高中数学人教a版选修1-2模块综合测评2word版含解析 11页

模块综合测评(二) (时间 120分钟，满分 150分) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的 点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一 种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是( ) A．①②③ B．①② C．②③ D．①③④ 【解析】 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不 正确．其余均为相关关系． 【答案】 D 2．(2015·山东高考)若复数 z满足 z 1－i ＝i，其中 i为虚数单位，则 z＝( ) A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i 【解析】 由已知得 z ＝i(1－i)＝i＋1，则 z＝1－i，故选 A. 【答案】 A 3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直 线 b⊄平面α，直线 a⊂平面α，直线 b∥平面α，则直线 b∥直线 a.这个结论显然是 错误的，这是因为( ) 【导学号：19220073】 A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 【解析】 大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有 直线． 【答案】 A 4．如图 1所示的知识结构图为什么结构( ) 图 1 A．树形 B．环形 C．对称性 D．左右形 【解析】 由题图可知结构图为树形结构． 【答案】 A 5．(2015·陕西高考)根据右边框图，当输入 x为 2 006时，输出的 y＝( ) 图 2 A．2 B．4 C．10 D．28 【解析】 x每执行一次循环减少 2，当 x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1 ＝32＋1＝10. 【答案】 C 6．(2016·吉林高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中 心为(4,5)，则回归直线的方程是( ) A.ŷ＝1.23x＋4 B.ŷ＝1.23x＋5 C.ŷ＝1.23x＋0.08 D.ŷ＝0.08x＋1.23 【解析】 由题意可设回归直线方程为ŷ＝1.23x＋a，又样本点的中心(4,5) 在回归直线上， 故 5＝1.23×4＋a，即 a＝0.08， 故回归直线的方程为ŷ＝1.23x＋0.08. 【答案】 C 7．设△ABC的三边长分别为 a，b，c，△ABC的面积为 S，内切圆半径为 r， 则 r＝ 2S a＋b＋c ，类比这个结论可知：四面体 SABC的四个面的面积分别为 S1， S2，S3，S4，内切球半径为 R，四面体 SABC的体积为 V，则 R＝( ) A. V S1＋S2＋S3＋S4 B. 2V S1＋S2＋S3＋S4 C. 3V S1＋S2＋S3＋S4 D. 4V S1＋S2＋S3＋S4 【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把 四面体分割成四个高均为 R的三棱锥，从而有 1 3 S1R＋1 3 S2R＋1 3 S3R＋1 3 S4R＝V.即(S1 ＋S2＋S3＋S4)R＝3V. ∴R＝ 3V S1＋S2＋S3＋S4 . 【答案】 C 8．(2016·南昌高二检测)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝n2·an(n≥2)，而 a1＝1， 通过计算 a2，a3，a4猜想 an等于( ) A. 2 n＋12 B. 2 nn＋1 C. 2 2n－1 D. 2 2n－1 【解析】 ∵a1＝1，Sn＝n2·an(n≥2)， ∴a1＋a2＝22·a2，得 a2＝1 3 ； 由 a1＋a2＋a3＝32· a3，得 a3＝1 6 ； 由 a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，得 a4＝ 1 10 ；…. 猜想 an＝ 2 nn＋1 . 【答案】 B 9．(2016·临沂高二检测)若关于 x的一元二次实系数方程 x2＋px＋q＝0有一 个根为 1＋i(i为虚数单位)，则 p＋q的值是( ) A．－1 B．0 C．2 D．－2 【解析】 把 1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0， 即 2i＋p＋pi＋q＝0，即 p＋q＋(p＋2)i＝0， ∵p，q为实数，∴p＋q＝0. 【答案】 B 10．(2016·西安高二检测)满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数 z在复平面上对应点 的轨迹是( ) A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 【解析】 |z－i|＝|3－4i|＝5， ∴复数 z对应点到定点(0,1)的距离等于 5，故轨迹是个圆． 【答案】 C 11．(2016·大同高二检测)设 a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－ a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于 0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 必要性显然成立；PQR>0，包括 P，Q，R同时大于 0，或其中 两个为负两种情况．假设 P<0，Q<0，则 P＋Q＝2b<0，这与 b为正实数矛盾．同 理当 P，R同时小于 0或 Q，R同时小于 0的情况亦得出矛盾，故 P，Q，R同时 大于 0，所以选 C. 【答案】 C 12．在正整数数列中，由 1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染 1， 再染 2个偶数 2,4；再染 4后面最邻近的 3个连续奇数 5,7,9；再染 9后面最邻近 的 4个连续偶数 10,12,14,16；再染 16后面最邻近的 5个连续奇数 17,19,21,23,25. 按此规律一直染下去，得到一红色子数列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个 红色子数列中，由 1开始的第 60个数是( ) A．103 B．105 C．107 D．109 【解析】 由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染 色个数的平方．故第 10 次染完后的最后一个数为偶数 100，接下来应该染 101,103,105,107,109，此时共 60个数． 【答案】 D 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．将答案填在题中的横 线上．) 13．(2015·上海高考)若复数 z满足 3z＋ z ＝1＋i，其中 i为虚数单位，则 z ＝________. 【解析】 设复数 z＝a＋bi，a，b∈R，则 z ＝a－bi，a，b∈R,3z＋ z ＝4a ＋2bi＝1＋i，a，b∈R，则 a＝1 4 ，b＝1 2 ，故 z＝1 4 ＋ 1 2 i. 【答案】 1 4 ＋ 1 2 i 14．(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图 3所示，现已知工程总工 时数为 10天，则工序 c所需工时为________天. 【导学号：19220074】 图 3 【解析】 设工序 c所需工时为 x天．由题意知： 按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为 0＋2＋3＋3＋1＝9(天)， 按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为 1＋0＋3＋3＋1＝8(天)， 故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为 10天． ∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4. 【答案】 4 15．在 Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径 r ＝ a2＋b2 2 .运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a，b， c，则其外接球的半径 R＝________. 