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- 2021-06-16 发布
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等比数列及其前n项和
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一、选择题
1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )
A.-24 B.0
C.12 D.24
A [由x,3x+3,6x+6成等比数列,知(3x+3)2=x·(6x+6),解得x=-3或x=-1(舍去).所以此等比数列的前三项为-3,-6,-12.故第四项为-24,选A.]
2.(2019·日照一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=,且a2+a4=,则=( )
A.4n-1 B.4n-1
C.2n-1 D.2n-1
D [设等比数列{an}的公比为q,则,
解得
∴===2n-1.故选D.]
3.(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值是( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或
C [当q=1时,a3=7,S3=21,符合题意;当q≠1时,得q=-.综上,q的值是1或-,故选C.]
4.等比数列{an}的前n项和为Sn=32n-1+r,则r的值为( )
A. B.-
C. D.-
B [当n=1时,a1=S1=3+r,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3
=32n-3(32-1)=8·32n-3=8·32n-2·3-1=·9n-1,
所以3+r=,
即r=-,故选B.]
5.(2019·鄂尔多斯模拟)中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( )
A.6里 B.12里
C.24里 D.48里
B [记每天走的路程里数为{an},由题意知{an}是公比为的等比数列,由S6=378,得S6==378,解得a1=192,∴a5=192×=12(里).故选B.]
二、填空题
6.已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值________.
[由题意得a1+a2=5,b=4,又b2与第一项的符号相同,所以b2=2.所以=.]
7.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项之和为,则此数列的项数为________.
5 [设此等比数列为{am},公比为q,则该数列共有n+2项.∵14≠,∴q≠1.由等比数列的前n项和公式,得=,解得q=-,
∴an+2=14×n+2-1=,即n+1=,解得n=3,∴该数列共有5项.]
8.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=________.
30 [由题意知公比大于0,由等比数列性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.
设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.
由(x-2)2=2×(14-x),
解得x=6或x=-4(舍去).
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.
又∵S3n=14,∴S4n=14+2×23=30.]
三、解答题
9.(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.
[解] (1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.
(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
10.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
[解] (1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.
1.已知{an}为等比数列,数列{bn}满足b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=
an+1,则数列{bn}的前n项和为( )
A.3n+1 B.3n-1
C. D.
C [∵b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,
∴a1(b2-b1)=a2,即a2=3a1,
又数列{an}为等比数列,
∴数列{an}的公比为q=3,
∴bn+1-bn==3,
∴数列{bn}是首项为2,公差为3的等差数列,
∴数列{bn}的前n项和为Sn=2n+×3=.故选C.]
2.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q等于( )
A.- B.
C.- D.
C [{bn}有连续四项在{-53,-23,19,37,82}中且bn=an+1,即an=bn-1,则{an}有连续四项在{-54,-24,18,36,81}中.∵{an}是等比数列,等比数列中有负数项,∴q<0,且负数项为相隔两项,又∵|q|>1,∴等比数列各项的绝对值递增.按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18,-24,36,-54,81,相邻两项相除=-,=-,-=-,=-,则可得-24,36,-54,81是{an}中连续的四项.∴q=-.]
3.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
64 [设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8.
故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=23n·
记t=-+=-(n2-7n),
结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.
又y=2t为增函数,从而a1a2…an的最大值为26=64.]
4.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2),
∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).
∵a1=5,a2=5,
∴a2+2a1=15,
∴an+2an-1≠0(n≥2),
∴=3(n≥2),
∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,
则an+1=-2an+5×3n,
∴an+1-3n+1=-2(an-3n).
又∵a1-3=2,
∴an-3n≠0,
∴{an-3n}是以2为首项,
-2为公比的等比数列.
∴an-3n=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1+3n.
1.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为________.
[由题意,得正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,现已知共得到1 023个正方形,则有1+2+…+2n-1=1 023,∴n=10,∴最小正方形的边长为×9=.]
2.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2;….设第n次“扩展”后得到的数列为1,x1,x2,…,xt,
2,并记an=log2(1·x1·x2·…·xt·2),其中t=2n-1,n∈N+,求数列{an}的通项公式.
[解] an=log2(1·x1·x2·…·xt·2),
所以an+1=log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]
=log2(12·x·x·x·…·x·22)=3an-1,
所以an+1-=3,
所以数列是一个以为首项,以3为公比的等比数列,
所以an-=×3n-1,所以an=.
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