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- 2021-06-16 发布
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1
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算
律进行计算或证明.
知识点一 平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab=ba a·b=b·a 正确
结合律 (ab)c=a(bc) (a·b)c=a(b·c) 错误
分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c 正确
消去律 ab=bc(b≠0)⇒a=c
a·b=b·c(b≠0)⇒a=
c
错误
知识点二 平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量数量积
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+
2c·a
1.向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c).( × )
2.已知 a≠0,且 a·c=a·b,则 b=c.( × )
3.λ(a·b)=λa·b.( √ )
2
类型一 向量数量积的运算性质
例 1 设 a,b,c 是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列结论:
①a·c-b·c=(a-b)·c;
②(b·c)·a-(c·a)·b 不与 c 垂直;
③|a|-|b|<|a-b|;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确结论的序号是________.
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 ①③④
解析 根据向量积的分配律知①正确;
因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c
=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,
∴(b·c)·a-(c·a)·b 与 c 垂直,②错误;
因为 a,b 不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,
∴|a|-|b|<|a-b|成立,③正确;
④正确.故正确结论的序号是①③④.
反思与感悟 向量的数量积 a·b 与实数 a,b 的乘积 a·b 有联系,同时有许多不同之处.例
如,由 a·b=0 并不能得出 a=0 或 b=0.特别是向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练 1 对于任意向量 a,b,c,下列说法中正确的是( )
A.|a·b|=|a||b| B.|a+b|=|a|+|b|
C.(a·b)c=a(b·c) D.|a|= a2
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 D
解析 因为 a·b=|a||b|cos〈a,b〉,
所以|a·b|≤|a||b|,所以 A 错误;
根据向量加法的平行四边形法则,
|a+b|≤|a|+|b|,只有当 a,b 同向时取“=”,
所以 B 错误;因为(a·b)c 是向量,其方向与向量 c 相同,a(b·c)是向量,其方向与向量 a
的方向相同,所以 C 错误;
因为 a·a=|a||a|cos0=|a|2,
所以|a|= a2,所以 D 正确.
3
类型二 平面向量数量积有关的参数问题
命题角度 1 利用向量数量积处理垂直问题
例 2 已知|a|=3,|b|=2,向量 a,b 的夹角为 60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当 m 为
何值时,c 与 d 垂直.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
解 由已知得 a·b=3×2×cos60°=3.
若 c⊥d,则 c·d=0,
∴c·d=(3a+5b)·(ma-3b)=3ma2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87
=0,
∴m=29
14
,即当 m=29
14
时,c 与 d 垂直.
反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质:a⊥b⇔a·b=0.
跟踪训练 2 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)·b,且 b⊥c,则 t=
________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 2
解析 由题意,将 b·c=[ta+(1-t)b]·b=0 整理,得 ta·b+(1-t)=0,又 a·b=1
2
,
所以 t=2.
命题角度 2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例 3 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量,若向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角,则
k 的取值范围为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 (0,1)∪(1,+∞)
解析 ∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角,
∴(e1+ke2)·(ke1+e2)
=ke2
1+ke2
2+(k2+1)e1·e2
=2k>0,∴k>0.
但当 k=1 时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为 0,不符合题意,舍去.
4
综上,k 的取值范围为 k>0 且 k≠1.
反思与感悟 向量 a,b 的夹角为锐角,得到 a·b>0;反之,a·b>0 不能说明 a,b 的夹角
为锐角,因为 a,b 夹角为 0°时也有 a·b>0.同理,向量 a,b 的夹角为钝角,得到 a·b<0;
反之,a·b<0 不能说明 a,b 的夹角为钝角,因为 a,b 夹角为 180°时也有 a·b<0.
跟踪训练 3 若向量 e1,e2 满足|e1|=|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,向量 2te1+e2 与向量
e1-e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
解 设向量 2te1+e2 与向量 e1-e2 的夹角为θ,由θ为钝角,知 cosθ<0,故(2te1+e2)·(e1
-e2)=2te2
1+(-2t+1)e1·e2-e2
2=t-1
2
<0,解得 t<1
2
.
