高考理科数学二轮专项训练专题：03 三角函数与解三角形 13页

专题04 三角函数与解三角形 ‎ 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅲ)若，则 A． B． C． D．‎ B【解析】．故选B．‎ ‎2．若 ，则 ‎ A． B． C．1 D． ‎ A【解析】由，，得，或 ‎，，所以，‎ 则，故选A．‎ ‎3．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ D【解析】因为，所以，‎ 所以,所以,故选D．‎ ‎4．‎ A． B． C． D．‎ D【解析】原式=．‎ ‎5．(2018全国卷Ⅱ)若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D．‎ A【解析】解法一，且函数在区间 上单调递减，则由，得．‎ 因为在上是减函数，所以，解得，‎ 解法二 因为，所以，‎ 则由题意，知在上恒成立，‎ 即，即，在上恒成立，结合函数 的图象可知有，解得，所以，‎ 所以的最大值是，故选A．‎ ‎6．(2018天津)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 A【解析】把函数的图象向右平移个单位长度得函数 的图象，‎ 由()得()，‎ 令，得，‎ 即函数的一个单调递增区间为，故选A．‎ ‎7．(2018北京)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ C【解析】由题意可得 ‎（其中，），∵,‎ ‎∴，，‎ ‎∴当时，取得最大值3，故选C． ‎ ‎8．已知曲线：，：，则下面结论正确的是 A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 D【解析】把的解析式运用诱导公式变为余弦，‎ ‎：‎ 则由图象横坐标缩短为原来的，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．选D ‎9．(2018北京)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ C【解析】由题意可得 ‎（其中，），∵,‎ ‎∴，，‎ ‎∴当时，取得最大值3，故选C． ‎ ‎10．设函数，则的最小正周期 A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 B【解析】由于．‎ 当时，的最小正周期为；当时，的最小正周期；‎ 的变化会引起的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B．‎ 注：在函数中，的最小正周期是和的最小正周期的公倍数．‎ ‎11．(2018全国卷Ⅱ)在中，，，，则 A． B． C． D．‎ A【解析】因为，所以由余弦定理，‎ 得，‎ 所以，故选A．‎ ‎12．(2018全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则 A． B． C． D．‎ C【解析】根据题意及三角形的面积公式知，‎ 所以，所以在中，．故选C．‎ ‎13．在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A． B． C． D．‎ A【解析】由，‎ 得，‎ 即，所以，即，选A．‎ ‎14．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C【解析】==故选：C ‎15．若函数的图像向左平移（）个单位，所得的图像关于轴对称，则当最小时，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B【解析】将函数的图像向左平移（）个单位后,得到函数,‎ 因为其图像关于轴对称,所以,,即,,‎ 因为,所以时,取得最小值,此时.故选B.‎ 二、填空题 ‎16．(2018全国卷Ⅰ)已知函数，则的最小值是_____．‎ ‎【解析】解法一 因为，‎ 所以，‎ 由得，即，，‎ 由得，即 或，，‎ 所以当（）时，取得最小值，‎ 且．‎ 解法二 因为，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以，‎ 所以的最小值为．‎ 17． ‎(2018全国卷Ⅱ)已知，，则___．‎ ‎【解析】∵，，‎ ‎∴ ①，‎ ‎ ②，‎ ‎①②两式相加可得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎18．(2018北京)设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为___．‎ ‎【解析】由于对任意的实数都有成立，故当时，函数有最大值，故，()，∴()，‎ 又，∴．‎ ‎19.(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为_____．‎ ‎3【解析】由题意知，，所以，，‎ 所以，，当时，；当时，；‎ 当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．‎ ‎20．(2018江苏)已知函数的图象关于直线对称，则的值是 ．‎ ‎【解析】由函数的图象关于直线对称，‎ 得，因为，所以，‎ 则，．‎ ‎21．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点 个数是 ．‎ ‎7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．‎ ‎22．(2018江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．‎ ‎9【解析】因为，的平分线交于点，‎ 所以，‎ 由三角形的面积公式可得，‎ 化简得，又，，所以，‎ 则，‎ 当且仅当时取等号，故的最小值为9．‎ ‎23．(2018浙江)在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则=___________，=___________．‎ ‎；3【解析】因为，，，所以由正弦定理得 ‎．由余弦定理可得 ‎，所以．‎ ‎24．已知,,． 点为延长线上一点,,连结,则的面积是___________，=__________．‎ ‎,【解析】由余弦定理可得，，‎ 由所以，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 因为，所以，所以，‎ ‎．‎ ‎25．在中, ,则_______．‎ ‎【答案】【解析】由正弦定理可得 由余弦定理可得故答案为：‎ ‎26．已知函数.‎ ‎①的最大值为________ ；‎ ‎②设当时，取得最大值，则______.‎ ‎【答案】 【解析】‎ ‎①， (其中 ，)‎ 当，即时，取最大值 ‎②由题意可知 故答案为：；‎ 三、解答题 ‎27．（2018江苏）已知为锐角，，．‎ ‎(1)求的值；(2)求的值．‎ ‎【解析】(1)因为，，所以．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ ‎(2)因为为锐角，所以．‎ 又因为，所以，‎ 因此．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ ‎28．（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．‎ ‎(1)求的值；(2)若角满足，求的值．‎ ‎【解析】(1)由角的终边过点得，‎ 所以．‎ ‎(2)由角的终边过点得，‎ 由得．‎ 由得，‎ 所以或．‎ ‎29．（2018上海）设常数，函数．‎ ‎(1)若为偶函数，求的值；‎ ‎(2)若，求方程在区间上的解．‎ ‎【解析】(1)若为偶函数，则对任意，均有；‎ 即，‎ 化简得方程对任意成立，故；‎ ‎(2)，所以，‎ 故．‎ 则方程，即，‎ 所以，化简即为，‎ 即，解得或，‎ 若求该方程在上有解，则，，‎ 即或1；或1，‎ 对应的的值分别为：、、、．‎ ‎30．已知向量，，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ ‎【解析】（1）因为，，，‎ 所以．‎ 若，则，与矛盾，故．‎ 于是．‎ 又，所以．‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值.‎ ‎31．设．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，，求△‎ 面积的最大值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意 ‎．‎ 由()，可得()；‎ 由()，得()；‎ 所以的单调递增区间是（）；‎ 单调递减区间是（）．‎ ‎（Ⅱ），，‎ 由题意是锐角，所以 ．‎ 由余弦定理：，‎ 可得 ‎，且当时成立．‎ ‎．面积最大值为．‎ ‎32．（2018全国卷Ⅰ）在平面四边形中，，，，．‎ ‎(1)求；(2)若，求．‎ ‎【解析】(1)在中，由正弦定理得．‎ 由题设知，，所以．‎ 由题设知，，所以．‎ ‎(2)由题设及(1)知，．‎ 在中，由余弦定理得 ‎．‎ 所以．‎ ‎33．（2018天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．‎ ‎(1)求角的大小； ‎ ‎(2)设，，求和的值．‎ ‎【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，‎ 又由，得，‎ 即，可得．‎ 又因为，可得．‎ ‎(2)在中，由余弦定理及，，，‎ 有，故．‎ 由，可得．因为，故．‎ 因此， ‎ 所以， ‎