1) ( 2) 2x y    新疆 学案 王新敞 15. 192； 16. ①，④ 分析：②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱 锥但不是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等， 根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等 由于在底面所在 的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有 4 个：内心(本题的中心)1 个、旁心 3 个 因此不能保证 三棱锥是正三棱锥 （17）（本小题满分 12 分） 解：∵α为第二象限角, sinα= 3 5 ，∴cosα= - 4 5 , tanα= - 3 4 , tan2α= - 24 7 又∵β为第一象限角, cosβ= 5 13 , ∴sinβ=12 13 , tanβ=12 5 ∴ tan(2 )  = 24 12 tan 2 tan 2047 5 24 121 tan 2 tan 2531 7 5            （18）（本小题满分 12 分） 解：⑴前三局比赛甲队领先分为两种情况： ①前三局比赛中甲队全部获胜，其概率为 P1= 3 3 0 3 (0.6) (0.4)C  =0.216； ②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败，其概率为 P2= 2 2 1 3 (0.6) (0.4)C  =0.432 故前三局比赛甲队领先的概率为：P=P1+P2=0.648 ⑵本场比赛乙队以３：２取胜，则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中 获胜，其概率为 P= 2 2 2 4 (0.6) (0.4) 0.4C   =0.13824≈0.138 （19）（本小题满分 12 分） ⑴证明：设{an}中首项为 a1，公差为 d. ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列 ∴2lga2=lga1·lga4 ∴a22=a1·a4. 即(a1+d)2=a1(a1+3d) ∴d=0 或 d=a1 当 d=0 时, an=a1, bn= 12 1 1 na a  , ∴ 1 1n n b b   ，∴ nb 为等比数列； 当 d=a1 时, an=na1 ,bn= 12 1 1 2n na a  ，∴ 1 1 2 n n b b   ，∴ nb 为等比数列 综上可知 nb 为等比数列 ⑵当 d=0 时, bn= 12 1 1 na a  , ∴b1+b2+b3= 1 3 a = 7 24 ∴a1= 72 7 ； 当 d=a1 时, bn= 12 1 1 2n na a  ∴b1+b2+b3= 1 1 1 1 1 1 1 7 7 2 4 8 8 24a a a a     ∴a1=3 综上可知 1 72 7 0 a d     或 1 3 3 a d    （20）（本小题满分 12 分） 解法一：⑴取 PA 中点 G, 连结 FG, DG // // // // 1 2 1 2 BF FP FG AB FG DE CE ED DE AB DEFG EF DG             四边形 为平行四边形 PD ABCD PAD ABCD AB PADAB AD        平面 平面 平面 平面又 O G F E A B C D P // PAB PAD PD AD AG PA DG PAB EF PABPG GA AG PAD EF DG                     平面 平面 平面 平面 平面 ⑵设 AC, BD 交于 O，连结 FO. 1 2 PF BF FO PD FO ABCDBO OD PD ABCD            平面 平面 设 BC=a, 则 AB= 2 a, ∴PA= 2 a, DG= 2 2 a=EF, ∴PB=2a, AF=a. 设 C 到平面 AEF 的距离为 h. ∵VC-AEF=VF-ACE, ∴ 1 1 1 1 3 2 3 2EF AF h CE AD FO       . 即 2 2 2 2 2 aa a h a a     ∴ 2 ah  . ∴AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 / 2 3 63 h a AC a   即 AC 与平面 AEF 所成角为 3arcsin 6 解法二：以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系， （1）证明： 设  ,0,0E a ，其中 0a  ，则         1 12 ,0,0 , 0,1,0 , 2 ,1,0 , 0,0,1 , , ,2 2C a A B a P F a     ，    1 10, , , 2 ,1, 1 , 2 ,0,0 , 0,2 2EF PB a AB a EF PB EF PB                ， 0,AB EF AB EF     又 , ,PB PAB AB PAB PB AB B  平面 平面 ， EF PAB  平面 （2）解：由 2 ,AB BC 得 2 2a  ， 可得    2, 1,0 , 2,1, 1AC PB     x F E A B C D P y z 3cos , 6 AC PBAC PB AC PB           ， 则异面直线 AC，PB 所成的角为 3arccos 6 ， 2 1 1, , , 0,2 2 2AF AF PB AF PB              ， 又 PB EF ，AF 为平面 AEF 内两条相交直线， PB AEF  平面 ， AC 与平面 AEF 所成的角为 3 3arccos arcsin2 6 6        ， 即 AC 与平面 AEF 所成的角为 3arcsin 6 （21）（本小题满分 14 分） 解：⑴令 2( ) 3 2 1 0f x x x     得： 1 2 1 , 13x x   . 又∵当 x∈(-∞, 1 3  )时, ( )f x >0; 当 x∈( 1 3  ,1)时, ( )f x <0; 当 x∈(1,+∞)时, ( )f x >0 ∴ 1 1 3x   与 2 1x  分别为 ( )f x 的极大值与极小值点. ∴ ( )f x 极大值= 1 5( )3 27f a   ; ( )f x 极小值= 1a  ⑵∵ ( )f x 在(-∞, 1 3  )上单调递增, ∴当 x   时, ( )f x   ; 又 ( )f x 在(1,+∞)单调递增， 当 x   时, ( )f x   ∴当 ( )f x 极大值<0 或 ( )f x 极小值>0 时，曲线 ( )f x 与 x 轴仅有一个交点. 即 5 027a   或 1a  >0, ∴a∈(-∞, 5 27  )∪(1,+∞) （22）（本小题满分 12 分） 解：∵ 0PF MF PF MF       . 即 MN PQ . 当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时，另一条直线必垂直于 y 轴. 不妨设 MN⊥y 轴，则 PQ⊥x 轴 ∵F(0, 1) ∴MN 的方程为：y=1，PQ 的方程为：x=0 分别代入椭圆 2 2 12 yx   中得：|MN|= 2 , |PQ|=2 2 . S 四边形 PMQN= 1 2 |MN|·|PQ|= 1 2 × 2 ×2 2 =2 当 MN,PQ 都不与坐标轴垂直时，设 MN 的方程为 y=kx+1 (k≠0)， 代入椭圆 2 2 12 yx   中得：(k2+2)x2+2kx-1=0, ∴x1+x2= 2 2 2 k k   , x1·x2= 2 1 2k   ∴ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2(1 )| | (1 )[( ) 4 ] (1 )[( ) ]2 2 2 k kMN k x x x x k k k k           同理可得： 2 2 2 2(1 )| | 2 2 kPQ k   S 四边形 PMQN= 1 2 |MN|·|PQ|= 4 2 4 2 2 4 12 2 5 2 k k k k     = 2 4 2 2 2 1 162(1 ) 2(1 )2 5 2 2( 1/ ) 5 9 k k k k k        (当且仅当 2 2 1k k  即 1k   时，取等号). 又 S 四边形 PMQN = 2 4 22(1 ) 22 5 2 k k k    ，∴此时16 9 S 四边形 PMQN 2 综上可知：(S 四边形 PMQN )max=2, (S 四边形 PMQN )min=16 9 N P Q F M o y x