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- 2021-06-16 发布
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高考填空题分项练9 数 列
1.在等差数列{an}中,若a1a3=8,a2=3,则公差d=________.
答案 ±1
解析 由已知得解得d=±1.
2.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7=________.
答案 -729
解析 a4=a1q3=a1(-3)3=27,故a1=-1,
所以a7=a1q6=-1×(-3)6=-729.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6=________.
答案 48
解析 设等差数列{an}的公差为d,
由已知得4a1+×d=20,
即4×+d=20,解得d=3,
∴S6=6×+×3=3+45=48.
4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,Sn是{an}的前n项和,则S9=________.
答案 0
解析 ∵a1,a3,a4成等比数列,∴a=a1a4,
∴(a1+2×2)2=a1·(a1+3×2),化为2a1=-16,
解得a1=-8,则S9=-8×9+×2=0.
5.在由正数组成的等比数列{an}中,若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为________.
答案
解析 ∵a4a6=a,∴a4a5a6=a=3,解得a5=3.
∵a1a9=a2a8=a,∴log3a1+log3a2+log3a8+log3a9=log3(a1a2a8a9)=log3a=log33=.
6.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.
答案
解析 设最上面一节的容积为a1,公差为d,
则有即
解得则a5=,故第5节的容积为升.
7.已知数列{an}满足a1=2,且an=(n≥2,n∈N*),则an=________.
答案
解析 由an=,得=+,
于是-1=(n≥2,n∈N*).
又-1=-,
∴数列是以-为首项,为公比的等比数列,故-1=-,∴an=(n∈N*).
8.设数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则该数列的前2 018项的乘积a1·a2·a3·…·a2 018=________.
答案 -6
解析 由题意可得a2==-3,a3==-,a4==,a5==2=a1,
∴数列{an}是以4为周期的数列,且a1a2a3a4=1.
而2 018=4×504+2,
∴前2 018项的乘积为a1a2=-6.
9.设Sn是正项数列{an}的前n项和,且an和Sn满足4Sn=(an+1)2(n=1,2,3,…),则Sn=________.
答案 n2
解析 由题意知,Sn=2,
当n=1时,易得a1=1.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=2-2
=
=+,
整理得=,
所以an-an-1=2,
所以an=2n-1,所以Sn=n2.
10.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为________.
答案 5或6
解析 由题意得a1+2d=-a1-8d,∴a1=-5d>0,
∴Sn=na1+d=-5nd+d
=2-d.
又∵d<0,n∈N*,∴当n=5或6时,Sn取最大值.
11.已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上,则+++…+=________.
答案
解析 依题意有an-an+1+1=0,即an+1-an=1,
所以{an}是等差数列,且an=1+(n-1)=n,
于是Sn=.
所以==2,
所以+++…+
=2=.
12.已知{an}是等差数列,a5=15,a10=-10,记数列{an}的第n项到第n+5项的和为Tn,则|Tn|取得最小值时的n的值为________.
答案 5或6
解析 由a5=15,a10=-10,得d=-5,a1=35,
则an=40-5n,Tn=3(an+an+5)=15(11-2n),
则|Tn|取得最小值时的n的值为5或6.
13.已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=2(n∈N*),则满足<
eq f(S2n,Sn)<的n的最大值为________.
答案 9
解析 由2an+1+Sn=2,得2(Sn+1-Sn)+Sn=2,
即Sn+1=Sn+1,故Sn+1-2=(Sn-2),
故{Sn-2}是以S1-2=-1为首项,为公比的等比数列,
故Sn-2=(-1)×n-1,从而Sn=2-.
故====1+,
从而<1+<,即10<2n<1 000,
故满足条件的n的最大值为9.
14.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若数列{an}满足an+Sn=An2+Bn+C且A>0,则+B-C的最小值为________.
答案 2
解析 因为{an}为等差数列,设公差为d,
由an+Sn=An2+Bn+C,得a1+(n-1)d+na1+n·(n-1)d=An2+Bn+C,
即n2+n+(a1-d-C)=0对任意正整数n都成立,
所以d-A=0,a1+d-B=0,a1-d-C=0,
所以A=d,B=a1+d,C=a1-d,
所以3A-B+C=0,所以+B-C=+3A≥2.
当且仅当A=时,等号成立.
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