又当θ=π时,也有(2te1+e2)·(e1-e2)<0,
但此时夹角不是钝角,设向量 2te1+e2 与向量 e1-e2 反向,则 2te1+e2=k(e1-e2)(k<0),
又 e1 与 e2 不共线,从而
2t=k,
1=-k,
解得 t=-1
2
,即当 t=-1
2
时,向量 2te1+e2 与向量 e1
-e2 的夹角为 180°,
故 t 的取值范围是 t|t<1
2
,且 t≠-1
2 .
1.下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2=a2·b2.
A.1B.2C.3D.4
考点 平面向量数量积的运算性质与法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 C
解析 ①②③正确,④错误,⑤错误,(a·b)2=(|a||b|·cosθ)2=a2·b2cos2θ,故选 C.
2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 60°,那么向量 a-4b 的模为( )
A.2B.2 3C.6D.12
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质与法则
答案 B
解析 ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2
5
=22-8×2×1×cos60°+16×12=12,
∴|a-4b|=2 3.
3.已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=1
3
.若 n⊥(tm+n),则实数 t 的值为
( )
A.4B.-4C.9
4
D.-9
4
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 B
解析 ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即 tm·n+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2
=0,由已知得 t×3
4
|n|2×1
3
+|n|2=0,解得 t=-4,故选 B.
4.在△ABC 中,AB→=a,BC→=b,且 a·b>0,则△ABC 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
考点 平面向量数量积的应用
题点 数量积在三角形中的应用
答案 D
解析 由AB→·BC→>0 知,BA→·BC→<0,即角 B 为钝角.
5.已知|a|=1,|b|= 2,且(a+b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 3π
4
解析 ∵(a+b)·a=a2+a·b=0,
∴a·b=-a2=-1,
设 a 与 b 的夹角为θ,
∴cosθ= a·b
|a||b|
= -1
1× 2
=- 2
2
,
又θ∈[0,π],∴θ=3π
4
.
1.数量积对结合律不一定成立,因为(a·b)·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c 是一个与 c 共线
6
的向量,而(a·c)·b=|a||c|cos〈a,c〉·b 是一个与 b 共线的向量,若 b 与 c 不共线,
则两者不相等.
2.在实数中,若 ab=0,则 a=0 或 b=0,但是在数量积中,即使 a·b=0,也不能推出 a
=0 或 b=0,因为其中 cosθ有可能为 0.
3.在实数中,若 ab=bc,b≠0,则 a=c,在向量中 a·b=b·c,b≠0⇏ a=c.
一、选择题
1.已知|a|=1,|b|=1,|c|= 2,a 与 b 的夹角为 90°,b 与 c 的夹角为 45°,则 a·(b·c)
的化简结果是( )
A.0B.aC.bD.c
考点 平面向量数量积的运算性质和法则
题点 向量的运算性质和法则
答案 B
解析 b·c=|b||c|cos45°=1.
∴a·(b·c)=a.
2.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与λa-b 垂直,则λ等于( )
A.3
2
B.-3
2
C.±3
2
D.1
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 A
解析 ∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2
=3λa2-2b2=12λ-18=0,∴λ=3
2
.
3.(2017·嘉峪关高一检测)已知向量 a,b 为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b
的夹角为( )
A.π
6
B.π
3
C.2π
3
D.5π
6
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 B
解析 设 a 与 b 的夹角为θ.
因为(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,
7
所以(a-2b)·a=a2-2a·b=0,
(b-2a)·b=b2-2a·b=0.
所以 a2=2a·b,b2=2a·b,所以 a2=b2,
所以|a|=|b|,
所以 cosθ= a·b
|a||b|
=a·b
|a|2 =a·b
a2 = a·b
2a·b
=1
2
.
因为θ∈[0,π],所以θ=π
3
.
所以 a,b 夹角为π
3
.
8
4.在四边形 ABCD 中,AB→=DC→,且AC→·BD→=0,则四边形 ABCD 是( )
A.矩形 B.菱形
C.直角梯形 D.等腰梯形
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 B
解析 由AB→=DC→知四边形 ABCD 是平行四边形,由AC→·BD→=0 知 AC⊥BD,即对角线垂直,所以
四边形 ABCD 是菱形.
5.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则 a 与 b 的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 C
解析 由题知,(2a+b)·b=2a·b+b2
=2|a|2cos〈a,b〉+a2=0,
∴cos〈a,b〉=-1
2
,
又∵〈a,b〉∈[0°,180°],
∴a,b 的夹角为 120°.
