【数学】2021届一轮复习北师大版（理）29平面向量的概念及线性运算作业 8页

平面向量的概念及线性运算 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB → ＋FC → ＝ (　　) A.AD → B.1 2AD → C.1 2BC → D.BC → A　[由题意得EB → ＋FC → ＝1 2(AB → ＋CB → )＋1 2(AC → ＋BC → )＝1 2(AB → ＋AC → )＝AD → .] 2．(2019·兰州模拟)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC → ＝－4CD → ，则AD → ＝ (　　) A.1 4AB → －3 4AC → B.1 4AB → ＋3 4AC → C.3 4AB → －1 4AC → D.3 4AB → ＋1 4AC → B　[设AD → ＝xAB → ＋yAC → ，由BC → ＝－4 CD → 可得， BA → ＋AC → ＝－4CA → －4AD → ， 即－AB → －3AC → ＝－4xAB → －4yAC → ，则Error!解得Error! 即AD → ＝1 4AB → ＋3 4AC → ，故选 B.] 3．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反 向，则实数 λ 的值为(　　) A．1 B．－1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或－1 2 B　[由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，于是 λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]． 整理得 λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于 a，b 不共线，所以有Error! 整理得 2λ2－λ－1＝0， 解得 λ＝1 或 λ＝－1 2. 又因为 k＜0， 所以 λ＜0，故 λ＝－1 2.] 4．在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F，设AB → ＝a，AD → ＝b，则向量BF → ＝(　　) A．1 3a＋2 3b B．－1 3a－2 3b C．－1 3a＋2 3b D．1 3a－2 3b C　[由△CEF∽△ABF，且 E 是 CD 的中点得CE AB ＝EF BF ＝1 2 ，则BF → ＝2 3BE → ＝2 3(BC → ＋CE → ) ＝2 3(AD → －1 2AB → )＝－1 3a＋2 3b，故选 C.] 5．在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AO → ＝λAB → ＋μBC → ，则 λ＋μ 等于(　　) A.1 B.1 2 C.1 3 D.2 3 D　[∵AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋1 3BC → ， ∴2AO → ＝AB → ＋1 3BC → ，即AO → ＝1 2AB → ＋1 6BC → . 故 λ＋μ＝1 2 ＋1 6 ＝2 3.] 6．已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP → ＝2OA → ＋BA → ，则(　　) A．点 P 在线段 AB 上 B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C．点 P 在线段 AB 的延长线上 D．点 P 不在直线 AB 上 B　[因为 2OP → ＝2OA → ＋BA → ，所以 2AP → ＝BA → ，所以点 P 在线段 AB 的反向延长 线上，故选 B.] 7.(2019·西安调研)如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分 别为 AB，AD 上的点，且AM → ＝3 4AB → ，AN → ＝2 3AD → ，AC，MN 交于 点 P.若AP → ＝λAC → ，则 λ 的值为(　　) A.3 5 B.3 7 C. 3 16 D. 6 17 D　[∵AM → ＝3 4AB → ，AN → ＝2 3AD → ， ∴AP → ＝λAC → ＝λ(AB → ＋AD → )＝λ(4 3AM → ＋3 2AN → ) ＝4 3λAM → ＋3 2λAN → . ∵点 M，N，P 三点共线， ∴4 3λ＋3 2λ＝1，则 λ＝ 6 17.故选 D.] 二、填空题 8．若AP → ＝1 2PB → ，AB → ＝(λ＋1)BP → ，则 λ＝________. －5 2 　[如图，由AP → ＝1 2PB → ，可知点 P 是线段 AB 上靠近点 A 的三等分点，则AB → ＝－3 2BP → ，结合题意可得 λ＋1＝－3 2 ，所以 λ＝－5 2. ] 9．(2019·郑州模拟)设 e1 与 e2 是两个不共线向量，AB → ＝3e1＋2e2，CB → ＝ke1＋ e2，CD → ＝3e1－2ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为________． －9 4 　[由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数 λ，使得AB → ＝λBD → . 又AB → ＝3e1＋2e2，CB → ＝ke1＋e2，CD → ＝3e1－2ke2， 所以BD → ＝CD → －CB → ＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以 3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 又因为 e1 与 e2 不共线， 所以Error!解得 k＝－9 4.] 10．下列命题正确的是________．