高考数学黄金考点精析精训考点12三角函数的图象与性质文 22页

考点 12 三角函数的图像和性质 【考点剖析】 1.最新考试说明： (1)考查三角函数的值域与最值 (2)考查三角函数的单调性 (3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值 2.命题方向预测： (1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. (2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点. (3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题. 3.课本结论总结： (1)由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin (ωx＋φ)的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸 缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ| ω (ω＞0)个单位．原因在于相位变换和 周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． (2) xy sin 的性质：①定义域为 R，值域为 1,1 ；②是周期函数，最小正周期为 2 ；③在 )(22,22 Zkkk       单调递增，在 )(22 3,22 Zkkk       单调递减；④当 Zkkx  ,22  时， 1max y ；当 Zkkx  ,22  时， 1min y ；⑤其对称轴方程为 )(2 Zkkx   ,对称中心坐标为  Zkk ,0, . (3) xy cos 的性质：①定义域为 R，值域为 1,1 ；②是周期函数，最小正周期为 2 ；③在   )(2,2 Zkkk   单调递增，在  )(2,2 Zkkk   单调递减；④当 Zkkx  ,2  时， 1max y ；当 Zkkx  ,2  时， 1min y ；⑤其对称轴方程为 )( Zkkx   ,对称中心坐标为 Zkk       ,0,2  . （4） xy tan 的性质：①定义域为    Zkkxx ,2|  ，值域为 R ；②是周期函数，最小正周期为  ；③在 )(2,2 Zkkk        单调递增；④其对称中心坐标为 Zkk      ,0,2  . 4.名师二级结论： （1）由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸 缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ| ω (ω＞0)个单 位．原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． （2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝M－m 2 ，k＝M＋m 2 ，ω由周期 T 确 定，即由2π ω ＝T 求出，φ由特殊点确定． (3)作正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： ①首先要确定函数的定义域； ②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整 个函数的图象. (4)求三角函数值域(最值)的方法： ①利用 sin x、cos x 的有界性； ②形式复杂的函数应化为 kxAy  )sin(  的形式逐步分析  x 的范围，根据正弦函数单调性写 出函数的值域； ③换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 5. )sin(   xAy 、 )cos(   xAy 、 )tan(   xAy 的性质： ①周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 2π |ω| ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π |ω| . ②奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为 y＝Acos ωx＋b 的形 式． ③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将  x 看作一个整体. 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版第 147 页，第 A9 题（例题）已知 xxxy 22 cos2)cos(sin  . ①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值. 【解析】 xxxxxxxxy 2cos2sin22cos1cossin21cos2)cos(sin 22  2)42sin(2  x ①令  kxk 22 3 4222  ，解得  kxk  8 5 8 ，即函数的单调区间为 )(8 5,8 Zkkk       ; ②由题意得， 22max y ， 22min y . 【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 (2)新课标 A 版第 147 页，第 A10 题（例题）已知函数 xxxxxf 44 sincossin2cos)(  . ①求 )(xf 的最小正周期；②当     2,0 x 时，求 )(xf 的最小值以及取得最小值时 x 的集合. 【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 6.