备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：基本不等式的应用 7页

高频考点分析 基本不等式的应用 典型例题： ‎ 例1. （2012年天津市理5分）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是【 】‎ ‎（A） （Ｂ）‎ ‎（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法 ‎【分析】∵直线与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离为，∴。‎ 又∵，∴，即。‎ ‎∴。‎ 设，则，解得。故选D。‎ 例2. （2012年浙江省文5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则的最小值是【 】‎ A. B. C.5 D.6‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】基本不等式或配方法的应用。‎ ‎【解析】∵x+3y=5xy，∴，。‎ ‎ ∴。（或由基本不等式得）‎ ‎ ∴5，即的最小值是5。故选C。‎ 例3. （2012年湖北省理5分）设是正数，且，则【 】[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】柯西不等式不等式的应用，待定系数法的应用。‎ ‎【解析】由柯西不等式知，‎ 而此时恰好满足取等条件。‎ 令，则。[来源:学科网ZXXK]‎ 代入到中得，再将代入得。‎ ‎∵，∴。∴。故选C。‎ 例4. （2012年福建省理5分）下列不等式一定成立的是【 】‎ A．lg＞lgx(x＞0)‎ B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈)‎ D.＞1(x∈)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。‎ ‎【解析】对于A，当x＝时，lg＝lgx，所以A不一定成立；‎ 对于B，当sinx>0时，不等式才成立，所以B不一定成立；‎ 对于C，命题显然正确；‎ 对于D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，所以D不成立.‎ 故选C。‎ 例5. （2012年陕西省文5分）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则【 】‎ A. B. = C. << D. =‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】基本不等式及其应用。‎ ‎【解析】设从甲地到乙地的路程为，则。‎ ‎ 又∵，∴。‎ ‎ ∴。故选A。[来源:学科网ZXXK]‎ 例6. （2012年福建省理7分）已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋‎3c≥9.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}。‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1。‎ ‎（Ⅱ）由(1)知＋＋＝1，‎ 又a，b，c∈R，由柯西不等式得 ‎，‎ ‎ 当且仅当 时，等号成立。‎ 所以a＋2b＋‎3c≥9。‎ ‎【考点】带绝对值的函数，不等式的证明。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由条件可得f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0，故有|x|≤m的解集为[-1，1]，故m=1。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得＋＋＝1，从而 ，展开后可得 ‎，利用基本不等式证明它大于或等于9。‎ 例7. （2012年湖北省文5分）设∈ R，则 “”是“”的【　　　】‎ A.充分条件但不是必要条件　　　　B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 　　　　　　 D.既不充分也不必要的条件 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。‎ ‎【解析】当时，，‎ 而（当且仅当，且，即时等号成立），‎ ‎∴。‎ 当取,显然有,但。‎ ‎∴由不可以推得。‎ 综上，是的充分不必要条件。故选A。‎ 例8. （2012年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；‎ ‎③当时，；‎ ‎④对某个正整数，若，则。‎ 其中的真命题有 ▲ _。（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④。‎ ‎【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。‎ ‎【解析】对于①，若，根据 ‎ 当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=。 故①正确。‎ 对于②，可以采用特殊值列举法：‎ 当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……x2k=1, x2k+1=1,……‎ 此时数列从第二项开始为2，1，2，1……，不成立。故②错误。‎ 对于③，由的定义知，，而为正整数，故，且是整数。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∵对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，‎ ‎∴不论是偶数还是奇数，有。‎ ‎∵和都是整数，‎ ‎∴。‎ 又当时，，‎ ‎∵，∴成立。‎ ‎∴当时，。故③正确。‎ 对于④，当时，， ∴，即。‎ ‎∴，即，解得。‎ 由③，∴。∴。故④正确。‎ 综上所述，真命题有 ①③④ 。‎ 例9. （2012年辽宁省理12分）设，曲线与直线在(0，0)点相切。‎ ‎ (Ⅰ)求的值。‎ ‎ (Ⅱ)证明：当时，。‎ ‎【答案】解：（I）∵过（0，0），∴=0。∴=－1。‎ ‎∵曲线与直线在（0，0）点相切，‎ ‎∴。∴=0。‎ ‎（II）证明：由（I）知。‎ 由均值不等式，当＞0时，，∴。‎ 令。‎ 则 ‎。‎ ‎ 令。‎ 则当时，。‎ ‎ ∴在（0，2）内是单调递减函数。‎ ‎∵又，∴在（0，2）内，。∴在（0，2）内，。‎ ‎∴在（0，2）内是单调递减函数。‎ ‎∵又，∴在（0，2）内，。‎ ‎∴当时，。‎ ‎【考点】导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用，利用导数研究曲线上某点切线方程。[来源:学§科§网]‎ ‎【解析】（I）由过（0，0），可求b的值，根据曲线与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值。‎ ‎（II）由（I）知，由均值不等式，可得 。用差值 法构造函数，可得。构造函数， 利用导数判断在（0，2）内是单调递减函数，从而得到出在（0，2）内是单调递减函数，进而得出结论。‎