高考文科数学复习备课课件：第八节　直线与圆锥曲线 26页

文数 课标版 第八节　直线与圆锥曲线 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax + By + C =0 ( A , B 不同时为0)与圆锥曲线 r 的方程 F ( x , y )=0联立,消去 y (也可以消去 x ) 得到一个关于变量 x (或变量 y )的方程,即联立   消去 y (或 x ) 后得 ax 2 + bx + c =0(或 ay 2 + by + c =0). 教材研读 (1)当 a ≠ 0时,若①     Δ>0     ,则直线 l 与曲线 r 相交;若②     Δ=0     ,则直线 l 与曲线 r 相切;若③     Δ<0     ,则直线 l 与曲线 r 相离. (2)当 a =0时,得到一个一次方程,则直线 l 与曲线 r 相交,且只有一个交点, 此时,若 r 为双曲线,则直线 l 与双曲线的④ 　渐近线     平行;若 r 为抛物线, 则直线 l 与抛物线的⑤ 　对称轴     平行或重合. 直线 l : f ( x , y )=0,圆锥曲线 r : F ( x , y )=0, l 与 r 有两个不同的交点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 A 、 B 两点的坐标是方程组   的两组解,方程组消元后化为 关于 x (或 y )的一元二次方程 ax 2 + bx + c =0(或 ay 2 + by + c =0),判别式 Δ = b 2 -4 ac , 应有 Δ >0,所以 x 1 , x 2 (或 y 1 , y 2 )是方程 ax 2 + bx + c =0(或 ay 2 + by + c =0)的两个根. 由根与系数的关系得 x 1 + x 2 =-   , x 1 · x 2 =     ,以此结合 弦长公式可整体代入求值. A 、 B 两点间的距离| AB |=⑥        | x 1 - x 2 |     =   ·   (其中 k 为直线 l 的斜率),也可以写成关于 y 的形式, 即| AB |=⑦        | y 1 - y 2 |     =   ·   ( k ≠ 0).特殊地,如果 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 直线 l 过抛物线的焦点,抛物线方程以 y 2 =2 px ( p >0)为例,那么| AB |= ⑧      x 1 + x 2 + p      . 3.弦 AB 的中点与直线 AB 斜率的关系 (1)已知 AB 是椭圆   +   =1( a > b >0)的一条弦,其中点 M 的坐标为( x 0 , y 0 ).运 用点差法求直线 AB 的斜率,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )( x 1 ≠ x 2 ),∵ A , B 都在椭圆上, ∴   两式相减得   +   =0, ∴   +   =0, ∴   =-   =-   ,故 k AB =-   . (2)已知 AB 是双曲线   -   =1( a >0, b >0)的一条弦,且 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), x 1 ≠ x 2 ,弦中点 M ( x 0 , y 0 ),则与(1)同理可知 k AB =   . (3)已知 AB 是抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的一条弦,且 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), x 1 ≠ x 2 ,弦中 点 M ( x 0 , y 0 ). 则   两式相减得   -   =2 p ( x 1 - x 2 ), ∴( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 )=2 p ( x 1 - x 2 ), ∴   =   =   ,即 k AB =   .   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)直线 l 与抛物线 y 2 =2 px 只有一个公共点,则 l 与抛物线相切.   ( × ) (2)若直线 l 与抛物线 y 2 =2 px 相交,则一定有两个公共点.   ( × ) (3)直线 y = kx ( k ≠ 0)与双曲线 x 2 - y 2 =1一定相交.   ( × ) (4)若直线与双曲线相交,则一定有两个公共点.   ( × ) (5)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.   (√) (6)直线与椭圆只有一个交点 ⇔ 直线与椭圆相切.   (√)   1.直线 y = kx - k +1与椭圆   +   =1的位置关系为   (　　) A.相交　    B.相切　    C.相离　    D.不确定 答案     A　由于直线 y = kx - k +1= k ( x -1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故 直线与椭圆必相交. 2.直线 y =   x +3与双曲线   -   =1的交点个数是   (　　) A.1　    B.2　    C.1或2　    D.0 答案     A　因为直线 y =   x +3与双曲线的渐近线 y =   x 平行,所以它与双 曲线只有1个交点. 3.