2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 14页

11．1.6 祖暅原理与几何体的体积 [课程目标] 1.了解柱体、锥体、台体和球体的体积的计算公式； 2. 会利用柱体、锥体、台体和球体的体积公式解决一些简单的实际问题． 知识点一 祖暅原理 [填一填] 1．内容：幂势既同，则积不容异． 2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两 个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体 的体积一定相等． [答一答] 1．如何理解祖暅原理？ 提示：祖暅原理中的“幂”指“面积”，“势”指“高度”，“幂 势既同”意思是两个几何体“在等高处的截面面积相等”，“积”则 指“体积”或“容积”． 知识点二 柱体、锥体的体积 [填一填] 1．如果柱体的底面积为 S，高为 h，则柱体的体积计算公式为 V 柱 体＝Sh.等底面积、等高的两个柱体，体积相等． 2．如果锥体的底面积为 S，高为 h，则锥体的体积计算公式为 V 锥 体＝1 3Sh.等底面积、等高的两个锥体，体积相等． [答一答] 2．求柱体的体积的关键是什么？ 提示：由柱体的体积公式知，柱体的体积仅与它的底面积和高有 关．而与是几棱柱，是否为直棱柱无关，故求柱体体积的关键是求底 面积和高． 3．求三棱锥的体积时有什么技巧？试总结一下． 提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三 棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的 三棱锥． 知识点三 台体、球的体积 [填一填] 1．如果台体的上、下底面面积分别为 S1，S2，高为 h，则台体的 体积计算公式为 V 台体＝1 3(S2＋ S2S1＋S1)h. 2．如果球的半径为 R，那么球的体积计算公式为 V 球＝4 3πR3. [答一答] 4．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式 之间的关系吗？ 提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如 下： (1)柱体、锥体、台体之间的关系： (2)体积公式之间的关系： 知识点四 组合体 [填一填] 1．概念： 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体． 2．基本形式： 有两种，一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是 由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体． [答一答] 5．怎样分析与球有关的组合体问题？ 提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为 r，高为 h 的圆锥内部有一球 O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心 O 作 球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形 ABC 的内切圆的圆心，AB 和 AC 均是圆锥的母线，BC 是圆锥底面直径，D 是圆锥底面的圆心． 用同样的方法可得以下结论： ①长方体的 8 个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球 的直径； 球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长； 球与正方体的 12 条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线． ②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也 等于圆柱底面圆的直径． ③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 类型一 柱体的体积 命题视角 1：棱柱的体积 [例 1] 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为 9 cm，宽为 6 cm 的矩形，求该正三棱柱的体积． [分析] 由正三棱柱的侧面展开图是一个矩形，知底面等边三角形 的周长可能是 9 cm 或 6 cm，应分情况讨论． [解] 设正三棱柱的底面等边三角形的边长为 a cm，高为 h cm. (1)当正三棱柱的底面周长为 9 cm 时， 则 h＝6，且 3a＝9，∴a＝3， ∴S 底面＝1 2 ×3×3× 3 2 ＝9 3 4 (cm2)， ∴V 正三棱柱＝S 底面·h＝9 3 4 ×6＝27 2 3(cm3)． (2)当正三棱柱的底面周长为 6 cm 时， 则 h＝9，且 3a＝6，∴a＝2， ∴S 底面＝1 2 ×2×2× 3 2 ＝ 3(cm2)， ∴V 正三棱柱＝S 底面·h＝ 3×9＝9 3(cm3)． 故该正三棱柱的体积为27 2 3 cm3 或 9 3 cm3. 柱体的体积公式是 V＝Sh，求柱体体积的关键是确定柱体的底面积 和高. [变式训练 1] 已知一个直棱柱底面是菱形，面积为 S，两对角面 的面积分别为 m，n，求直棱柱的体积． 解：设直棱柱的底面对角线长为 x 和 y，高为 h， 则有 1 2xy＝S， xh＝m， yh＝n， ∴h＝ mn 2S. ∴V 直棱柱＝Sh＝S· mn 2S ＝1 2 2mnS. 