【数学】2020届一轮复习北师大版回归分析的基本思想及其初步应用课时作业 6页

知识点一 线性回归方程 ‎1.为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是(　　)‎ A．l1与l2一定平行 B．l1与l2重合 C．l1与l2相交于点(，)‎ D．无法判断l1和l2是否相交 答案　C 解析　回归直线一定过样本点的中心(，)，故C正确．‎ ‎2．若某地财政收入x与支出y满足回归方程＝x＋＋ei，(单位：亿元)(i＝1,2，…)，其中＝0.8，＝2，|ei|＜0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　)‎ A．10亿元 B．9亿元 C．10.5亿元 D．9.5亿元 答案　C 解析　＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，∵|ei|＜0.5，‎ ‎∴9.5＜＜10.5.‎ ‎3．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，则y与x之间的回归方程为________．‎ 答案　＝11.47＋2.62x 解析　利用公式＝，＝－b代入数据即可求得．‎ 知识点二 回归分析的基本思想 ‎4.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：‎ 甲 乙 丙 丁 R2‎ ‎0.98‎ ‎0.78‎ ‎0.50‎ ‎0.85‎ 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　A 解析　相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．‎ ‎5．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是(　　)‎ 答案　B 解析　选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.‎ 一、选择题 ‎1．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用模型比较合适，带状区域宽度越窄，拟合精度较高，残差平方和越小，R2值越接近1说明拟合效果越好，故①③正确，故选C.‎ ‎2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案　D 解析　回归方程中x的系数为0.85>0，因此y与x 具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，B正确；依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D错误．‎ ‎3．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：度)之间有下列数据：‎ x ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ y ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①＝－x＋2.8，②＝－x＋3，③＝－1.2x＋2.6；其中正确的是(　　)‎ A．① B．② C．③ D．①③‎ 答案　A 解析　回归方程＝x＋表示的直线必过点(，)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①，故选A.‎ ‎4．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x间的回归方程为(　　)‎ A.＝x＋1 B.＝x＋2‎ C.＝2x＋1 D.＝x－1‎ 答案　A 解析　易知变量y与x具有线性相关关系，且＝1，＝2.5，＝3.5，所以＝3.5－1×2.5＝1，故可得出线性回归方程为＝x＋1.故选A.‎ ‎5．已知x与y之间的几组数据如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)‎ A.＞b′，＞a′ B.＞b′，＜a′‎ C.＜b′，＞a′ D.＜b′，＜a′‎ 答案　C 解析　过(1,0)和(2,2)的直线方程为y′＝2x－2，‎ 画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，‎ 显然，b′＞，＞a′.故选C.‎ 二、填空题 ‎6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi) (i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．‎ 答案　1‎ 解析　因为所有的样本点都落在一条直线上，所以相关系数|r|＝1，又由回归方程为y＝x＋1，说明x与y正相关，即r＞0，所以r＝1.‎ ‎7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：‎ ＝，＝71，x＝79，xiyi＝1481.‎ 则销量每增加1000箱，单位成本约下降________元．‎ 答案　1.8182‎ 解析　由题意知，＝≈－1.8182，‎ ＝71－(－1.8182)×≈77.36，所以＝－1.8182x＋77.36，所以销量每增加1000箱，单位成本约下降1.8182元．‎ ‎8．某种商品的广告费支出x与销售额y之间有如下关系：(单位：万元)‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，当广告费支出5万元时，残差为________．‎ 答案　10‎ 解析　当广告费x＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，残差为60－50＝10.‎ 三、解答题 ‎9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x(元)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；‎ ‎(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ 解　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5.‎ ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.‎ 所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.‎ ‎(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)‎ ‎＝－20x2＋330x－1000‎ ‎＝－202＋361.25.‎ 当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．‎ 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．‎ ‎10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ 附：线性回归方程＝x＋中，‎ ＝，＝－，‎ 其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为＝x＋.‎ 解　(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，‎ ＝i＝＝2，又－n2＝720－10×82＝80，iyi－n＝184－10×8×2＝24，‎ 由此得＝＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4，‎ 故所求回归方程为＝0.3x－0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．‎ ‎(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．‎