2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（三十八） 双曲线命题3角度用定义求方程研性质 9页

高考达标检测（三十八） 双曲线命题 3 角度 ——用定义、求方程、研性质 一、选择题 1．若双曲线 C1：x2 2 －y2 8 ＝1 与 C2：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线 C2 的焦距为 4 5，则 b＝( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选 B 由题意得，b a ＝2⇒b＝2a，C2 的焦距 2c＝4 5⇒c＝ a2＋b2＝2 5⇒b＝4. 2．椭圆 x2 m2 ＋y2 n2 ＝1(m>n>0)与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的公共焦点为 F1，F2，若 P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( ) A．m－a B．m2－a2 C.m－a 2 D. m－ a 解析：选 B 由题意，不妨设 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a， ∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2. 3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x2－y2＝1，过 C1 的左顶点引 C1 的一 条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积为( ) A. 2 4 B. 2 2 C. 2 8 D. 2 16 解析：选 C 双曲线 C1：2x2－y2＝1，即x2 1 2 －y2＝1， 所以左顶点 A － 2 2 ，0 ， 渐近线方程 y＝± 2x， 过点 A 与渐近线 y＝ 2x 平行的直线方程为 y＝ 2 x＋ 2 2 ，即 y＝ 2x＋1. 解方程组 y＝－ 2x， y＝ 2x＋1， 得 x＝－ 2 4 ， y＝1 2 ， 所以该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 S＝1 2|OA|·|y|＝1 2 × 2 2 ×1 2 ＝ 2 8 . 4．已知双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|＝6，P 是 E 右支上一点，PF1 与 y 轴交于点 A，△PAF2 的内切圆在边 AF2 上的切点为 Q，若|AQ| ＝ 3，则 E 的离心率为( ) A．2 3 B. 5 C. 3 D. 2 解析：选 C 如图，设△PAF2 的内切圆在边 PF2 上的切点为 M， 在 AP 上的切点为 N， 则|PM|＝|PN|，|AQ|＝|AN|＝ 3，|QF2|＝|MF2|， 由双曲线的对称性可得， |AF1|＝|AF2|＝|AQ|＋|QF2|＝ 3＋|QF2|， 由双曲线的定义可得， |PF1|－|PF2|＝|PA|＋|AF1|－|PM|－|MF2| ＝ 3＋|QF2|＋|AN|＋|NP|－|PM|－|MF2| ＝2 3＝2a， 解得 a＝ 3，又|F1F2|＝6，则 c＝3， 故离心率 e＝c a ＝ 3. 5．已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线 相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 5 2 B. 5 C. 2 D．2 解析：选 C 将 x＝c 代入双曲线方程可得|y|＝b2 a ， 因为以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲 线的实轴垂直，所以圆的半径为b2 a ， 又双曲线的渐近线方程为 bx±ay＝0， 所以 bc b2＋a2 ＝b2 a ，化简可得 a＝b， 则双曲线的离心离为 2. 6．(2018·东北四校联考)已知点 F1，F2 为双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦 点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率 为( ) A. 3＋1 2 B. 5＋1 2 C. 3 D. 5 解析：选 A 如图，在△PF1F2 中，|PF2|＝|F1F2|＝2c， 又 ∠ F1F2P ＝ 120° ， 由 余 弦 定 理 可 得 |PF1|2 ＝ |F1F2|2 ＋ |PF2|2 － 2|F1F2|·|PF2|·cos 120°＝12c2，所以|PF1|＝2 3c. 由双曲线的定义可得 2a＝|PF1|－|PF2|＝2 3c－2c＝2( 3－1)c. 故双曲线的离心率 e＝2c 2a ＝ 2c 2 3－1c ＝ 3＋1 2 . 7．