考点交汇展示： (1)与不等式的交汇 【2017 北京，文 16】已知函数 ( ) 3 cos(2 ) 2sin cos3f x x - x x  . （I）f(x)的最小正周期； （II）求证：当 [ , ]4 4x    时，   1 2f x   ． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 试题解析： （Ⅰ） 3 3 1 3 π( ) cos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 2 3f x x x x x x x       . 所以 ( )f x 的最小正周期 2π π2T   . （Ⅱ）因为 π π 4 4x   ， 所以 π π 5π26 3 6x    . 所以 π π 1sin(2 ) sin( )3 6 2x      . 所以当 π π[ , ]4 4x  时， 1( ) 2f x   . (2)与平面向量的交汇 【2018 届河南省洛阳市高三期中】已知向量    sin , 3 , 1,cosa x b x   . （I）若 a b  ，求 tan2x 的值; （II）令  f x a b   ，把函数  f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再 把所得图象沿 x 轴向左平移 3  个单位，得到函数  y g x 的图象，求函数  y g x 的单调增区间及图 象的对称中心. 【答案】（I） 3 ；（II）  5 ,12 12k k k         ，  1 ,02 6k k Z     . 【解析】试题分析：（I）由 a b  可得    sin , 3 1,cos sin 3cos 0a b x x x x       ，从而可得 tan 3x  ，根据二倍角的正切公式可得结果；（II）由辅助角公式可得   2sin 3f x x      ，根据平 移变换可得   2sin 2 3g x x      ，利用正弦函数的单调性，解不等式即可得结果. 试题解析：（I）    sin , 3 1,cos 0a b x x       ， 即sin 3cos 0 tan 3x x x    ， 2 2tantan2 =- 31 tan xx x    ， （II）由（I）得   2sin 3f x x      ，从而   2sin 2 3g x x      ， 解 2 2 22 3 2k x k        得  5 12 12k x k k Z       ，  g x 的单调增区间时  5 ,12 12k k k         . 由 2 3x k   得  1 2 6x k k Z   即函数  y g x 图象的 对称中心为  1 ,02 6k k Z     . (3)与解三角形的交汇 【2017 届天津市耀华中学一模】已知向量    3sin 2 2,cos , 1,2cosm x x n x    ，设函数  f x m n   . （1）求  f x 在 0, 4      上的最值； （2）在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，若   4, 1f A b  ， ABC 的面积为 3 2 ，求 a 的 值. 【答案】（1）    min max4, 5f x f x  ；（2） 3a  （2）   12sin 2 3 4, sin 26 6 2f A A A                 13 52 , 26 6 6 6 6 3A A A               1 3sin2 2ABCS bc A   2c  2 2 2 2 cos 3 3a b c bc A a       . 【考点分类】 热点一 三角函数的图象 1.【2017 课标 3，理 6】设函数 f(x)=cos(x+ 3  )，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线 x= 8 3  对称 C．f(x+π)的一个零点为 x= 6  D．f(x)在( 2  ,π)单调递减 【答案】D 【解析】 2.【2017 课标 1，理 9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π 3 )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得到 曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得 到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度，得到 曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得 到曲线 C2 【答案】D 【解析】 3.某同学用“五点法”画函数 π( ) sin( ) ( 0, | | )2f x A x       在某一个周期内的图象时，列表并填入 了部分数据，如下表： x  0 π 2 π 3π 2 2π x π 3 5π 6 sin( )A x  0 5 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数 ( )f x 的解析式； （Ⅱ）将 ( )y f x 图象上所有点向左平行移动 ( 0)  个单位长度，得到 ( )y g x 的图象. 若 ( )y g x 图 象的一个对称中心为 5π( , 0)12 ，求 的最小值. 【答案】（Ⅰ） π( ) 5sin(2 )6f x x  ；（Ⅱ） π 6 . 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 π5, 2, 6A      . 