高中数学必修1教案第一章 1_3_2奇偶性 10页

‎1.3.2　奇偶性 ‎[学习目标]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．‎ ‎2．如图所示，它们分别是哪种对称的图形？‎ 答案　第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形．‎ ‎3. 观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？‎ 答案　图象关于原点对称．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．偶函数 ‎(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．‎ ‎(2)图象特征：图象关于y轴对称．‎ ‎2．奇函数 ‎(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．‎ ‎(2)图象特征：图象关于原点对称．‎ ‎3．奇偶性的应用中常用到的结论 ‎(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝0.‎ ‎(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.‎ ‎(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ 解决学生疑难点　　‎ 要点一　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝2－|x|；‎ ‎(2)f(x)＝＋；‎ ‎(3)f(x)＝；‎ ‎(4)f(x)＝ 解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，‎ ‎∴f(x)为偶函数．‎ ‎(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，‎ ‎∴f(x)是非奇非偶函数．‎ ‎(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．‎ 当x>0时，－x<0，‎ f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；‎ 当x<0时，－x>0，‎ f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．‎ 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．‎ 规律方法　判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．‎ 跟踪演练1　(1)下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14‎ ‎(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．‎ ‎(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.‎ ‎∴g(－x)＝a(－x) 3＋c(－x)＝－g(x)，‎ ‎∴g(x)为奇函数．‎ 要点二　利用函数奇偶性研究函数的图象 例2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．‎ 答案　(－2,0)∪(2,5)‎ 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．‎ 规律方法　给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．‎ 跟踪演练2　设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________________________．‎ 答案　 {x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}‎ 解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，‎ 所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.‎ ‎∴f(x)＜0的解是－5≤x＜－2或2＜x≤5.‎ 要点三　利用函数的奇偶性求解析式 例3　已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．‎ 解　当x＜0，－x＞0，‎ ‎∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.‎ 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，‎ ‎∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)＝ 规律方法　1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.‎ ‎2．利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．‎ 跟踪演练3　　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是(　　)‎ A．f(x)＝－x(x－2)‎ B．f(x)＝x(|x|－2)‎ C．f(x)＝|x|(x－2)‎ D．f(x)＝|x|(|x|－2)‎ ‎(2)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　)‎ A．－2 B．0‎ C．1 D．2‎ 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，‎ ‎∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，‎ 则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2)．‎ 又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，‎ 因此f(x)＝|x|(|x|－2)．‎ ‎(2)当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.‎ ‎∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎1．函数f(x)＝x2(x＜0)的奇偶性为(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案　D 解析　∵函数f(x)＝x2(x＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，∴函数f(x)＝x2(x＜0)为非奇非偶函数．‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)‎ A．y＝x＋1 B．y＝－x3‎ C．y＝ D．y＝x|x|‎ 答案　D 解析　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．‎ ‎3．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1‎ C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1‎ 答案　B 解析　设x＜0，则－x＞0.‎ ‎∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，‎ ‎∴f(x)＝－x－1(x＜0)．‎ ‎4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．4‎ 答案　A 解析　由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.‎ ‎5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.‎ 答案　4‎ 解析　由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.‎ ‎1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．‎ ‎2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．‎ ‎3．(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．‎ 一、基础达标 ‎1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案　B 解析　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．‎ 又∵x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．‎ ‎2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ 答案　A 解析　∵f(x)是奇函数，‎ ‎∴f(1)＝－f(－1)＝－3.‎ ‎3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　A 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠－，且x≠a}．‎ 又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.‎ ‎4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)‎ A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)‎ B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)‎ C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)‎ D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)‎ 答案　A 解析　∵f(x)是偶函数，‎ 则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，‎ 又当x≥0时，f(x)是增函数，‎ 所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．‎ ‎5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 答案　B 解析　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0，‎ 又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.‎ ‎6．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．‎ 答案　[－1,0]，[1，＋∞)‎ 解析　偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．‎ ‎7．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．‎ 解　设x<0，则－x>0.‎ ‎∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.‎ ‎∴f(－x)＝x2－x－1.‎ ‎∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．‎ ‎∴f(x)＝x2－x－1.‎ ‎∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.‎ 二、能力提升 ‎8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)0，‎ 得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)