高中数学第二章平面解析几何2-2-2第2课时直线的两点式方程与一般式方程课件新人教B版选择性必修第一册 38页

第 2 课时　直线的两点式方程与一般式方程 核心 素养 1 . 会利用方向向量推导出直线的两点式方程 . ( 逻辑推理 ) 2 . 理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系 . ( 逻辑推理 ) 3 . 结合图示明确直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围 . ( 直观想象 ) 4 . 根据提供的条件 , 能恰当地选取合适的方程形式解决实际问题 , 并能进行方程形式上的转化 . ( 数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 同学们 , 在初中我们已经知道两点确定一条直线 , 那么 , 在平面内经过两个定点的直线的方程能否用 “ 公式 ” 写出来呢 ? 若这两个点的坐标为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 你有几种思路写出上述所求的 “ 公式 ” 呢 ? 我们学过的直线方程的各种形式 , 最后能否都归为一种形式呢 ? 带着这些问题 , 让我们进入今天的课题吧 ! 激趣诱思 知识点拨 1 . 直线的两点式 方程   已知条件 图示 方程式 适用条件 两点 式 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ), 其中 x 1 ≠x 2 ,y 1 ≠y 2 斜率存在 且不为 0 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 直线的两点式方程适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 . ( 　　 ) (2) 过原点的直线不适用两点式方程 . ( 　　 ) 答案 : (1) √ 　 (2)× 微练习 过点 P (3,2) 和点 Q (4,7) 的直线方程为 　　　　　 .   答案 : 5 x-y- 13 = 0 激趣诱思 知识点拨 微思考 两点式表示直线方程的条件是什么 ? 两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了 ? 提示 : 两点式除了不适用于斜率为 0 与斜率不存在的直线 , 其他情况均可表示 ; 只需 将 变形 为 ( x-x 1 )·( y 2 -y 1 ) = ( y-y 1 )( x 2 -x 1 ) 的形式 , 就能适用于所有直线了 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 直线的一般式方程 所有的直线方程都可以写成 Ax+By+C= 0 的形式 , 其中 A , B , C 都是实常数 , 而且 A 与 B 不同时为零 ( 即 A 2 +B 2 ≠0) .Ax+By+C= 0 一般称为直线的一般式方程 . 激趣诱思 知识点拨   方程形式 局限 点斜式 y-y 0 =k(x-x 0 ) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y=kx+b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 不能表示斜率不存在或斜率为 0 的直线 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0 无 名师点析 (1) 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的方程形式及适用范围 . 激趣诱思 知识点拨 (2) 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 . ( 　　 ) (2) 对于二元一次方程 Ax+By+C= 0, 当 A= 0, B ≠0 时 , 方程表示斜率不存在的直线 . ( 　　 ) (3) 当 A , B 同时为零时 , 方程 Ax+By+C= 0 也可表示为一条直线 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2)× 　 (3 )× 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 在平面直角坐标系中 , 直线 x+ y- 3 = 0 的倾斜角是 ( 　　 ) A.30 ° 　 B.60 ° 　 C.150 ° 　 D.120 ° 解析 : 直线斜率 k =- , 所以倾斜角为 150 ° , 故选 C . 答案 : C (2) 已知直线 kx-y+ 1 - 3 k= 0, 当 k 变化时 , 直线恒过定点 　　　　 .   解析 : kx-y+ 1 - 3 k= 0 可化为 y- 1 =k ( x- 3), 所以直线过定点 (3,1) . 答案 : (3,1 ) 激趣诱思 知识点拨 微思考 在方程 Ax+By+C= 0( A 2 +B 2 ≠0) 中 , 当 A= 0 或 B= 0 时方程分别表示怎样的直线 ? 提示 : 在方程 Ax+By+C= 0( A 2 +B 2 ≠0) 中 , 若 B= 0, 则 x =- , 它表示一条与 y 轴平行或重合的直线 , 此时直线的斜率不存在 ; 若 A= 0, 则 y =- , 它表示一条与 x 轴平行或重合的直线 , 此时直线的斜率为 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线的两点式方程 例 1 已知 A ( - 3,2), B (5, - 4), C (0, - 2), 在 △ ABC 中 , (1) 求 BC 边所在的直线方程 ; (2) 求 BC 边上的中线所在直线的方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 若本例条件不变 , 试求 BC 边的垂直平分线所在直线的方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 当已知两点坐标 , 求过这两点的直线方程时 , 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件 : 两点的连线不平行于坐标轴 . 若满足 , 则考虑用两点式求方程 . 2 . 由于减法的顺序性 , 一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误 , 在记忆和使用两点式方程时 , 必须注意坐标的对应关系 , 即 x 2 与 y 2 是同一点坐标 , 而 x 1 与 y 1 是另一点坐标 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 经过点 A (2,5), B ( - 3,6) 的直线在 x 轴上的截距为 ( 　　 ) A.2 B. - 3 C. - 27 D.27 答案 : D (2) 已知直线 2 x 1 - 3 y 1 = 4,2 x 2 - 3 y 2 = 4, 则过点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 的直线 l 的方程是 ( 　　 ) A.2 x- 3 y= 4 B.2 x- 3 y= 0 C.3 x- 2 y= 4 D.3 x- 2 y= 0 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线的截距式方程 例 2 已知点 A (3,0), B (0,4), 动点 P ( x , y ) 在线段 AB 上运动 , 求 xy 的最大值 . 