命题视角 2：圆柱的体积 [例 2] 已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为 6π和 4π的矩形， 求圆柱的体积． [解] 设圆柱的底面半径为 R，高为 h. (1)当圆柱的底面周长为 6π时，高为 4π，即 2πR＝6π，h＝4π，所 以 R＝3，所以 V＝πR2·h＝π·32·4π＝36π2. (2)当圆柱的底面周长为 4π时，高为 6π，即 2πR＝4π，h＝6π，所 以 R＝2，所以 V＝πR2·h＝π·22·6π＝24π2. 故圆柱的体积为 36π2 或 24π2. 求柱体的体积关键是寻求底面积和高，对于圆柱而言，重要的是 确定底面半径和高. [变式训练 2] 已知一个圆柱去掉两个底面，沿任一条母线割开， 然后放在平面上展开后得到平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一 个矩形，它的对角线长为 m，对角线与底边成α角 0<α<π 2 ，求圆柱的体 积． 解：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，如图． 则由题意可知， h＝msinα， 2πr＝mcosα， ∴h＝msinα，r＝mcosα 2π ， ∴V 圆柱＝πr2h＝π mcosα 2π 2·msinα＝m3sinαcos2α 4π . 类型二 锥体的体积 [例 3] 如图所示，三棱锥的顶点为 P，PA，PB，PC 为两两垂直 的侧棱，这三条侧棱的长分别为 3,3,4，求此三棱锥 PABC 的体积． [分析] 若将△ABC 作为底面，则该底面的面积不易求得，考虑到 PA，PB，PC 两两垂直，不妨将三角形 PAB 当作底面，则三棱锥 PABC 的高是 PC，于是易求得体积． [解] 将三角形 PAB 当作底面，则三棱锥 PABC 的高是 PC. 所以 V 三棱锥 PABC＝V 三棱锥 CPAB＝1 3 ×1 2·PA·PB·PC＝1 3 ×1 2 ×3×3×4＝6. 求棱锥的体积时，要特别注意各棱间的垂直关系，应尽可能选择 直角三角形面作为底面. [变式训练 3] 已知正四棱锥 PABCD 的底面是边长为 4 cm 的正 方形，高与斜高的夹角为 30°，如图所示，求正四棱锥的体积． 解：正四棱锥的高 PO、斜高 PE 和底面边心距 OE 组成 Rt△POE. 因为 OE＝2 cm，∠OPE＝30°， 所以高 PO＝ OE tan30° ＝ 2 3 3 ＝2 3 cm， 因此 V 正四棱锥＝1 3Sh＝1 3 ×42×2 3＝32 3 3 (cm3)． 类型三 台体的体积 命题视角 1：棱台的体积 [例 4] 已知正四棱台两底面边长分别为 20 cm 和 10 cm，侧面积 是 780 cm2.求正四棱台的体积． [分析] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和 高，从而求出体积． [解] 如图所示，正四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1＝10 cm，AB ＝20 cm.取 A1B1 的中点 E1，AB 的中点 E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形 EOO1E1 是直角梯形． 由 S 侧＝4×1 2(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝1 2A1B1＝5 cm， OE＝1 2AB＝10 cm， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12 cm， V 正四棱台＝1 3 ×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3. 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充 分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系. [变式训练 4] 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分 别为 2 cm 和 4 cm，侧棱长为 2 cm”，求该棱台的体积． 解：如图，正四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，则 O1B1＝ 2 cm，OB＝2 2 cm，过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M，那么 B1M 为正四棱台的高， 在 Rt△BMB1 中，BB1＝2 cm，MB＝(2 2－ 2)＝ 2(cm)． 根据勾股定理 MB1＝ BB21－MB2＝ 22－ 22＝ 2(cm)． S 上＝22＝4(cm2)，S 下＝42＝16(cm2)， ∴V 正四棱台＝1 3 × 2×(4＋ 4×16＋16)＝1 3 × 2×28＝28 2 3 (cm3)． 命题视角 2：圆台的体积 [例 5] 设圆台的高为 3，如图，在轴截面中，母线 AA1 与底面圆 直径 AB 的夹角为 60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体 积． [分析] 在求解公式中的未知量时，应注意运用平面几何的有关知 识． [解] 设上、下底面半径分别为 r，R，过点 A1 作 A1D⊥AB 于点 D， 则 A1D＝3，∠BA1A＝90°. ∵∠A1AB＝60°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝ A1D tan60° ＝ 3， 即 R－r＝ 3.