数据补全如下表： x  0 π 2 π 3π 2 2π x π 12 π 3 7π 12 5π 6 13 π12 sin( )A x  0 5 0 5 0 且函数表达式为 π( ) 5sin(2 )6f x x  . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 π( ) 5sin(2 )6f x x  ，得 π( ) 5sin(2 2 )6g x x    . 因为 siny x 的对称中心为 ( π, 0)k ， k Z . 令 π2 2 π6x k   ，解得 π π 2 12 kx    ， k Z . 由于函数 ( )y g x 的图象关于点 5π( , 0)12 成中心对称，令 π π 5π 2 12 12 k    ， 解得 π π 2 3 k   ， k Z . 由 0  可知，当 1k  时， 取得最小值 π 6 . 【方法规律】 1.用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为 )0,0)(sin(   AxAy 或 )0,0)(cos(   AxAy 的形式；②求出周期 T＝2π ω ；③求出振幅 A；④列出一个周期内的五个 特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 2. )sin(   xAy 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 )(2 Zkkx   解出；它还有无穷多 个对称中心，它们是图象与 x 轴的交点，可由 )( Zkkx   ，解得 x＝kπ－φ ω (k∈Z)，即其对称 中心为(kπ－φ ω ，0)(k∈Z)． 3.相邻两对称轴间的距离为T 2 ，相邻两对称中心间的距离也为T 2 . 【解题技巧】 根据 )0,0()sin(   AkxAy 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A＝最高点－最低点 2 ； (2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 k＝最高点＋最低点 2 ； (3)ω的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 T＝2π ω (ω>0)来确定ω； (4)φ的确定：法一：代入图像的最高点坐标 ),( 11 yx 或最低点坐标 ),( 22 yx ，则 )(221 Zkkx   或 )(22 3 2 Zkkx   ，求 值． 法二：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开始与 x 轴的交点的横坐标为－φ ω (即令ωx＋φ＝0，x＝－φ ω )确 定φ． 如 ：将函数 f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移 2  个单位长度，所得图象关于 6x  对称，则ω 的最小值是 A.6 B. 2 3 C. 9 4 D. 3 4 【答案】D 【易错点睛】 研究三角函数图像的变换时，要注意由 )0,0(sin   AxAy 的图像变换成 )0,0)(sin(   AxAy 的图像的变换过程: )0,0)]((sin[)sin(    AxAxAy 的图像由 )0,0(sin   AxAy 的图像向左（ 0 ）或向右（ 0 ）平移   个单位长度. 如：为了得到函数 xxy 3cos3sin  的图像，可以将函数 xy 3sin2 的图像（ ） A.向右平移 4  个单位 B.向左平移 4  个单位 C.向右平移 12  个单位 D.向左平移 12  个单位 【答案】D 【解析】 sin3 cos3 2 sin 3 4y x x x        ，故只需将 2 sin3y x 向左平移 12  个单位． 热点二 三角函数的最值 1.【2016 高考新课标 2 文数】函数 π( ) cos2 6cos( )2f x x x   的最大值为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【答案】B 【解析】因为 2 23 11( ) 1 2sin 6sin 2(sin )2 2f x x x x       ，而 sin [ 1,1]x  ，所以当 sin 1x  时，取最 大值 5，选 B. 2.【2018 届安徽省滁州市高三 9 月联考】若函数  sin 2 6y x a x b       的值域是 11 2     ， ，则b a 的最大值是___________． 【答案】 2 3  【解析】 令 t 2 6x   ,作出 siny t 的图象，使其值域为 11 2     ， ，则定义域最长为 13 5 4 6 6 3     即， 2 26 6b a             最大为 4 3  ，即 b a 的最大值是 2 3  . 3.【2018 届江苏省泰州中学高三 10 月月考】已知函数   4sin cos 33f x x x       . （1）将  f x 化简为    sinf x A x   的形式，并求  f x 最小正周期； （2）求  f x 在区间 ,4 6      上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. 【答案】（1）  f x 2sin 2 3x      ， T  ；（2） 4x   时，  min 1f x   ， 12x  时，  max 2f x  . 【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得   2sin 2 3f x x      ，由周期公式可得答案；（2） 由 x 的范围可得 226 3 3x      的范围，可得 f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可 得最值及对应的 x 值． 