(填序号) ①向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ，使 b＝λa； ②在△ABC 中，AB → ＋BC → ＋CA → ＝0； ③只有方向相同或相反的向量是平行向量； ④若向量 a，b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线． ④　[易知①②③错误． ∵向量 a 与 b 不共线，∴向量 a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量． 若 a＋b 与 a－b 共线，则存在实数 λ 使 a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴ Error!此时 λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不共线．] 1.如图所示，平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ，其中OA → 与OB → 的夹角为 120°，OA → 与OC → 的夹角为 30°，且|OA → |＝|OB → |＝1，|OC → |＝ 3，若OC → ＝λOA → ＋ μOB → ，则 λ＋μ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[法一：∵OA → 与OB → 的夹角为 120°，OA → 与OC → 的夹角为 30°，且|OA → |＝|OB → |＝ 1，|OC → |＝ 3，∴由OC → ＝λOA → ＋μOB → ，两边平方得 3＝λ2－λμ＋μ2，① 由OC → ＝λOA → ＋μOB → ，两边同乘OA → 得3 2 ＝λ－μ 2 ，两边平方得9 4 ＝λ2－λμ＋μ2 4 ，② ①－②得3μ2 4 ＝3 4.根据题图知 μ＞0，∴μ＝1.代入3 2 ＝λ－μ 2 得 λ＝2，∴λ＋μ＝3. 故选 C. 法二：建系如图： 由题意可知 A(1,0)，C(3 2 ， 3 2 )，B(－1 2 ， 3 2 )， ∵(3 2 ， 3 2 )＝λ(1,0)＋μ(－1 2 ， 3 2 )＝(λ－1 2μ， 3 2 μ). ∵Error!∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.] 2．设 O 在△ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且OA → ＋OB → ＋2OC → ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　[如图，∵D 为 AB 的中点，则OD → ＝1 2(OA → ＋OB → )，又 OA → ＋OB → ＋2OC → ＝0， ∴OD → ＝－OC → ，∴O 为 CD 的中点， 又∵D 为 AB 中点，∴S△AOC＝1 2S△ADC＝1 4S△ABC，则S △ ABC S △ AOC ＝4.] 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，若AE → ＝mAB → ＋AD → ，则 实数 m 的值为________． 1 3 　[由 N 是 OD 的中点，得AN → ＝1 2AD → ＋1 2AO → ＝1 2AD → ＋1 4(AD → ＋AB → )＝3 4AD → ＋1 4AB → ， 又因为 A，N，E 三点共线， 故AE → ＝λAN → ， 即 mAB → ＋AD → ＝λ(3 4AD → ＋1 4AB → )， 又AB → 与AD → 不共线， 所以Error!解得Error!故实数 m＝1 3.] 4．在等腰梯形 ABCD 中， AB → ＝2DC → ，点 E 是线段 BC 的中点，若AE → ＝λAB → ＋ μAD → ，则 λ＝________，μ＝________. 3 4 　1 2 　[取 AB 的中点 F，连接 CF，则由题可得 CF∥AD，且 CF＝AD. ∵AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋1 2BC → ＝AB → ＋1 2(FC → －FB → )＝AB → ＋1 2(AD → －1 2AB → )＝3 4AB → ＋1 2 AD → ，∴λ＝3 4 ，μ＝1 2.] 1．O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP → ＝OA → ＋λ( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → |)，λ∈[0，＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 B　[作∠BAC 的平分线 AD. 因为OP → ＝OA → ＋λ( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → |)， 所以AP → ＝λ( AB → |AB → | ＋ AC → |AC → |) ＝λ′· AD → |AD → | (λ′∈[0，＋∞))， 所以AP → ＝ λ′ |AD → | ·AD → ， 所以AP → ∥AD → ，所以 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心， 故选 B.] 2．如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝ AB＝4，CD＝1，动点 P 在边 BC 上，且满足AP → ＝mAB → ＋nAD → (m， n 均为正实数)，则1 m ＋1 n 的最小值为________． 7＋4 3 4 　[AC → ＝AD → ＋DC → ＝1 4AB → ＋AD → ， BC → ＝AC → －AB → ＝－3 4AB → ＋AD → ， 设BP → ＝λBC → ＝－3λ 4 AB → ＋λAD → (0≤λ≤1)， 则AP → ＝AB → ＋BP → ＝(1－3λ 4 )AB → ＋λAD → . 因为AP → ＝mAB → ＋nAD → ， 所以 m＝1－3λ 4 ，n＝λ. 所以1 m ＋1 n ＝ 4 4－3λ ＋1 λ ＝ λ＋4 －3λ2＋4λ ＝ 1 28－[3(λ＋4)＋ 64 λ＋4] ≥ 1 28－2 3 × 64 ＝7＋4 3 4 . 当且仅当 3(λ＋4)＝ 64 λ＋4 ， 即(λ＋4)2＝64 3 时取等号．]