2018届高三数学（理）一轮复习三角函数与解三角形考点专练 7页

板块命题点专练（六） 命题点一 简单的三角恒等变换 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A．－ 3 2 B． 3 2 C．－1 2 D．1 2 解析：选 D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1 2 ，故选 D． 2．(2016·全国甲卷)若 cos π 4 －α ＝3 5 ，则 sin 2α＝( ) A． 7 25 B．1 5 C．－1 5 D．－ 7 25 解析：选 D 因为 cos π 4 －α ＝3 5 ， 所以 sin 2α＝cos π 2 －2α ＝cos 2 π 4 －α ＝2cos2 π 4 －α －1＝2× 9 25 －1＝－ 7 25 ． 3．(2016·全国丙卷)若 tan θ＝－1 3 ，则 cos 2θ＝( ) A．－4 5 B．－1 5 C．1 5 D．4 5 解析：选 D ∵cos 2θ＝cos2θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ ＝1－tan2θ 1＋tan2θ ， 又∵tan θ＝－1 3 ，∴cos 2θ＝ 1－1 9 1＋1 9 ＝4 5 ． 4．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且 sin θ＋π 4 ＝3 5 ，则 tan θ－π 4 ＝________． 解析：由题意知 sin θ＋π 4 ＝3 5 ，θ是第四象限角， 所以 cos θ＋π 4 ＞0， 所以 cos θ＋π 4 ＝ 1－sin2 θ＋π 4 ＝4 5 ． tan θ－π 4 ＝tan θ＋π 4 －π 2 ＝－ sin π 2 － θ＋π 4 cos π 2 － θ＋π 4 ＝－ cos θ＋π 4 sin θ＋π 4 ＝－4 5 ×5 3 ＝－4 3 ． 答案：－4 3 5．(2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若 tan θ＋π 4 ＝1 2 ，则 sin θ＋cos θ＝________． 解析：由θ在第二象限，且 tan θ＋π 4 ＝1 2 ，得 sin θ＋π 4 ＝－ 5 5 ，故 sin θ＋cos θ＝ 2sin θ＋π 4 ＝－ 10 5 ． 答案：－ 10 5 6．(2015·四川高考)已知 A，B，C 为△ABC 的内角，tan A，tan B是关于 x 的方程 x2 ＋ 3px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根． (1)求 C 的大小； (2)若 AB＝3，AC＝ 6，求 p 的值． 解：(1)由已知，方程 x2＋ 3px－p＋1＝0 的判别式Δ＝( 3p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－ 4≥0， 所以 p≤－2 或 p≥2 3 ． 由根与系数的关系， 有 tan A＋tan B＝－ 3p，tan Atan B＝1－p， 于是 1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0， 从而 tan(A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝－ 3p p ＝－ 3． 所以 tan C＝－tan(A＋B)＝ 3，所以 C＝60°． (2)由正弦定理，得 sin B＝ACsin C AB ＝ 6sin 60° 3 ＝ 2 2 ， 解得 B＝45°或 B＝135°(舍去)． 于是 A＝180°－B－C＝75°． 则 tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝ tan 45°＋tan 30° 1－tan 45°tan 30° ＝ 1＋ 3 3 1－ 3 3 ＝2＋ 3． 所以 p＝－ 1 3 (tan A＋tan B) ＝－ 1 3 (2＋ 3＋1) ＝－1－ 3． 命题点二 解三角形 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝ 5，c＝2， cos A＝2 3 ，则 b＝( ) A． 2 B． 3 C．2 D．3 解析：选 D 由余弦定理得 5＝b2＋4－2×b×2×2 3 ， 解得 b＝3 或 b＝－1 3(舍去)，故选 D． 2．(2016·全国丙卷)在△ABC 中，B＝π 4 ，BC 边上的高等于 1 3BC，则 cos A＝( ) A．3 10 10 B． 10 10 C．－ 10 10 D．－3 10 10 解析：选 C 法一：设△ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 则由题意得 S△ABC＝1 2a·1 3a＝1 2acsin B，∴c＝ 2 3 a． 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋2 9a2－2×a× 2 3 a× 2 2 ＝5 9a2，∴b＝ 5 3 a． ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 5 9 a2＋2 9 a2－a2 2× 5 3 a× 2 3 a ＝－ 10 10 ．故选 C． 法二：如图，AD 为△ABC 中 BC 边上的高．设 BC＝a，由题意知 AD＝1 3BC＝1 3a，B ＝π 4 ，易知 BD＝AD＝1 3a，DC＝2 3a． 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得， AB＝ 1 3a 2＋ 1 3a 2＝ 2 3 a． 同理，在 Rt△ACD 中，AC＝ 1 3a 2＋ 2 3a 2＝ 5 3 a． ∴cos A＝ 5 9a2＋2 9a2－a2 2× 5 3 a× 2 3 a ＝－ 10 10 ． 3．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是1 2 ，AB＝1，BC＝ 2，则 AC＝( ) A．5 B． 5 C．2 D．1 解析：选 B 由题意可得 1 2AB·BC·sin B＝1 2 ，又 AB＝1，BC＝ 2，所以 sin B＝ 2 2 ，所 以 B＝45°或 B＝135°．当 B＝45°时，由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1， 此时 AC＝AB＝1，BC＝ 2，易得 A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以 B＝ 135°．