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，A 为 右顶点，P 为双曲线左支上一点，若 |PF2|2 |PF1|－|OA| 存在最小值为 12a，则双曲线在一、三象限 的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( ) A.1 5 B.1 2 C.2 6 5 D. 3 5 解析：选 A 设|PF1|－|OA|＝m，则 |PF2|2 |PF1|－|OA| ＝3a＋m2 m ＝m＋9a2 m ＋6a≥12a， 当且仅当 m＝3a 时取等号，∴|PF1|＝4a， ∴4a≥c－a，∴5a≥c， ∴25a2≥a2＋b2，∴b a ≤2 6， 设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α， 则 0＜tan α≤2 6，∴cos α≥1 5 ， ∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为1 5. 8．已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某一条渐近线交于两点 P，Q，若∠PAQ＝60°且 OQ―→＝5 OP―→，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A．2 B. 21 3 C. 7 2 D．3 解析：选 B 如图，因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|， 所以△QAP 为等边三角形． 设|AQ|＝2R，因为 OQ―→＝5 OP―→， 所以|PQ|＝2R，|OP|＝1 2R. 又渐近线方程为 y＝b ax，A(a,0), 取 PQ 的中点 M，则|AM|＝ |ab| a2＋b2 ， 由勾股定理可得(2R)2－R2＝ |ab| a2＋b2 2， 所以(ab)2＝3R2(a2＋b2)． ① 在△OQA 中， 5 2R 2＋2R2－a2 2·5 2R·2R ＝1 2 ， 所以 21 4 R2＝a2. ② 联立①②并结合 c2＝a2＋b2，可得 c2＝7 4b2＝7 4(c2－a2)， 即 3c2＝7a2，所以 e＝c a ＝ 7 3 ＝ 21 3 . 二、填空题 9．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2 3 －y2＝1 的右准线与它的两条 渐近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是________． 解析：由题意得，双曲线的右准线 x＝3 2 与两条渐近线 y＝± 3 3 x 的交点坐标为 3 2 ，± 3 2 . 不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2， 则 F1(－2,0)，F2(2,0)， 故四边形 F1PF2Q 的面积是1 2|F1F2|·|PQ|＝1 2 ×4× 3＝2 3. 答案：2 3 10．(2017·山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右支与 焦点为 F 的抛物线 x2＝2py(p>0)交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近 线方程为________． 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 |AF|＝y1＋p 2 ，|BF|＝y2＋p 2 ，|OF|＝p 2 ， 由|AF|＋|BF|＝y1＋p 2 ＋y2＋p 2 ＝y1＋y2＋p ＝4|OF|＝2p，得 y1＋y2＝p. 联立 x2 a2 －y2 b2 ＝1， x2＝2py 消去 x，得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 所以 y1＋y2＝2pb2 a2 ，所以2pb2 a2 ＝p，即b2 a2 ＝1 2 ，故b a ＝ 2 2 ， 所以双曲线的渐近线方程为 y＝± 2 2 x. 答案：y＝± 2 2 x 11．已知 F1，F2 为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F2 作双曲线渐近线 的垂线，垂足为 P，若|PF1|2－|PF2|2＝c2，则双曲线的离心率 e＝__________. 解析：设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝b ax，F2(c,0)到渐近线的 距离为 d＝|PF2|＝ bc a2＋b2 ＝b，cos∠POF2＝ c2－b2 c ＝a c ， 在△POF1 中，|PF1|2＝|PO|2＋|OF1|2－2|PO|·|OF1|·cos∠POF1 ＝a2＋c2－2ac· －a c ＝3a2＋c2， 则|PF1|2－|PF2|2＝3a2＋c2－b2＝4a2＝c2， ∴e＝c a ＝2. 答案：2 12．过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，与双曲线的渐近线交于 C，D 两点，若|AB|≥3 5|CD|，则双曲线的离心率 e 的取值范 围为__________． 解析：设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为(c,0)， 将 x＝c 代入双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1，得 y＝±b2 a ， 令 A c，b2 a ，B c，－b2 a ， ∴|AB|＝2b2 a .