【解析】 通过类比可得 R＝ a2＋b2＋c2 2 . 证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为 a，b，c的长方体，则这个长方体 的体对角线的长度是 a2＋b2＋c2，故这个长方体的外接球的半径是 a2＋b2＋c2 2 ， 这也是所求的三棱锥的外接球的半径． 【答案】 a2＋b2＋c2 2 16．(2016·三明高二检测)某考察团对中国 10个城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)调查，y与 x具有相关关系，回归方程为ŷ＝ 0.66x＋1.562，若 A城市居民人均消费水平为 7.765(千元)，估计该城市人均消费 额占人均工资收入的百分比约为________. 【导学号：19220075】 【解析】 因为 y与 x具有线性相关关系，满足回归方程ŷ＝0.66x＋1.562， A城市居民人均消费水平为 y＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平 x满足 7.765＝0.66x＋1.562，所以 x≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收 入的百分比约为 7.765 9.4 ×100%≈83%. 【答案】 83% 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答时应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分 10分)复数 z＝1＋i，求实数 a，b，使 az＋2b z ＝(a＋2z)2. 【解】 ∵z＝1＋i， ∴az＋2b z ＝(a＋2b)＋(a－2b)i， 又∵(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i， ∵a，b都是整数， ∴{a＋2b＝a2＋4a， a－2b＝4a＋2， 解得{a1＝－2， b1＝－1 或{a2＝－4， b2＝2. ∴所求实数为 a＝－2，b＝－1或 a＝－4，b＝2. 18．(本小题满分 12 分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕 机为 28 人，不会晕机的也是 28 人，而女乘客晕机为 28 人，不会晕机的为 56 人． (1)根据以上数据建立一个 2×2列联表； (2)试判断晕机是否与性别有关？ (参考数据：K2>2.706 时，有 90%的把握判定变量 A，B有关联；K2>3.841 时，有 95%的把握判定变量 A，B有关联；K2>6.635时，有 99%的把握判定变量 A，B有关联．参考公式：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ) 【解】 (1)2×2列联表如下： 晕机 不晕机 总计 男乘客 28 28 56 女乘客 28 56 84 总计 56 84 140 (2)根据列联表中的数据， 得 K2的观测值 k＝140×28×56－28×282 56×84×56×84 ＝ 35 9 ≈3.889>3.841，所以有 95% 的把握认为晕机与性别有关． 19．(本小题满分 12 分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首 先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意， 则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈 信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出 去．试画出此监督程序的流程图． 【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下： 20．(本小题满分 12分)(2016·中山高二检测)已知 a，b，c是全不相等的正实 数，求证： b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c >3. 【证明】 法一(分析法)：要证 b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c >3， 只需证明 b a ＋ c a －1＋a b ＋ c b －1＋a c ＋ b c －1>3， 即证 b a ＋ c a ＋ a b ＋ c b ＋ a c ＋ b c >6， 而事实上，由 a，b，c是全不相等的正实数， ∴ b a ＋ a b >2，c a ＋ a c >2，c b ＋ b c >2. ∴ b a ＋ c a ＋ a b ＋ c b ＋ a c ＋ b c >6， ∴ b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c >3得证． 法二(综合法)：∵a，b，c全不相等， ∴ b a 与 a b ， c a 与 a c ， c b 与 b c 全不相等， ∴ b a ＋ a b >2，c a ＋ a c >2，c b ＋ b c >2， 三式相加得 b a ＋ c a ＋ a b ＋ c b ＋ a c ＋ b c >6， ∴ b a ＋ c a －1 ＋ a b ＋ c b －1 ＋ a c ＋ b c －1 >3， 即 b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c >3. 21．(本小题满分 12分)某产品的广告支出 x(单位：万元)与销售收入 y(单位： 万元)之间有下表所对应的数据： 广告支出 x(单位：万元) 1 2 3 4 销售收入 y(单位：万元) 12 28 42 56 (1)画出表中数据的散点图； (2)求出 y对 x的线性回归方程； (3)若广告费为 9万元，则销售收入约为多少万元？ 【导学号：19220076】 【解】 (1)散点图如图： (2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计 算â，b ^ . i xi yi x2i xiyi 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 4 4 56 16 224 于是 x ＝ 5 2 ， y ＝ 69 2 ， 代入公式得： b ^ ＝错误! ＝ 418－4×5 2 × 69 2 30－4× 5 2 2 ＝ 73 5 ， â＝ y －b ^ x ＝ 69 2 － 73 5 × 5 2 ＝－2. 故 y与 x的线性回归方程为ŷ＝73 5 x－2，其中回归系数为 73 5 ，它的意义是： 广告支出每增加 1万元，销售收入 y平均增加 73 5 万元． (3)当 x＝9万元时，y＝73 5 ×9－2＝129.4(万元)． 所以当广告费为 9万元时，可预测销售收入约为 129.4万元． 22．(本小题满分 12 分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠 久的历史，如图 4(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都 由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形 的摆放规律相同)，设第 n个图形包含 f(n)个小正方形． 图 4 (1)求出 f(5)； (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n＋1)与 f(n)的关系式； (3)根据你得到的关系式求 f(n)的表达式． 【解】 (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25， ∴f(5)＝25＋4×4＝41. (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1. f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4， 由上式规律得出 f(n＋1)－f(n)＝4n. (3)∵f(2)－f(1)＝4×1， f(3)－f(2)＝4×2， f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)， f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)， ∴以上各式相加得 f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n， ∴f(n)＝2n2－2n＋1.