双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的右焦点为 F ,直线 l 过焦点 F ,且斜率为 k ,则 直线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交的充要条件是   (　　) A. k >-   　    B. k <   C. k >   或 k <-   　    D.-   < k <   答案     D　由双曲线的渐近线的几何意义知-   < k <   . 4.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y 2 =4 x 仅有一个公共点,这样的直线有 　　　     条. 答案 　3 解析 　①当过点(0,1)的直线的斜率不存在时,方程为 x =0,与抛物线 y 2 =4 x 仅有一个公共点,符合题意. ②当过点(0,1)的直线的斜率存在时,设为 k ,此时直线为 y = kx +1,由   得 k 2 x 2 +(2 k -4) x +1=0,   (*) 当 k =0时,方程(*)只有一解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意, 当 k ≠ 0时,由 Δ =(2 k -4) 2 -4 k 2 =0,解得 k =1,即直线 y = x +1与抛物线相切,综上, 符合条件的直线有3条. 考点一　直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 典例1 　在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 1 :   +   =1( a > b >0)的左焦 点为 F 1 (-1,0),且点 P (0,1)在 C 1 上. (1)求椭圆 C 1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y 2 =4 x 相切,求直线 l 的方程. 解析　 (1)由题意得 a 2 - b 2 =1, b =1,则 a =   , ∴椭圆 C 1 的方程为   + y 2 =1. (2)易得直线 l 的斜率存在且不为零,则可设 l 的方程为 y = kx + b ( k ≠ 0). 考点突破 由   消去 y 整理得(1+2 k 2 ) x 2 +4 kbx +2 b 2 -2=0,Δ 1 =16 k 2 b 2 -8( b 2 -1)(2 k 2 + 1)=16 k 2 +8-8 b 2 =0,即 b 2 =2 k 2 +1. 由   消去 y 整理得 k 2 x 2 +(2 kb -4) x + b 2 =0, Δ 2 =(2 kb -4) 2 -4 k 2 b 2 =16-16 kb =0,即 kb =1,   ∴   由②得 b =   ,代入①得   =2 k 2 +1,即2 k 4 + k 2 -1=0. 令 t = k 2 ,则2 t 2 + t -1=0,解得 t 1 =   或 t 2 =-1(舍), ∴   或   ∴ l 的方程为 y =   x +   或 y =-   x -   . 方法技巧 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交 点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利 用判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一 元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次 方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解. 1-1 　若直线 y = kx +2与双曲线 x 2 - y 2 =6的右支交于不同的两点,那么 k 的取 值范围为   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   答案     D　由   消去 y ,得(1- k 2 ) x 2 -4 kx -10=0, ∵直线与双曲线右支交于不同的两点, ∴   解得-   < k <-1. 考点二　弦长问题 典例2     (2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知 A 是椭圆 E :   +   =1的左顶点, 斜率为 k ( k >0)的直线交 E 于 A , M 两点,点 N 在 E 上, MA ⊥ NA . (1)当| AM |=| AN |时,求△ AMN 的面积; (2)当2| AM |=| AN |时,证明:   < k <2. 解析　 (1)设 M ( x 1 , y 1 ),则由题意知 y 1 >0. 由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为   . 又 A (-2,0),因此直线 AM 的方程为 y = x +2. 将 x = y -2代入   +   =1得7 y 2 -12 y =0. 解得 y =0或 y =   ,所以 y 1 =   . 因此△ AMN 的面积 S △ AMN =2 ×   ×   ×   =   . (2)证明:将直线 AM 的方程 y = k ( x +2)( k >0)代入   +   =1得 (3+4 k 2 ) x 2 +16 k 2 x +16 k 2 -12=0. 由 x 1 ·(-2)=   得 x 1 =   , 故| AM |=| x 1 +2|   =   . 由题设,直线 AN 的方程为 y =-   ( x +2), 故同理可得| AN |=   . 