又∵BD＝A1D·tan60°＝3 3， ∴R＋r＝3 3，∴R＝2 3，r＝ 3.又∵h＝3， ∴圆台的体积 V 圆台＝1 3πh(R2＋Rr＋r2)＝1 3π×3×[(2 3)2＋2 3× 3 ＋( 3)2]＝21π. 圆台的轴截面是等腰梯形，将题中的已知量转移到轴截面中，即 可求出圆台的上、下底面半径，进一步求出圆台的体积. [变式训练 5] 已知圆台的上下底面半径分别是 2,4，且侧面面积 等于两底面面积之和，求该圆台的母线长和体积． 解：设圆台的母线长为 l， 则圆台的上底面面积为 S 上＝π·22＝4π， 圆台的下底面面积为 S 下＝π·42＝16π， 所以圆台的底面面积为 S＝S 上＋S 下＝20π， 又圆台的侧面积 S 侧＝π(2＋4)l＝6πl， 于是 6πl＝20π，解得 l＝10 3 ， ∴圆台高 h＝ l2－R－r2＝ 100 9 －4＝8 3 ， ∴圆台体积 V＝1 3π·h·(R2＋r2＋Rr)＝1 3π×8 3 ×(16＋4＋8)＝224π 9 . 类型四 球的体积 [例 6] 在球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA、PB、PC 两两 垂直，且 PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． [解] ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径． ∴2R＝ 3a，R＝ 3 2 a，∴V＝4 3πR3＝4 3π 3 2 a 3＝ 3 2 πa3. 1.与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接 点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关 键. 2.球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球 的直径. 3.球与旋转体的组合，通常作轴截面解题. [变式训练 6] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接 触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A ) A.500π 3 cm3 B.866π 3 cm3 C.1 372π 3 cm3 D.2 048π 3 cm3 解析：本题考查球的体积的计算． 如图，正方体的上底面截球的小圆直径为 8 cm，∴r＝4 cm，设球 的半径为 R cm. ∴ d＝R－2， d2＋r2＝R2， ∴R＝5， ∴V＝4 3πR3＝500π 3 (cm3)． 类型五 组合体的体积 [例 7] 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 4 的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积． [解] 如图，连接 EB，EC，AC. V 四棱锥 EABCD＝1 3 ×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V 三棱锥 FEBC＝V 三棱锥 CEFB＝1 2V 三棱锥 CABE＝1 2V 三棱锥 EABC＝1 2 ×1 2V 四棱锥 EABCD＝4. ∴多面体的体积 V＝V 四棱锥 EABCD＋V 三棱锥 FEBC＝16＋4＝20. 割补法是求不规则几何体体积的常用方法，解此类题时，分割与 补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求. [变式训练 7] 如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一个平面所截， 截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，则该几何体的体积为 ( D ) A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如 图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为 10π. 1．正方体的表面积是 96，则正方体的体积为( B ) A．48 6 B．64 C．16 D．96 解析：设正方体的棱长为 a，则 6a2＝96， ∴a＝4，故 V＝a3＝43＝64. 2．如果两个球的体积之比为 8 27，那么两个球的表面积之比为 ( C ) A．8 27 B．2 3 C．4 9 D．2 9 解析：设两个球半径分别为 r，R，则由条件知： 4 3πr3 4 3πR3 ＝(r R)3＝ 8 27 ， ∴r R ＝2 3 ，于是两球对应的表面积之比为4πr2 4πR2＝(r R)2＝4 9.故选 C. 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π，那么圆柱的体积等 于( A ) A．2π B．3π C．4π D．8π 解析：设圆柱母线长为 l，底面半径为 r， 由题意得 l＝2r， 2πrl＝4π， 解得 r＝1， l＝2. ∴V 圆柱＝πr2l＝2π. 4．如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 ADED1 的体积为1 6. 解析：V 三棱锥 ADED1＝V 三棱锥 EDD1A＝1 3 ×1 2 ×1×1×1＝1 6.