试题解析： （1）   24sin cos cos sin sin 3 2sin cos 2 3sin 33 3f x x x x x x x          sin2 3cos2 2sin 2 3x x x        所以 2 2T    . （2）因为 4 6x    ，所以 226 3 3x      所以 1 sin 2 12 3x        ，所以  1 2f x   ， 当 2 3 6x     ，即 4x   时，  min 1f x   ， 当 2 3 2x    ，即 12x  时，  min 2f x  . 【方法规律】 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用 sin x、cos x 的有界性； (2)形式复杂的函数应化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性 写出函数的值域； (3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 【解题技巧】 求三角函数的最值问题，最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化为 )0,0()sin(   AkxAy 的形式，再进行求解. ①当 Rx 时， kAy max ， kAy min ； ②当  bax , 时，则先求  x 的范围，再利用正弦函数 ty sin 的图像写出函数 )sin(   xy 的最 值，再进一步求解. 如：函数      sin 2 2sin cosf x x x      的最大值为_________. 【答案】1 【易错点睛】 在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成 kxAy  )sin(  的形式，但不要忽视变形中的 等价性，如定义域的变化. 如：【河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 6】函数 x xxy cos cos3cos  的值域是 （ ） A．[－4，0] B． )4,4[ C． )0,4[ D． ]0,4( 【答案】D 热点三 三角函数的性质 1.【2017 山东，文 7】函数 3sin 2 cos2y x x  最小正周期为 A. π 2 B. 2π 3 C. π D. 2π 【答案】C 【解析】因为 π3sin 2 cos2 2sin 2 3y x x x       ,所以其周期 2π π2T   ,故选 C. 2.【2018 届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】已知函数   2 2sin cos 3f x x x       ， x R （1）求  f x 的对称中心； （2）讨论  f x 在区间 ,3 4      上的单调性. 【答案】（1）对称中心为 ,02 12 k     ， k Z ；（2）增区间为 ,6 4      ，减区间为 ,3 6       . 【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的 性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为 0，从而角的终边在 x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间， 再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间． 试题解析：1）由已知   21 cos 21 cos2 3 1 13 sin2 cos2 sin 22 2 4 4 2 6 xxf x x x x                 令 2 6x k   ，得 ,2 12 kx k Z    ，对称中心为 ,02 12 k     ， k Z . （2）令 2 2 22 6 2k x k        ， k Z 得 6 3k x k      ， k Z ,增区间为 , ,6 3k k k Z        令 32 2 22 6 2k x k        ， k Z 得 5 3 6k x k      ， k Z ,增区间为 5, ,3 6k k k Z        ,3 4      上的增区间为 ,6 4      ，减区间为 ,3 6       . 【方法规律】 )sin(   xAy 、 )cos(   xAy 、 )tan(   xAy 的性质： ①周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 2π |ω| ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π |ω| . ②奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为 y＝Acos ωx＋b 的形 式． ③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将  x 看作一个整体. 如：已知函数 2( ) 2 sin cos 2 sin2 2 2 x x xf x   ． (Ⅰ) 求 ( )f x 的最小正周期； (Ⅱ) 求 ( )f x 在区间[ π 0] ， 上的最小值． 