高考数学总复习第四章三角函数、解三角形课时规范练22三角恒等变换理新人教A版 9页

课时规范练 22 三角恒等变换 一、基础巩固组 1.函数 f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x)的最小正周期是( ) A. B.π C. D.2π 2.已知 sin ,则 cos =( ) A. B. C. D. 3.已知 2sin 2α=1+cos 2α,则 tan 2α=( ) A. B.- C. 或 0 D.- 或 0 4.(2017 河南郑州三模,理 4)已知 cos =- ,则 sin 的值等于( ) A. B.± C.- D. 5.已知 f(x)=sin2x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π,[0,π] B.2π, C.π, D.2π, 6.为了得到函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象,可以将函数 y=cos 2x-sin 2x 的图象( ) A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 7.设 f(x)= +sin x+a2sin 的最大值为 +3,则实数 a= . 8.(2017 江苏无锡一模,12)已知 sin α=3sin ,则 tan = . 9.(2017 山东,理 16)设函数 f(x)=sin +sin ,其中 0<ω<3.已知 f =0. (1)求ω. (2)将函数 y=f(x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平 移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在 上的最小值. 〚导学号 21500723〛 10.(2017 山西临汾三模,理 17)已知函数 f(x)=sin4x+cos4x+ sin 2xcos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈ 时,求 f(x)的最值. 二、综合提升组 11.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)+1 的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在 x= 时取得最大值 2,若 f(α)= ,且 <α< ,则 sin 的值为( ) A. B.- C. D.- 12.已知函数 f(x)=cos ωx(sin ωx+ cos ωx)(ω>0),若存在实数 x0,使得对任意的实数 x,都有 f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为( ) A. B. C. D. 13.已知 cos α= ,cos(α+β)=- ,且α,β∈ ,则 cos(α-β)的值为 . 14.(2017 山东潍坊一模,理 16)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 A 为锐角,且 bsin Acos C+csin Acos B= a. (1)求角 A 的大小; (2)设函数 f(x)=tan Asin ωxcos ωx- cos 2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为 , 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间 上的值域. 〚导学号 21500724〛 三、创新应用组 15.已知 m= ,若 sin 2(α+γ)=3sin 2β,则 m= ( ) A.-1 B. C. D.2 〚导学号 21500725〛 16.已知函数 f(x)=2cos2x+2 sin xcos x+a,且当 x∈ 时,f(x)的最小值为 2. (1)求 a 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再将所得图象向右平移 个 单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=4 在区间 上所有根之和. 课时规范练 22 三角恒等变换 1.B f(x)=2sin 2cos =2sin ,故最小正周期 T= =π,故选 B. 2.A 由题意 sin , ∴cos =cos 2 =1-2sin2 =1-2 故选 A. 3.C 因为 2sin 2α=1+cos 2α, 所以 2sin 2α=2cos2α. 所以 2cos α(2sin α-cos α)=0, 解得 cos α=0 或 tan α= 若 cos α=0,则α=kπ+ ,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z, 所以 tan 2α=0. 若 tan α= , 则 tan 2α= 综上所述,故选 C. 4.B ∵cos =- , ∴cos =-cos =-cos 2 =- =- , 解得 sin2 , ∴sin =± 故选 B. 5.C 由 f(x)=sin2x+sin xcos x= sin 2x = sin , 则 T= =π.又 2kπ- 2x- 2kπ+ (k∈Z), ∴kπ- x≤kπ+ (k∈Z)为函数的单调递增区间.故选 C. 6.A ∵y=sin 2x+cos 2x= cos 2 ,y=cos 2x-sin 2x= = cos 2 = cos 2 , ∴只需将函数 y=cos 2x-sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可得函数 y=sin 2x+cos 2x 的图 象. 7.± f(x)= +sin x+a2sin =cos x+sin x+a2sin = sin +a2sin =( +a2)sin 依题意有 +a2= +3, 则 a=± 8.2 -4 sin α=3sin = sin α+ cos α, ∴tan α= 又 tan =tan =2- , ∴tan = = =- =2 -4. 9.解 (1)因为 f(x)=sin +sin , 所以 f(x)= sin ωx- cos ωx-cos ωx= sin ωx- cos ωx = = sin 由题设知 f =0, 所以 =kπ,k∈Z. 故ω=6k+2,k∈Z,又 0<ω<3,所以ω=2. (2)由(1)得 f(x)= sin , 所以 g(x)= sin sin 因为 x , 所以 x- ,当 x- =- ,即 x=- 时,g(x)取得最小值- 10.解 (1)函数 f(x)=sin4x+cos4x+ sin 2xcos 2x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+ sin 4x=1- sin22x+ sin 4x=1- sin 4x= sin 4x+ cos 4x+ sin , ∴f(x)的最小正周期 T= (2)当 x 时,4x+ , ∴sin , 当 4x+ 时,f(x)取得最小值为 ,此时 x= 当 4x+ 时,f(x)取得最大值为 ,此时 x= ∴当 x 时,f(x)的最大值为 ,最小值为 11.D 由题意,T=2π,即 T= =2π, 即ω=1. 又当 x= 时,f(x)取得最大值, 即 +φ= +2kπ,k∈Z, 即φ= +2kπ,k∈Z. ∵0< ,∴φ= , ∴f(x)=sin +1. ∵f(α)=sin +1= , 可得 sin <α< ,可得 <α+ <π, ∴cos =- ∴sin =2sin cos =2 =- 故选 D. 12.D 由题意可得,f(x0)是函数 f(x)的最小值,f(x0+2 016π)是函数 f(x)的最大值. 显然要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2 016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即 可.又 f(x)=cos ωx(sin ωx+ cos ωx)= sin 2ωx+ (1+cos 2ωx)=sin ,则 2 016 ,求得 ,故ω的最小值为 13 ,∴2α∈(0,π). ∵cos α= , ∴cos 2α=2cos2α-1=- , ∴sin 2α= , 又α, ,∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)= , ∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) = 14.解 (1)∵bsin Acos C+csin Acos B= a, ∴由正弦定理,得 sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B= sin A. ∵A 为锐角,sin A≠0, ∴sin Bcos C+sin Ccos B= , 可得 sin(B+C)=sin A= , ∴A= (2)∵A= ,可得 tan A= , ∴f(x)= sin ωxcos ωx- cos 2ωx= sin 2ωx- cos 2ωx=sin ∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ,可得 T=2 , 解得ω=1, ∴f(x)=sin ,∴将 y=f(x)的图象向左平移 个单位长度后,图象对应的函数为 y=g(x)=sin =sin ∵x ,可得 2x+ , ∴g(x)=sin 15.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ- β)], ∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ- β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), 即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故 m= =2,故选 D. 16.解 (1)f(x)=2cos2x+2 sin xcos x+a=cos 2x+1+ sin 2x+a =2sin +a+1, ∵x , ∴2x+ , ∴f(x)的最小值为-1+a+1=2, 解得 a=2, ∴f(x)=2sin +3, 由 2kπ- 2x + 2kπ+ ,k∈Z,可得 kπ- x≤kπ+ ,k∈Z, ∴f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). (2)由函数图象变换可得 g(x)=2sin +3, 由 g(x)=4 可得 sin ,∴4x- =2kπ+ (k∈Z)或 4x- =2kπ+ (k∈Z), 解得 x= (k∈Z)或 x= (k∈Z).∵x , ∴x= 或 x= , ∴所有根之和为