由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝ 5． 4．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A＝4 5 ，cos C ＝ 5 13 ，a＝1，则 b＝________． 解析：因为 A，C 为△ABC 的内角，且 cos A＝4 5 ，cos C＝ 5 13 ， 所以 sin A＝3 5 ，sin C＝12 13 ， 所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝3 5 × 5 13 ＋4 5 ×12 13 ＝63 65 ． 又 a＝1，所以由正弦定理得 b＝asin B sin A ＝63 65 ×5 3 ＝21 13 ． 答案：21 13 5．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测 得∠MCA＝60°，已知山高 BC＝100 m，则山高 MN＝________m． 解析：在△ABC 中，AC＝100 2 m，在△MAC 中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°， 由正弦定理得 MA sin 60° ＝ AC sin 45° ，解得 MA＝100 3 m，在△MNA 中，MN＝MA·sin 60°＝150 m．即山高 MN 为 150 m． 答案：150 6．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B ＋bcos A)＝c． (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 3 2 ，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故 2sin Ccos C＝sin C． 可得 cos C＝1 2 ，所以 C＝π 3 ． (2)由已知得 1 2absin C＝3 3 2 ． 又 C＝π 3 ，所以 ab＝6． 由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7， 故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25． 所以△ABC 的周长为 5＋ 7． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求sin B sin C ； (2)若 AD＝1，DC＝ 2 2 ，求 BD 和 AC 的长． 解：(1)S△ABD＝1 2AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝1 2AC·ADsin∠CAD． 因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC． 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝1 2 ． (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2． 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC． 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6． 由(1)，知 AB＝2AC，所以 AC＝1． 命题点三 三角函数与解三角形的综合问题 命题指数：☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：解答题 1．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcos C＋ csinB． (1)求 B； (2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得， sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又 A＝π－(B＋C)， 故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和 C∈(0，π)得 sin B＝cos B． 又 B∈(0，π)，所以 B＝π 4 ． (2)△ABC 的面积 S＝1 2acsin B＝ 2 4 ac． 由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－2accosπ 4 ． 又 a2＋c2≥2ac，故 ac≤ 4 2－ 2 ＝4＋2 2，当且仅当 a＝c 时等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为 2 4 (4＋2 2)＝ 2＋1． 2．(2015·山东高考)设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π 4 ． (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 f A 2 ＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意知 f(x)＝sin 2x 2 －1＋cos 2x＋π 2 2 ＝sin 2x 2 －1－sin 2x 2 ＝sin 2x－1 2 ． 由－π 2 ＋2kπ≤2x≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， 可得－π 4 ＋kπ≤x≤π 4 ＋kπ，k∈Z； 由π 2 ＋2kπ≤2x≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 可得π 4 ＋kπ≤x≤3π 4 ＋kπ，k∈Z． 所以 f(x)的单调递增区间是 －π 4 ＋kπ，π 4 ＋kπ (k∈Z)； 单调递减区间是 π 4 ＋kπ，3π 4 ＋kπ (k∈Z)． (2)由 f A 2 ＝sin A－1 2 ＝0，得 sin A＝1 2 ， 由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 3 2 ． 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc， 即 bc≤2＋ 3，当且仅当 b＝c 时等号成立． 因此 1 2bcsin A≤2＋ 3 4 ． 所以△ABC 面积的最大值为2＋ 3 4 ．