【答案】（1） 2 ，（2） 21 2  【解析】 (Ⅰ) 2 1 1 cos( ) 2 sin cos 2 sin 2 sin 22 2 2 2 2 x x x xf x x        2 2 2sin cos2 2 2x x   2sin( )4 2x    (1) ( )f x 的最小正周期为 2 21T    ； (2) 30, 4 4 4x x          ，当 3,4 2 4x x       时， ( )f x 取得最小值 为： 21 2  【解题技巧】 研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将  x 看作一个整体.如（上例） 【易错点睛】 求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式 的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不 等式的方向与 y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)． 如：求 )2 1 3sin( xy   的单调递增区间（教材第 39 页） 【热点预测】 1.【2017 天津，文理】设函数 ( ) 2sin( ),f x x x   R ，其中 0,| | π   .若 5π 11π( ) 2, ( ) 0,8 8f f  且 ( )f x 的最小正周期大于 2π ，则 （A） 2 π,3 12    （B） 2 11π,3 12     （C） 1 11π,3 24     （D） 1 7π,3 24    【答案】 A 【解析】 2.【2016 高考天津文理】已知函数 )0(2 1sin2 1 2sin)( 2   xxxf ， Rx .若 )(xf 在区间 )2,(  内没有零点，则 的取值范围是（ ） （A） ]8 1,0( （B） )1,8 5[]4 1,0(  （C） ]8 5,0( （D） ]8 5,4 1[]8 1,0(  【答案】D 【解析】 1 cos sin 1 2( ) sin( x )2 2 2 2 4 x xf x        ， ( ) 0 sin( x ) 04f x     ，所以 4 ( ,2 ),(k z) k x        ，因此 1 1 5 5 9 9 1 1 5 1 1 5( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (0, ] [ , ]8 4 8 4 8 4 8 4 8 8 4 8           ， 选 D. 3.【【百强校】2017 届三省高三上学期百校大联考】将函数 ( ) 3sin cos2 2 x xf x   的图象向右平移 2 3  个 单位长度得到函数 ( )y g x 的图象，则函数 ( )y g x 的一个单调递减区间是（ ） A． ( , )4 2   B． ( , )2   C． ( , )2 4    D． 3( ,2 )2   【答案】C 【解析】因为 ( ) 2sin( )2 6 xf x   ，所以 2( ) ( ) 2sin( ) 2cos3 2 6 3 2 x xg x f x          ，则 ( )g x 在 ( , )2 4    上递减． 4. 【【百强校】2017 届广东海珠区高三上学期调研测试一】已知函数 ( ) | cos | sinf x x x ，给出下列四 个说法： ①函数 ( )f x 的周期为 ； ②若 1 2| ( ) | | ( ) |f x f x ，则 1 2 ,x x k k Z   ； ③ ( )f x 在区间[ , ]4 4   上单调递增； ④ ( )f x 的图象关于点 ( ,0)2  中心对称. 其中正确说法的个数是（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】C 【解析】①因为    ,f x f x  函数 ( )f x 的周期为 ,不正确；②若    1 2f x f x ,即 1 2 1 1sin 2 sin 22 2x x ,则 1 20, 2x x   时也成立,故不正确；③在区间 ,4 4      上   1cos sin sin 22f x x x x  ,单调递增,正确；④函数 ( ) cos sin ,f x x x  函数是奇函数,所以 ( )f x 的图象关于点 0,0 成中心对称，点 ,02     不是函数的对称中心，故不正确,故选 C. 5.若将函数   sin 2 cos2f x x x  的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称， 则 的最小正 值是（ ） A. 8  B. 4  C. 3 8  D. 5 4  【答案】C. 6.【【百强校】2017 届河北武邑中学高三上学期周考】已知函数 cos( )( 0,| | )y x        的部分 图象如图所示，则（ ） A． 21, 3    B． 21, 3     C． 22, 3    D． 22, 3     【答案】D 【解析】由图象得 7 2, , 24 12 3 4 T T          ，所以由 cos(2 ) 1,3     得 2 3    ，故 选 D. 7.【2016 高考江苏卷】定义在区间 [0,3 ] 上的函数 sin 2y x 的图象与 cosy x 的图象的交点个数 是 . 【答案】7 【解析】由 1sin 2 cos cos 0 sin 2x x x x   或 ，因为 [0,3 ]x  ，所以 3 5 5 13 17, , , , , , ,2 2 2 6 6 6 6x        共 7 个 8.【2016 高考上海文科】若函数 ( ) 4sin cosf x x a x  的最大值为 5，则常数 a  ______. 【答案】 3 【解析】 )sin(16)( 2  xaxf ，其中 4tan a ，故函数 )(xf 的最大值为 216 a ，由已知， 516 2  a ，解得 3a . 9. 【2016 高考上海文科】如图，已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线 21y x= - 上一个动点，则 OP BA× uuur uur 的取值范围是 . 