反思感悟 对直线的截距式方程应注意以下几点 : (1) 在 方程 中 , 要求 a ≠0, b ≠0, 即直线在 x 轴与 y 轴上的截距都不为 0, 因此它不能表示过坐标原点或平行于 x 轴、 y 轴的直线 . (2) 当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时 , 若选用截距式来求解 , 注意截距都为 0, 即直线过原点这种情况 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 在 x , y 轴上的截距分别是 - 3,4 的直线方程是 ( 　　 ) A.4 x+ 3 y- 12 = 0 B.4 x- 3 y+ 12 = 0 C.4 x+ 3 y- 1 = 0 D.4 x- 3 y+ 1 = 0 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线的一般式方程 例 3 根据下列条件分别写出直线的方程 , 并化为一般式方程 . (1) 斜率 是 , 且经过点 A (5,3); (2) 斜率为 4, 在 y 轴上的截距为 - 2; (3) 经过点 A ( - 1,5), B (2, - 1) 两点 ; (4) 在 x 轴 , y 轴上的截距分别为 - 3, - 1; (5) 经过点 B (4,2), 且平行于 x 轴 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 在求直线方程时 , 设一般式方程有时并不简单 , 常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程 , 然后可以转化为一般式 . 2 . 当直线方程 Ax+By+C= 0 的系数 A , B , C 满足下列条件时 , 直线 Ax+By+C= 0 有如下性质 : (1) 当 A ≠0, B ≠0 时 , 直线与两条坐标轴都相交 ; (2) 当 A ≠0, B= 0, C ≠0 时 , 直线只与 x 轴相交 , 即直线与 y 轴平行 , 与 x 轴垂直 ; (3) 当 A= 0, B ≠0, C ≠0 时 , 直线只与 y 轴相交 , 即直线与 x 轴平行 , 与 y 轴垂直 ; (4) 当 A= 0, B ≠0, C= 0 时 , 直线与 x 轴重合 ; (5) 当 A ≠0, B= 0, C= 0 时 , 直线与 y 轴重合 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 (1) 根据下列各条件写出直线的方程 , 并化成一般式 . ① 斜率是 - , 且经过点 A (8, - 6) 的直线方程为 　　　　 ;   ② 在 x 轴和 y 轴上的截距分别 是 和 - 3 的直线方程为 　　　　 ;   ③ 经过点 P 1 (3, - 2), P 2 (5, - 4) 的直线方程为 　　　　 .   答案 : ① x+ 2 y+ 4 = 0 　 ② 2 x-y- 3 = 0 　 ③ x+y- 1 = 0 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 直线 l :3 x- 4 y+ 5 = 0 关于直线 x+y= 0 对称的直线 l' 的方程为 ( 　　 ) A.4 x- 3 y+ 5 = 0 B.4 x- 3 y- 5 = 0 C.3 x+ 4 y- 5 = 0 D.3 x+ 4 y+ 5 = 0 解析 : 在直线 l' 上任取一点 ( x , y ), 此点关于直线 x+y= 0 的对称点 ( -y , -x ) 在直线 l :3 x- 4 y+ 5 = 0 上 , ∴ 3( -y ) - 4( -x ) + 5 = 0, 即 4 x- 3 y+ 5 = 0, 故选 A . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 含参数的一般方程的有关问题 例 4 设直线 l 的方程为 ( m 2 - 2 m- 3) x- (2 m 2 +m- 1) y+ 6 - 2 m= 0 . (1) 已知直线 l 在 x 轴上的截距为 - 3, 求 m 的值 ; (2) 已知直线 l 的斜率为 1, 求 m 的值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 对于本例中的直线 l 的方程 , 若直线 l 与 y 轴平行 , 求 m 的值 . 反思 感悟 1 . 若方程 Ax+By+C= 0 表示直线 , 则需满足 A , B 不同时为零 . 2 . 令 x= 0 可得在 y 轴上的截距 , 令 y= 0 可得在 x 轴上的截距 , 若确定直线的斜率存在 , 可将一般式化为斜截式 . 3 . 解分式方程要注意验根 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4 (1) 若方程 (2 m 2 +m- 3) x+ ( m 2 -m ) y- 4 m+ 1 = 0 表示一条直线 , 则实数 m 满足 ( 　　 ) 解析 : 因为方程 (2 m 2 +m- 3) x+ ( m 2 -m ) y- 4 m+ 1 = 0 表示一条直线 , 所以 2 m 2 +m- 3 = 0, m 2 -m= 0 不能同时成立 , 解得 m ≠1 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 若直线 l : ax+y- 2 = 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等 , 则 a= 　　　　 .   解析 : 由题意知 a ≠0, 当 x= 0 时 , y= 2; 答案 : 1 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因忽视截距为 0 的情况而致错 案例 求经过点 P (2,3), 并且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程 . 故所求的直线方程为 x+y- 5 = 0 . 错因分析 忘记截距为 0 的情况 , 而导致丢解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 经过两点 (5,0),(2, - 5) 的直线方程为 ( 　　 ) A.5 x+ 3 y- 25 = 0 B.5 x- 3 y- 25 = 0 C.3 x- 5 y- 25 = 0 D.5 x- 3 y+ 25 = 0 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 过点 A (1,2) 的直线在两坐标轴上的截距之和为 0, 则该直线方程为 ( 　　 ) A. x-y+ 1 = 0 B. x+y- 3 = 0 C.2 x-y= 0 或 x+y- 3 = 0 D.2 x-y= 0 或 x-y+ 1 = 0 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 过点 (1,3) 且在 x 轴上的截距为 2 的直线方程是 　　　　 .   解析 : 由题意知直线过点 (2,0 ), 整理得 3 x+y- 6 = 0 . 答案 : 3 x+y- 6 = 0 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 设直线 l 的方程为 2 x+ ( k- 3) y- 2 k+ 6 = 0( k ≠3), 根据下列条件分别确定 k 的值 . (1) 直线 l 的斜率为 - 1; (2) 直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于 0 .