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- 2021-06-16 发布
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[练案22]第二课时 三角函数式的化简与求值
A组基础巩固
一、单选题
1.(2020·安徽怀远一中月考)sin 10°sin 50°sin 70°=( C )
A. B.
C. D.
[解析] sin 10°sin 50°sin 70°=sin 10°cos 40°cos 20°===.
2.( C )
A.- B.-
C. D.
[解析] sin 47°=sin (30°+17°)=sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°,∴原式==sin 30°=.
3.(2020·东北四市联考)已知sin (-α)=cos (+α),则cos 2α=( D )
A.1 B.-1
C. D.0
[解析] 因为sin (-α)=cos (+α),所以cos α-sin α=cos α-sin α,即(-)sin α=-(-)cos α,所以tan α==-1,所以cos 2α=cos2α-sin2α===0,故选D.
4.(2020·内蒙古鄂尔多斯四校联考)已知sin θ=-,则sin2(+)=( D )
A. B.
C. D.
- 7 -
[解析] sin2(+)====,故选D.
5.(2020·河南郑州一中月考)若=4,则tan (2α+)=( C )
A. B.
C. D.
[解析] ∵===4,∴tan (2α+)==.故选C.
6.(2020·全国高考信息卷)若α为第二象限角,且sin 2α=sin (α+)cos (π-α),则cos (2α-)的值为( A )
A.- B.
C. D.-
[解析] ∵sin 2α=sin (α+)cos (π-α),
∴2sin αcos α=-cos2α,∵α是第二象限角,
∴cos α≠0,2sin α=-cos α,∴4sin2α=cos2α=1-sin2α,
∴sin2α=,∴cos (2α-)=cos 2α+sin 2α=cos2α-sin2α+2sin αcos α=-sin2α=-,故选A.
二、多选题
7.(2020·湖南岳阳三校第一次联考改编)已知α为三角形内角,且满足cos 2α=sin α,则α的值为( AD )
A.30° B.135°
C.60° D.150°
[解析] 由cos 2α=sin α,得1-2sin2α=sin α,即2sin2α+sin α
- 7 -
-1=0,得sin α=或sin α=-1.因为α为三角形内角,所以sin α=,所以α=30°或150°,故选A、D.
8.(2020·江西九江两校第二次联考改编)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x,若α∈(0,π),且f(α)=,则α的值为( AC )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知f(x)=cos 2xsin 2x+cos 4x=sin 4x+cos 4x=sin (4x+),
因为f(α)=sin (4α+)=,
所以4α+=+2kπ,k∈Z,即α=+,k∈Z.
因为α∈(0,π),所以α=或α=+=,故选A、C.
三、填空题
9.sin 15°+sin 75°= .
[解析] sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin (15°+45°)=sin 60°=.
另解:原式=sin (45°-30°)+sin (45°+30°)
=2sin 45°cos 30°=2××=.
10.化简:= 2cos α .
[解析] 原式==2cos α.
11.(2020·福建龙岩第一次质量检测)化简:-sin 10°(-tan 5°)的值为 .
- 7 -
[解析] 原式=-sin 10°(-)=-sin 10°×====.
12.(2020·河南濮阳模拟)设0°<α<90°,若sin (75°+2α)=-,则sin (15°+α)·sin (75°-α)= .
[解析] 因为0°<α<90°,所以75°<75°+2α<255°.又因为sin (75°+2α)=-<0,所以180°<75°+2α<255°,角75°+2α为第三象限角,所以cos (75°+2α)=-,所以sin (15°+α)·sin (75°-α)=sin (15°+α)·cos (15°+α)=sin (30°+2α)=sin [(75°+2α)-45°]=[sin (75°+2α)cos 45°-cos (75°+2α)·sin 45°]=×(-×+×)=.
四、解答题
13.(2020·江西临川一中月考)已知00,cos (α+β)<0.
∵cos (β-)=,sin (α+β)=,
∴sin (β-)=,cos (α+β)=-.
∴cos (α+)=cos [(α+β)-(β-)]=cos (α+β)·cos (β-)+sin (α+β)sin(β-)=-×+×=.
B组能力提升
1.(2020·巴中模拟)化简(tan α+)·sin 2α-2cos2α=( D )
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A.cos2α B.sin2α
C.cos 2α D.-cos 2α
[解析] 原式=(+)·sin αcos α-2cos2α=(sin2α+cos2α)-2cos2α=1-2cos2α=-cos 2α.
2.(2020·贵州遵义模拟)已知θ是第一象限角,若sin 4θ+cos 4θ=,则sin 2θ=( C )
A. B.-
C. D.-
[解析] ∵sin2θ+cos2θ=1,∴sin 4θ+cos 4θ+2sin2θcos2θ=1,∵sin 4θ+cos 4θ=,∴2sin2θcos2θ=sin22θ=,∵θ是第一象限角,∴sin 2θ=,故选C.
3.(多选题)(2020·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=( CD )
A.π B.π
C. D.π
[解析] ∵3π≤θ≤4π,∴≤≤2π,∴cos >0,sin <0,则+=+=cos -sin =cos (+)=,
∴cos (+)=,∴+=+2kπ或+=-+2kπ,k∈Z,即θ=-+4kπ或θ=-+4kπ,k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ=或,故选C、D.
4.已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈(-,),则α+β= - .
[解析] 由已知,得tan α+tan β=-3a,tan αtan β=3a+1,∴tan (α+β)=1.∵α,β∈(-,),tan α+tan β=-3a<0,tan αtan β=3a+1>0,∴tan α<0,tan β<0,∴α,β∈(-,0),
- 7 -
∴α+β∈(-π,0),∴α+β=-.
5.(2020·广东名校联考)已知向量m=(2,sin α),n=(cos α,-1),其中α∈(0,),且m⊥n.
(1)求sin 2α和cos 2α的值;
(2)若sin (α-β)=,且β∈(0,),求角β.
[解析] ∵m⊥n,∴2cos α-sin α=0,即sin α=2cos α.代入cos2α+sin2α=1中,得5cos2α=1,且α∈(0,),则cos α=,sin α=.则sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
(2)∵α∈(0,),β∈(0,),∴α-β∈(-,).
又sin (α-β)=,∴cos (α-β)=.
∴sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=×-×=.又由β∈(0,),得β=.
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