【答案】[ 1, 2] 【解析】由题意，设 (cos ,sin )P   , [0,π]  ，则 (cos ,sin )OP   ，又 (1,1)BA  , 所以 cos sin 2 sin( ) [ 1, 2]4OP BA            . 10.【【全国百强校】2018 届江苏省南通中学高三 10 月月考】已知函数 ， . （Ⅰ）若圆心角为 ，半径为 的扇形的弧长为 ，且 ， ，求 ； （Ⅱ）若函数 的最大值与 （ ）的最小值相等，求实数 . 【答案】(Ⅰ) 或 ；(Ⅱ)1. 【解析】试题分析： (Ⅰ)由题意得到三角方程 ，结合题意和角的范围可得 或 (Ⅱ)由题意结合函数 p(x)的解析式分类讨论 和 两种情况可得实数 的值为 ． 试题解析： （Ⅰ）因为 ，所以 ，即 ， 而 ，所以 ，因此， 或 ，所以 或 ； （Ⅱ）显然 的最大值为 ． 对于函数 （ ）． 当 时， ，不符合题意； 当 时，因为 ，所以 的最小值为 ． 若 ，则 ，此时 ，不符合题意； 若 ，则 ，此时 ，符合题意． 综上，实数 的值为 ． 11.【2018 届河南省洛阳高三期中】已知向量    sin , 3 , 1,cosa x b x   . （I）若 a b  ，求 tan2x 的值; （II）令  f x a b   ，把函数  f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再 把所得图象沿 x 轴向左平移 3  个单位，得到函数  y g x 的图象，求函数  y g x 的单调增区间及图 象的对称中心. 【答案】（I） 3 ；（II）  5 ,12 12k k k         ，  1 ,02 6k k Z     . 【解析】试题分析：（I）由 a b  可得    sin , 3 1,cos sin 3cos 0a b x x x x       ，从而可得 tan 3x  ，根据二倍角的正切公式可得结果；（II）由辅助角公式可得   2sin 3f x x      ，根据平 移变换可得   2sin 2 3g x x      ，利用正弦函数的单调性，解不等式即可得结果. 试题解析：（I）    sin , 3 1,cos 0a b x x       ， 即sin 3cos 0 tan 3x x x    ， 2 2tantan2 =- 31 tan xx x    ， 12.【百强校】2017 届广西陆川县中学高三 8 月月考】已知函数 2( ) 3sin 2sin ( 0)2 xf x x     的 最小正周期为3 . （1）求函数 ( )f x 的表达式并求 ( )f x 在区间 3[ , ]4 2   上的最小值； （2）在 ABC 中， , ,a b c 分别为角 , ,A B C 所对的边，且 a b c  ， 3 2 sina c A ，求角C 的大小. 【答案】（1） 2( ) 2sin( ) 13 6f x x    ， 2 ；（2） 2 3C  【解析】（1） 1 cos( ) 3sin 2 2sin( ) 12 6 xf x x x       函数 ( )f x 的最小正周期为3 ，即 2 3   ，解得 2 3   ，∴ 2( ) 2sin( ) 13 6f x x    因为 3 4 2x    ，∴ 2 70 3 6 6x     ，∴ 1 2sin( ) 12 3 6x     ， ∴ 2 ( ) 1f x   ， min( ) 2f x   . （2）因为 3 2 sina c A ，由正弦定理得： 2sin sin sin3 a A A c C   又sin 0A  ，∴ 3sin 2C  ，又因为 a b c  ，所以 2 3C  . 13.【2017 江苏，16】 已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0, π].x x x   a b （1）若 a∥b,求 x 的值； （2）记 ( )f x  a b ,求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 【答案】（1） 5π 6x  （2） 0x  时， 取得最大值，为 3； 5π 6x  时， 取得最小值，为 2 3 . 14.【2018 届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上第一次月考】已知函数   2 33sin sin cos 2f x x x x   . （Ⅰ）求函数  f x 的单调递增区间； （Ⅱ）在△ ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 A 为锐角且   3 2f A  ， 4b c  ，求 a 的 取值范围. 【答案】(1)   sin 2 3f x x      ,单调增区间  5,12 12k k k Z         （2）  2,4a 试题解析：（1）函数变形   1 cos2 1 33 sin2 sin 22 2 2 3 xf x x x               ，即   sin 2 3f x x      ，令 2 2 2 ,2 3 2k x k k Z          ，解得 5 12 12k x k       ，所 以单调增区间  5,12 12k k k Z         （2）   3sin 2 3 2f A A       ， 0 ,2A   223 3 3A      所以 2 3 3A    解得 3A  ，又 4b c  ，在△ ABC 中，    2 22 2 2 3 44 b ca b c bc b c bc         ，等边三角 形时等号成立，所以 2a  ，又因为是三角形所以 , 4b c a a   ，所以  2,4a 。