设 f ( t )=4 t 3 -6 t 2 +3 t -8,则 k 是 f ( t )的零点, f '( t )=12 t 2 -12 t +3=3(2 t -1) 2 ≥ 0,所以 f ( t ) 在(0,+ ∞ )内单调递增. 又 f (   )=15   -26<0, f (2)=6>0,因此 f ( t )在(0,+ ∞ )内有唯一的零点,且零点 k 在(   ,2)内,所以   < k <2. 由2| AM |=| AN |得   =   ,即4 k 3 -6 k 2 +3 k -8=0. 方法技巧 弦长的求解 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )两个不同的点,则弦长| AB |=   =   | x 1 - x 2 |=   | y 1 - y 2 |( k ≠ 0). (3)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长. 2-1     (2016贵州贵阳摸底)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆   +   =1 ( a > b >0)的离心率为   ,过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD .当 直线 AB 的斜率为0时, AB =4. (1)求椭圆的方程; (2)若| AB |+| CD |=   ,求直线 AB 的方程. 斜率不存在,由题意知| AB |+| CD |=7,不满足条件. ②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线 AB 的方程为 y = k ( x -1), A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则直线 CD 的方程为 y =-   ( x -1). 解析 　(1)由题意知 e =   =   ,2 a =4. 又 a 2 = b 2 + c 2 ,解得 a =2, b =   , c =1, 所以椭圆方程为   +   =1. (2)①当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4 k 2 ) x 2 -8 k 2 x +4 k 2 -12=0, 则 x 1 + x 2 =   , x 1 · x 2 =   , 所以| AB |=   | x 1 - x 2 | =   ·   =   . 同理,| CD |=   =   , 所以| AB |+| CD |=   +   =   =   ,解得 k = ± 1, 所以直线 AB 的方程为 x - y -1=0或 x + y -1=0. 考点三　中点弦问题 典例3     (2016福建福州质检)抛物线 C 的顶点为原点,焦点在 x 轴上,直线 x - y =0与抛物线 C 交于 A , B 两点,若 P (1,1)为线段 AB 的中点,则抛物线 C 的方 程为   (　　) A. y =2 x 2 　    B. y 2 =2 x C. x 2 =2 y 　    D. y 2 =-2 x 答案     B 解析　 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),抛物线方程为 y 2 =2 px ( p >0),则   两式相 减可得2 p =   × ( y 1 + y 2 )= k AB × 2=2,可得 p =1, ∴抛物线 C 的方程为 y 2 =2 x . 方法技巧 处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减, 式中含有 x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ,   三个未知量,这样就直接联系了中点和直线 的斜率,借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二 次方程后由根与系数的关系求解. 3-1 　已知抛物线 y = x 2 上存在两个不同的点 M , N 关于直线 l : y =- kx +   对称, 求 k 的取值范围. 解析 　解法一:由题意知 k ≠ 0,设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), MN 的方程为 y =   x + b ( b > 0),代入 y = x 2 ,得 x 2 -   x - b =0, 所以 Δ =   +4 b >0,① x 1 + x 2 =   . 设 MN 中点的坐标为( x 0 , y 0 ),则 x 0 =   , y 0 =   + b , 因为( x 0 , y 0 )在直线 l : y =- kx +   上, 所以   + b =- k ·   +   ,所以 b =4-   .② 将②代入①,得   +16-   >0, 所以   <16,即 k 2 >   ,所以 k >   或 k <-   , 故 k 的取值范围为   ∪   . 解法二:由题意知 k ≠ 0,设 M ( x 1 ,   ), N ( x 2 ,   ), 因为 MN ⊥ l ,所以   =   ,即 x 1 + x 2 =   . 又 MN 的中点在 l 上,所以   =- k ·   +   =- k ·   +   =4, 因为 MN 的中点必在抛物线内, 所以   >   ,即4>   , 所以 k 2 >   ,即 k >   或 k <-   , 故 k 的取值范围为   ∪   .