6.已知向量AB→与AC→的夹角为 120°,且|AB→|=2,|AC→|=3.若AP→=λAB→+AC→,且AP→⊥BC→,则
实数λ的值为( )
A.3
7
B.13C.6D.12
7
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 D
解析 ∵AB→与AC→的夹角为 120°,且|AB→|=2,|AC→|=3,
∴AB→·AC→=|AB→|·|AC→|cos120°
=2×3×
-1
2 =-3.
∵AP→·BC→=(AC→+λAB→)·(AC→-AB→)
=AC→2-λAB→2+(λ-1)AB→·AC→=0,
9
∴32-λ×22+(λ-1)×(-3)=0,
解得λ=12
7
,故选 D.
7.(2017·惠州高一检测)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→+OC→-2OA→)
=0,则△ABC 的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
考点 平面向量数量积的应用
题点 数量积在三角形中的应用
答案 A
解析 因为(OB→-OC→)·(OB→+OC→-2OA→)=0,
即CB→·(AB→+AC→)=0,
又因为AB→-AC→=CB→,
所以(AB→-AC→)·(AB→+AC→)=0,
即|AB→|=|AC→|,
所以△ABC 是等腰三角形.
二、填空题
8.已知向量 a,b 满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则 a 与 b 的夹角θ为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的夹角
答案 π
3
解析 因为(a+2b)·(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,
所以 6a·b-8+5=0,即 a·b=1
2
.
又 a·b=|a||b|cosθ=cosθ,
所以 cosθ=1
2
,
因为θ∈[0,π],所以θ=π
3
.
9.已知非零向量 a,b,满足 a⊥b,且 a+2b 与 a-2b 的夹角为 120°,则|a|
|b|
=________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
10
答案 2 3
3
解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,
(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,
|a+2b|= a2+4a·b+4b2= a2+4b2,
|a-2b|= a2-4a·b+4b2= a2+4b2,
∴a2-4b2= a2+4b2· a2+4b2·cos120°,
化简得 3
2
a2-2b2=0,
∴|a|
|b|
=2 3
3
.
10.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2 的
值是________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 4
解析 方法一 由 a+b+c=0,得 c=-a-b.
又(a-b)·c=0,
∴(a-b)·(-a-b)=0,
即 a2=b2.
则 c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,
∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
方法二 如图,作AB→=BD→=a.
BC→=b,则CA→=c,
∵a⊥b,∴AB⊥BC,
又∵a-b=BD→-BC→=CD→,
(a-b)⊥c,∴CD⊥CA,
∴△ABC 是等腰直角三角形,
∵|a|=1,∴|b|=1,|c|= 2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
11.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,且对一切实数 x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,则 a,
b 的夹角的大小为________.
11
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 2π
3
解析 由题意可知,|a+xb|2≥|a+b|2,
即 a2+2a·b·x+b2·x2≥a2+2a·b+b2,
设 a 与 b 的夹角为θ,
则 4+4cosθ·x+x2≥4+4cosθ+1,
即 x2+4cosθ·x-1-4cosθ≥0,
因为对一切实数 x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,
所以Δ=16cos2θ+4(1+4cosθ)≤0,
即(2cosθ+1)2≤0,
所以 2cosθ+1=0,cosθ=-1
2
.
又因为θ∈[0,π],所以θ=2π
3
.
12.已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为 1,它们相互之间的夹角为 120°.若|ka+b+
c|>1(k∈R),则 k 的取值范围为________.
考点 平面向量数量积的应用
题点 向量模与夹角的综合应用
答案 {k|k<0 或 k>2}
解析 因为|ka+b+c|>1,
所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,
即 k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.
因为 a·b=a·c=b·c=cos120°=-1
2
,
所以 k2-2k>0,所以
k>0,
k-2>0
或
k<0,
k-2<0,
解得 k<0 或 k>2,
即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}.
三、解答题
13.设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与 e1
+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
12
解 设向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为θ.
根据题意,得 cosθ= 2te1+7e2· e1+te2
|2te1+7e2||e1+te2|
<0,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0.
化简,得 2t2+15t+7<0,
∴
2t+1>0,
t+7<0
或
2t+1<0,
t+7>0,
解得-7
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