专题07+导数有关的构造函数方法-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖（教师版） 17页

专题07 导数有关的构造函数方法 一．知识点 基本初等函数的导数公式 ‎ (1)常用函数的导数 ‎①(C)′＝________(C为常数); ②(x)′＝________；‎ ‎③(x2)′＝________； ④′＝________；‎ ‎⑤()′＝________．‎ ‎(2)初等函数的导数公式 ‎①(xn)′＝________； ②(sin x)′＝__________；‎ ‎③(cos x)′＝________； ④(ex)′＝________；‎ ‎⑤(ax)′＝___________； ⑥(ln x)′＝________； ‎ ‎⑦(logax)′＝__________．‎ ‎5．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；‎ ‎(3)′＝____________________________．‎ ‎6．复合函数的导数 ‎(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．‎ ‎(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为___________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 二．题型分析 ‎1.构造多项式函数 ‎2.构造三角函数型 ‎3.构造形式的函数 ‎4.构造成积的形式 ‎ ‎5.与有关的构造 ‎6.构造成商的形式 ‎7.对称问题 ‎（一）构造多项式函数 ‎ 例1．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D 考点：函数的单调性与导数的关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.‎ 练习1.设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，设，则，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，‎ ‎∴，解得．‎ 考点：导数在函数单调性中的应用. ‎ ‎【思路点睛】因为，设，则，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.‎ 练习2.设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.‎ 练习3.设函数在上存在导函数，对任意，都有，且时，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则，则，得为上的奇函数．∵时，，故在单调递增，再结合及为奇函数，知在为增函数，又 则，即．故选B．‎ 考点：函数的单调性及导数的应用.‎ ‎【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件进行联想，构造出新函数，然后结合来研究函数的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式构造，最终得到关于的不等式，解得答案.‎ ‎（二）构造三角函数型 例2．已知函数的定义域为,为函数的导函数，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则.因为当时，，即，所以，所以在上单调递增.又，，所以，所以，故为奇函数，所以在上单调递增，所以.即，故选B.‎ 练习1．已知函数对任意的满足（其中是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，‎ 则，即函数g（x）在单调递增，‎ 则，，即，故A正确．，即 练习2．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）‎ A. B.‎ C． D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】在区间上，有，即令，则，故在区间上单调递增.‎ 令，则有，D选项正确.‎ ‎【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到，往往转化为来思考；第二个要点是构造函数法，题目中，可以化简为，这样我们就可以构造一个除法的函数，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.‎ ‎（三）构造形式的函数 例3．已知函数的导数为，且对恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则.‎ 对恒成立，且.在上递增，故选D.‎ 练习1. 设函数是函数的导函数，，且，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，构造函数，‎ 由，得，‎ ‎【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．学科网 练习2.已知定义在上的函数，是的导函数，若，且，‎ 则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则，‎ ‎∵，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集为故选：C.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的以及所求结论可知应构造函数，利用导数研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.‎ 练习3．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且 为奇函数，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设．由，得 ‎，故函数在上单调递减．由为奇函数，所以．不等式等价于，即，结合函数的单调性可得，从而不等式的解集为，故答案为B.‎ ‎【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中令，（），从而求导，从而可判断单调递减，从而可得到不等式的解集．‎ 练习4.已知定义在上的可导函数的导函数，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则 ‎∴函数是上的减函数，‎ ‎∵函数是偶函数，‎ ‎∴函数 ‎∴函数关于对称，‎ ‎∴ ‎ 原不等式等价为 ‎ ‎∴不等式等价即 ‎ ‎∵是上的减函数，‎ ‎∴．‎ ‎∴不等式式的解集为．选D 练习5．设函数是函数的导函数，，且，则的解集是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，所以（为常数），则，由，，所以，又由，所以即，即，解得．故选B．‎ ‎（四）构造成积的形式 例4．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】易知关于轴对称,设,当时, ,‎ 在上为递减函数,且为奇函数,在上是递减函数.‎ ‎,即,故选A.‎ ‎【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较的大小关系,需要构造新函数,通过已知函数的奇偶性,对称性和单调性,判断的各种性质,可得在上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.‎ 练习1.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B 考点：函数导数与不等式，构造函数．‎ ‎【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出的单调性，即函数为减函数.注意到原不等式可以看成，利用函数的单调性就可以解出来.‎ 练习2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：∵函数是定义在上的可导函数， ，‎ ‎∴函数在上是增函数，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题．解题时正确确定函数在上是增函数是解题的关键 练习3.函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎（五）与有关的构造 例5.已知定义在实数集R的函数满足（1）=4,且导函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设t=lnx,则不等式化为，设g(x)=f(x)-3x-1,则。因为，所以<0,此时函数g(x)单调递减。因为f(1)=4，所以g(1)=f(1)-3-1=0,所以当x>1时，g(x)3x+1的解为x<1，即不等式f(t)>3t+1的解集为t<1.由lnx<1得0