将 x＝c 代入 y＝±b ax，得 y＝±bc a ， 令 C c，bc a ，D c，－bc a ， ∴|CD|＝2bc a . ∵|AB|≥3 5|CD|，∴2b2 a ≥3 5·2bc a ，即 b≥3 5c， 则 b2＝c2－a2≥ 9 25c2， 即 16 25c2≥a2，∴e2＝c2 a2 ≥25 16 ，即 e≥5 4. 答案： 5 4 ，＋∞ 三、解答题 13．已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点 F2 作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A，B， 求|AB|. 解：(1)∵双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一个顶点， ∴ c a ＝ 3， a＝ 3， 解得 c＝3，b＝ 6， ∴双曲线的方程为x2 3 －y2 6 ＝1. (2)双曲线x2 3 －y2 6 ＝1 的右焦点为 F2(3,0)， ∴经过双曲线右焦点 F2 且倾斜角为 30°的直线的方程为 y＝ 3 3 (x－3)． 联立 x2 3 －y2 6 ＝1， y＝ 3 3 x－3， 得 5x2＋6x－27＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－6 5 ，x1x2＝－27 5 . 所以|AB|＝ 1＋1 3 × －6 5 2－4× －27 5 ＝16 3 5 . 14．已知椭圆 C1 的方程为x2 4 ＋y2＝1，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点， 而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点，O 为坐标原点． (1)求双曲线 C2 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA―→ · OB―→＞2，求 k 的取值范围． 解：(1)设双曲线 C2 的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)， 则 a2＝4－1＝3，c2＝4，再由 a2＋b2＝c2，得 b2＝1， 故双曲线 C2 的方程为x2 3 －y2＝1. (2)将 y＝kx＋ 2代入x2 3 －y2＝1， 得(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点， 得 1－3k2≠0， Δ＝－6 2k2＋361－3k2＝361－k2＞0， ∴k2＜1 且 k2≠1 3.① 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ 6 2k 1－3k2 ，x1x2＝ －9 1－3k2. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ 2)(kx2＋ 2) ＝(k2＋1)x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2 ＝3k2＋7 3k2－1 . 又∵ OA―→· OB―→＞2，即 x1x2＋y1y2＞2， ∴3k2＋7 3k2－1 ＞2，即－3k2＋9 3k2－1 ＞0，解得1 3 ＜k2＜3.② 由①②得1 3 ＜k2＜1， 故 k 的取值范围为 －1，－ 3 3 ∪ 3 3 ，1 . 1．(2018·江西吉安一中测试)在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD| ＝2x，其中 x∈(0,1)，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C，D 为焦点且 过点 A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x∈(0,1)，不等式 t 2 1＋4－1 ＋ 1＋4－1 2 ＝ 5. 因为对任意 x∈(0,1)，不等式 t2，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为( ) A. 0， 6 2 B. 1， 6 2 C. 6 2 ，＋∞ D. 1，3 2 解析：选 B 设 M(x0，y0)，A1(0，a)，A2(0，－a)， 则 kMA1 ＝y0－a x0 ，kMA2 ＝y0＋a x0 ， ∴kMA1·kMA2 ＝y20－a2 x20 >2.(*) 又点 M(x0，y0)在双曲线y2 a2 －x2 b2 ＝1 上， ∴y20＝a2 x20 b2 ＋1 ，代入(*)式化简得，a2 b2 ＞2，∴b2 a2 ＜1 2 ， ∴c2－a2 a2 ＝e2－1＜1 2 ，解得 1＜e＜ 6 2 . 3．已知双曲线x2 9 －y2 27 ＝1 与点 M(5,3)，F 为右焦点，若双曲线上有一点 P，则|PM|＋1 2|PF| 的最小值为__________． 解析：双曲线x2 9 －y2 27 ＝1，焦点在 x 轴上，a＝3，b＝3 3，c＝ a2＋b2＝6. ∴双曲线的离心率 e＝c a ＝2，右准线 l：x＝a2 c ＝3 2 ， 过 P 作 PN⊥l 于点 N， 由双曲线的第二定义可知：|PF| |PN| ＝e， ∴|PF|＝e|PN|＝2|PN|, ∴|PN|＝1 2|PF|， 因此|PM|＋1 2|PF|＝|PM|＋|PN|， 当且仅当 M，N，P 三点共线时，|PM|＋1 2|PF|＝|MN|时取得最小值， ∴|PM|＋1 2|PF|的最小值为 5－3 2 ＝7 2. 答案：7 2