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- 2021-06-16 发布
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第30讲 数列求和及数列实际问题
一.【课标要求】
1.探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法;
2.能在具体的问题情境中,发现数列的数列的通项和递推关系,并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。
二.【命题走向】
数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位,一般情况下都是出一道解答题,解答题大多以数列为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法,这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,它们都属于中、高档题目
有关命题趋势:
1.数列是一种特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具,三者的综合题是对基础和能力的双重检验,在三者交汇处设计试题,特别是代数推理题是高考的重点;
2.数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点,这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力,能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度;
3.数列与新的章节知识结合的特点有可能加强,如与解析几何的结合等;
4.有关数列的应用问题也一直备受关注
预测2010年高考对本将的考察为:
1.可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题;
2.也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题,以及数列、数学归纳法等有机结合
三.【要点精讲】
1.数列求通项与和
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系式:an= 。
(2)求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列;
②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1;
③归纳、猜想法。
(3)数列前n项和
①重要公式:1+2+…+n=n(n+1);
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1);
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2;
②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;
③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;
④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:
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、=-、n·n!=(n+1)!-n!、Cn-1r-1=Cnr-Cn-1r、=-等
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错项相消法。, 其中是等差数列, 是等比数列,记,则,…
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn。
数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法
⑦通项分解法:
2.递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1,及a1=1,确定的数列即为递归数列
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种:
(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。
(2)迭代法。
(3)代换法。包括代数代换,对数代数,三角代数。
(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题
四.【典例解析】
题型1:裂项求和
例1.已知数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,求和:。
解析:首先考虑,则=。
点评:已知数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,下列求和也可用裂项求和法。
例2.求。
解析:,
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点评:裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。
题型2:错位相减法
例3.设a为常数,求数列a,2a2,3a3,…,nan,…的前n项和。
解析:①若a=0时,Sn=0;
②若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=;
③若a≠1,a≠0时,Sn-aSn=a(1+a+…+an-1-nan),
Sn=。
例4.已知,数列是首项为a,公比也为a的等比数列,令,求数列的前项和。
解析:,
①-②得:,
点评:设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。
题型3:倒序相加
例5.求。
解析:。 ①
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又。 ②
所以。
点评:Sn表示从第一项依次到第n项的和,然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和,将所得两式相加,由此得到Sn的一种求和方法。
例6.设数列是公差为,且首项为的等差数列,
求和:
解析:因为,
,
。
点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列的前项和,是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。
题型4:其他方法
例7.求数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前n项和。
解析:本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数,故。
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例8.求数列1,3+,32+,……,3n+的各项的和。
解析:其和为(1+3+……+3n)+(+……+)==(3n+1-3-n)。
题型5:数列综合问题
例9.(2009湖北卷文)设记不超过的最大整数为[],令{}=-[],则{},[],
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
【答案】B
【解析】可分别求得,.则等比数列性质易得三者构成等比数列.
例10.(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成(≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别一次成等差数列,若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)= ,…,f(n)= (n+1)(n+2)
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答案
解析 当n=3时,如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示,即由条件知
即
进一步可求得。由上知中有三个数,中 有6个数,中共有10个数相加 ,中有15个数相加….,若中有个数相加,可得中有个数相加,且由
可得所以
=
题型6:数列实际应用题
例11.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元;两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多?
(取)
解析:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列,
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①甲方案获利:(万元),
银行贷款本息:(万元),
故甲方案纯利:(万元),
②乙方案获利:
(万元);
银行本息和:
(万元)
故乙方案纯利:(万元);
综上可知,甲方案更好。
点评:这是一道比较简单的数列应用问题,由于本息金与利润是熟悉的概念,因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解
例12.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)
已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足-=+().
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列{前项和为,问>的最小正整数是多少?
解(1),
,,
.
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又数列成等比数列, ,所以 ;
又公比,所以 ;
又,, ;
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列, ,
当, ;
();
(2)
;
由得,满足的最小正整数为112.
题型7:课标创新题
例13.(2009广东卷理)知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
解:(1)设直线:,联立得,则,∴
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(舍去)
,即,∴
(2)证明:∵
∴
由于,可令函数,则,令,得,给定区间,则有,则函数在上单调递减,∴,即在恒成立,又,
则有,即.
例14.(2009安徽卷理)首项为正数的数列满足
(I)证明:若为奇数,则对一切都是奇数;
(II)若对一切都有,求的取值范围.
解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,
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则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法,对任何,都是奇数
(II)(方法一)由知,当且仅当或。
另一方面,若则;若,则
根据数学归纳法,
综合所述,对一切都有的充要条件是或。
(方法二)由得于是或。
因为所以所有的均大于0,因此与同号。
根据数学归纳法,,与同号。
因此,对一切都有的充要条件是或。
五.【思维总结】
1.数列求和的常用方法
(1)公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列;
(2)裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等;
(3)错位相减法:适用于其中{ }是等差数列,是各项不为0的等比数列。
(4)倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
(5)分组求和法
(6)累加(乘)法等
2.常用结论
(1) 1+2+3+...+n =
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(2)1+3+5+...+(2n-1) =
(3)
(4)
(5)
(6)
3.数学思想
(1)迭加累加(等差数列的通项公式的推导方法)若,则……;
(2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若,则……;
(3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法);
(4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法)
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